直線的方向向量與平面的法向量

1、直線的方向向量與平面的法向量【問題導(dǎo)思】圖3211如圖321，直線lm，在直線l上取兩點(diǎn)A、B，在直線m上取兩點(diǎn)C、D，向量與有怎樣的關(guān)系？【提示】.2如圖直線l平面，直線lm，在直線m上取向量n，則向量n與平面有怎樣的關(guān)系？【提示】n.直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量.空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則lmab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)線面平行設(shè)l的方向向量為a(a1，b1，c1)，的法向量為

2、u(a2，b2，c2)，則la·u0a1a2b1b2c1c20面面平行設(shè)，的法向量分別為u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，則uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)求平面的法向量圖322已知ABCD是直角梯形，ABC90°，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(1)求平面ABCD與平面SAB的一個(gè)法向量(2)求平面SCD的一個(gè)法向量【自主解答】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)(1)SA平面AB

3、CD，(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量ADAB，ADSA，AD平面SAB，(，0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量(2)在平面SCD中，(，1,0)，(1,1，1)設(shè)平面SCD的法向量是n(x，y，z)，則n，n.所以得方程組令y1得x2，z1，n(2，1,1)1若一個(gè)幾何體中存在線面垂直關(guān)系，則平面的垂線的方向向量即為平面的法向量2一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：(1)設(shè)出平面的法向量為n(x，y，z)(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組(4)解方程組，取其中的一個(gè)解，

4、即得法向量3在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組有無數(shù)多個(gè)解，只需給x，y，z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點(diǎn)，在如圖323所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：圖323(1)平面BDD1B1的一個(gè)法向量(2)平面BDEF的一個(gè)法向量【解】設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)連AC，因?yàn)锳C平面BDD1B1，所以(2,2,0)為平面BDD1B1的一個(gè)法向量(

5、2)(2,2,0)，(1,0,2)設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)令x2得y2，z1.n(2，2,1)即為平面BDEF的一個(gè)法向量.長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是面對角線B1D1，A1B上的點(diǎn)，且D1E2EB1，BF2FA1.求證：EFAC1.【自主解答】如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DAa，DCb，DD1c，則得下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(a，b，c)，F(xiàn)(a，c)(，)，(a，b，c)，.又FE與AC1不共線，直線EFAC1.利用向量法證明線線平行的方法與步驟：圖324如圖324

6、所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為DD1和BB1的中點(diǎn)求證：四邊形AEC1F是平行四邊形【證明】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，E(0,0，)，C1(0,1,1)，F(xiàn)(1,1，)，(1,0，)，(1，0，)，(0,1，)，(0,1，)，又FAE，F(xiàn)EC1，AEFC1，EC1AF，四邊形AEC1F是平行四邊形.利用空間向量證明線面平行圖325如圖325，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，求證：AB1平面DBC1.【自主解答】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正三棱柱的底面邊長為a(a>0)

7、，側(cè)棱長為b(b>0)，則A(0,0,0)，B(a，0)，B1(a，b)，C1(0，a，b)，D(0，0)，(a，b)，(a,0,0)，(0，b)設(shè)平面DBC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則不妨令y2b，則n(0,2b，a)由于·nabab0，因此n.又AB1平面DBC1，AB1平面DBC1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：方法一：證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示方法二：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明方向向量與平面的法向

8、量垂直在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點(diǎn)求證：CE平面C1E1F.【證明】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)BC1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1(1，2)設(shè)平面C1E1F的法向量為n(x，y，z)，(1，0)，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n·1210，n，且平面C1E1F.CE平面C1E1F.向量法證明空間平行關(guān)系圖326(12分)如圖326，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正

9、方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90°，BFFC，H為BC的中點(diǎn)求證：FH平面EDB.【思路點(diǎn)撥】先通過推理證明FH平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)證明、共面【規(guī)范解答】四邊形ABCD是正方形，ABBC，又EFAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.2分又BFFC，H為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)HBC.FH平面ABC.4分以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)BH1，則B(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1).6分(0,0,1)，(1，1,1)，(2，2，0)，設(shè)··&#

