線性代數(shù)1教案

1、線性代數(shù)教案使用教材 線性代數(shù) 羅從文 主編 科 學(xué) 出 版 社教學(xué)主要參考書 線性代數(shù)（第五版） 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編線性代數(shù)第二版盧 剛 主編高 等 教 育 出 版 社三峽大學(xué)理學(xué)院公共數(shù)學(xué)教學(xué)部2011年11月第三章 向量空間本章引言 向量空間又稱線性空間，它的理論和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。本章的主要結(jié)果是基于第二章中提出的線性無關(guān)這一概念。首先，從線性無關(guān)出發(fā)，給出了子空間的基和維數(shù)定義；的其次，討論了子空間的正交基的構(gòu)造；最后，研究了向量空間在線性方程組求解中的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：向量空間的定義及性質(zhì)，子空間的基和維數(shù)的定義，子空間的正交基的構(gòu)造，向量空間在線性方程組

2、求解中的應(yīng)用。教學(xué)目的與基本要求：1.了解向量空間的定義，掌握向量空間的性質(zhì)。2.理解n子空間的基和維數(shù)的定義。3.熟練掌握子空間的正交基的構(gòu)造方法。4.掌握向量空間在線性方程組求解中的應(yīng)用。 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：子空間的正交基的構(gòu)造方法。2.難點(diǎn)：向量空間在線性方程組求解中的應(yīng)用。基本方法及技能：1.構(gòu)造子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法是施密特正交化方法。 2.由向量空間理論解釋非齊次線性方程組有解的判定條件，以及非齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)式。教學(xué)建議及教法提示：1.先基于第二章中提出的線性無關(guān)這一概念，給出了子空間的基和維數(shù)定義；2.構(gòu)造子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法，即施密特正交化方法是本章的重點(diǎn)

3、，要講清方法，讓學(xué)生多加練習(xí)，熟練掌握。3.要求學(xué)生會(huì)用矩陣的秩判斷線性方程組是否有解；4.要求學(xué)生會(huì)由向量空間理論解釋非齊次線性方程組有解的判定條件；5.要求學(xué)生會(huì)由向量空間理論解釋非齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)式；6.通過實(shí)例使學(xué)生了解線性最小二乘定理。應(yīng)注意的問題： 向量空間的定義比較抽象，要理解這一概念，必須通過大量實(shí)例進(jìn)行說明。其次，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的理解能力，將向量空間理論與線性方程組的求解理論結(jié)合起來，使學(xué)生對(duì)線性方程組的通解結(jié)構(gòu)有更加深刻的認(rèn)識(shí)。再次，必須具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，構(gòu)造子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基使用的是密特正交化方法是線性代數(shù)中最基本的技巧之一，要求學(xué)生熟練掌握。§

4、3.1  向量空間的性質(zhì)設(shè)是分量為實(shí)數(shù)的所有維向量空間的集合，即=.設(shè),是中的向量，則向量的和定義為設(shè)是實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)乘定義為第二章中給出了矩陣的運(yùn)算法則，容易看出向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算與矩陣的相應(yīng)運(yùn)算完全一致. 這是因?yàn)橄蛄渴且环N特殊的矩陣，(中的向量是矩陣) .定理1 設(shè)是中的向量，是實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)成立：a) 封閉性：(a1) 是中的向量；(a2) 是中的向量.b) 加法運(yùn)算性質(zhì)：(b1) ;(b1) ;(b3) 中包含零向量，且對(duì), 有；(b4) ，使得.c) 數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)：(c1) ;(c2) ;(c3) ;(c4) , .§ 3.2  的子空間定理2

5、中子集構(gòu)成的子空間的充分必要條件是： (s1) 零向量； (s2) ，有； (s3) , 是任意實(shí)數(shù)，則.證明 必要性. 設(shè)是的子集并且滿足條件(s1)-(s3). 要證明構(gòu)成的子空間，則須驗(yàn)證滿足定理1的10條性質(zhì).由條件(s1)-(s3)，顯然子集滿足定理1中的性質(zhì)(a1) , (a2), (b3)；中任意子集均滿足性質(zhì)(b1), (b1), (c1), (c2), (c3), (c4); 因此只須驗(yàn)證滿足定理1中的性質(zhì) (b4) 即可. 容易看出，由性質(zhì)(s3)， , 則，故滿足性質(zhì) (b4). 因此必要性成立. 充分性. 設(shè)是的子空間，則滿足定理1的10條性質(zhì).由性質(zhì)(a1) (a2)

6、, (b3),顯然滿足條件(s1)-(s3).定理3設(shè)是矩陣，經(jīng)過有限次行初等變換后得到矩陣，則和具有相同的行空間.§ 3.3 子空間的基定義1 設(shè)是的子空間，是的子集. 若中任意向量都可以寫成集合中向量的線性組合形式，即,則稱是的生成集.定義1的另一種表述是為的生成子空間, 即=Sp().定義2 設(shè)是的非零子空間，則稱的一個(gè)線性無關(guān)的生成集為的基.設(shè)是的子空間，是的一組基，則中任意向量都可以寫成集合中向量的線性組合形式，即存在一組系數(shù)，使得.下面我們證明，在基下的表示方法是唯一的. 事實(shí)上，若還有一種表示方法，則兩式相減，有.由于是線性無關(guān)的，因此, .這說明的表示方法是唯一的.構(gòu)