10、183;(1，1,1)(2，2,0)(2，2，)8分(0,0,1)(2，2，)，解得10分向量，共面又HF不在平面EDB內(nèi)，HF平面EDB.12分【思維啟迪】1.建立空間直角坐標(biāo)系，通常需要找出三線兩兩垂直或至少找到線面垂直的條件2證明時(shí)，要注意空間線面關(guān)系與向量關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別，注意所運(yùn)用定理的條件要找全1利用向量解決立體幾何問題的“三步曲”：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題2證明線面平行問題，可以利用直線的方

11、向向量和平面的法向量之間的關(guān)系；也可以轉(zhuǎn)化為線線平行，利用向量共線來證明1若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)【解析】(2,4,6)2(1,2,3)【答案】A2下列各組向量中不平行的是()Aa(1,2，2)，b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16,24,40)【解析】b(2，4,4)2(1,2，2)2a，ab，同理：cd，ef.【答案】D3設(shè)平面內(nèi)兩向量a(1,2,1)，b(1,1,2)，則下列向量中是平面的法向

12、量的是()A(1，2,5) B(1,1，1)C(1,1,1) D(1，1，1)【解析】平面的法向量應(yīng)當(dāng)與a、b都垂直，可以檢驗(yàn)知B選項(xiàng)適合【答案】B4根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線l1，l2的方向向量分別是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分別是u(1,3,0)，v(3，9，0)；(3)直線l的方向向量，平面的法向量分別是a(1，4，3)，u(2,0,3)【解】(1)a·b1×8(3)×2(1)×20，l1l2.(2)v(3，9,0)3(1,3,0)3，.(3)a、u不共線，l不與

13、平行，也不在內(nèi)又a·u70，l與不垂直故l與斜交.一、選擇題1(2013·吉林高二檢測)l1的方向向量為v1(1,2,3)，l2的方向向量v2(，4,6)，若l1l2，則()A1B2C3D4【解析】l1l2，v1v2，則，2.【答案】B2(2013·青島高二檢測)若，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A相交 B平行C在平面內(nèi) D平行或在平面內(nèi)【解析】，、共面，則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)【答案】D3已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，1,2)，的一個(gè)法向量為n(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()A(1，1,1) B(1,3，)C(1，3，) D

14、(1,3，)【解析】對于B，(1,4，)，則n·(3,1,2)·(1,4，)0，n，則點(diǎn)P(1,3，)在平面內(nèi)【答案】B4已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，則平面ABC的一個(gè)法向量的單位向量是()A(1,1,1)B(，)C(，)D(，)【解析】設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，(0，1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，則xyz，又單位向量的模為1，故只有B正確【答案】B圖3275如圖327，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則()A1MD1P；A1MB1Q；A1

15、M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上正確說法的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【解析】，所以A1MD1P，由線面平行的判定定理可知，A1M面DCC1D1，A1M面D1PQB1.正確【答案】C二、填空題6(2013·泰安高二檢測)已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面的法向量為(1，2)，且l，則m_.【解析】l，l的方向向量與的法向量垂直，(2，m,1)·(1，2)2m20，m8.【答案】87已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，5)，點(diǎn)P(x，1,3)在平面ABC內(nèi)，則x_.【解析】(2,2，2)，(1,6，8)，(x4，2,0)，由題意知A、B、

16、C、P共點(diǎn)共面，(2，2，2)(，6，8)(2，26，28)而x42，x11.【答案】118下列命題中，正確的是_(填序號(hào))若n1，n2分別是平面，的一個(gè)法向量，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的一個(gè)法向量，則 n1·n20；若n是平面的一個(gè)法向量，a與平面共面，則n·a0；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直【解析】一定正確，中兩平面有可能重合【答案】三、解答題圖3289已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個(gè)點(diǎn)(如圖328所示)，并且k，k，k，m，m.求證：(1)A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)；(3)k.【解】(1)由

17、m，m，知A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面(2)mm()k()km()kkmk(m)k，.(3)由(2)知kkk()k.k.10在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點(diǎn)，求證：是平面A1D1F的法向量【證明】設(shè)正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(xiàn)(0，0)，A1(1,0,1)，(0,1，)，(0，1)，(1,0,0)·(0,1，)·(0，1)0，又·0，.又A1D1D1FD1，AE平面A1D1F，是平面A1D1F的法向量圖32911如圖329，在四棱錐OABCD中，底面ABCD