7、造子空間的基的一般步驟： 第一步. 給出子空間的生成集； 第二步. 解向量方程； 第三步. 若向量方程只有零解，則線性無關(guān)，構(gòu)成子空間的一組基； 第四步. 若向量方程有非零解，則存在自由未知量. 設(shè)是自由未知量，則去掉對(duì)應(yīng)的向量. 剩余的向量組構(gòu)成子空間的一組基.定理4給出了構(gòu)造子空間的基的另一種方法：定理4 設(shè)是非零矩陣，經(jīng)過行初等變換得到階梯形矩陣，則的非零行向量構(gòu)成的行空間的一組基.證 由定理3，和具有相同的行空間, 因此的非零行向量組是的行空間的生成集. 又因?yàn)殡A梯形矩陣的非零行向量組是線性無關(guān)的，所以的非零行向量構(gòu)成的行空間的一組基. 從前面的討論可以看出，一個(gè)向量空間可以有不同的基

8、，下面我們給出不同基之間的過渡矩陣的概念.設(shè)和是線性空間的兩組基，它們可以互相線性表出，若則稱矩陣為從基到基的過渡矩陣.§ 3.4 子空間的維數(shù)與矩陣的秩幾何空間中有維數(shù)的概念，本節(jié)我們將這一概念推廣到向量空間中. 首先給出一個(gè)定理.定理5 設(shè)是的子空間，是的一個(gè)生成集，中包含個(gè)向量，則中任意個(gè)向量線性相關(guān). 證 設(shè)是中任意個(gè)向量，要證是否線性相關(guān)，只須證明下面的齊次線性方程組是否有非零解： .由=Sp, 有將其代入齊次線性方程組中，得.經(jīng)過等價(jià)變形，上式可化為 .令上述齊次線性方程組的方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，因此一定有非零解向量，由此可知，線性相關(guān).由定理5，可直接得到下面的推論：

9、推論1 設(shè)是的子空間，是的一組基，中包含個(gè)向量，則(1) 的任意一組基包含個(gè)向量; (2) 任取正整數(shù)，則中任意個(gè)向量不能構(gòu)成的生成集;(3) 的任意個(gè)線性無關(guān)的向量構(gòu)成的一組基;(4) 設(shè)是的生成集，中恰含個(gè)向量，則構(gòu)成的一組基.有了推論1，我們就可以給出向量空間維數(shù)的定義：定義3 設(shè)是的子空間，是的一組基，則中包含的向量個(gè)數(shù)稱為的維數(shù)，記作.上一節(jié)中提到，對(duì)的零子空間定義基沒有意義，在以后的討論中，我們約定零子空間的維數(shù)是.設(shè)是矩陣，則稱的零空間的維數(shù)為的零度(nullity); 稱的值域空間的維數(shù)為的秩(rank); 稱的行空間的維數(shù)為的行秩；稱的列空間的維數(shù)為的列秩.定理6設(shè)是矩陣，則

10、的行秩和列秩相等.證明從略. 由3.3節(jié)中的例8知，的值域空間等價(jià)于的列空間，因此的秩、行秩、列秩三者相等.注 設(shè)是矩陣，則rank+nullity.下面的定理給出了用矩陣的秩判斷線性方程組是否有解的充要條件：定理7設(shè)是矩陣，則線性方程組有解的充要條件是rank=rank.證 將矩陣按列分塊成, 則的秩等于其列空間Sp的維數(shù)；同理，增廣矩陣的秩等于其列空間Sp的維數(shù).而線性方程組有解的充要條件是Sp. 因此可以得到線性方程組有解的一個(gè)充要條件Sp=Sp. 由此即得rank=rank.還可以用矩陣的秩來判斷矩陣是否為奇異矩陣：定理8設(shè)是矩陣，則矩陣非奇異的充要條件是的秩等于，即是滿秩矩陣.證 將

11、矩陣按列分塊成，則 Sp.若矩陣非奇異,則是線性無關(guān)的列向量組，因此構(gòu)成的一組基，由此即得的秩等于.§ 3.5 子空間的正交基 在前面，我們用基的概念刻畫了子空間的性質(zhì). 對(duì)于給定的子空間，有多種方法構(gòu)造的基. 在這一節(jié)，我們討論一種特殊的基正交基.定義4 設(shè)是中的向量構(gòu)成的集合. 若中的向量兩兩正交，即 則稱集合是正交集.定理9設(shè)是中的非零向量構(gòu)成的集合. 若是正交集，則中的向量線性無關(guān).證 設(shè)存在常數(shù)使得，于是有.上式展開，得.因?yàn)槭钦患?，因此上述展開式可化簡為.又因?yàn)槭欠橇阆蛄浚?，由此推? 同理可得，. 因此是線性無關(guān)的向量組.在下面的定義中，要用到向量長度的概念.

12、 我們記向量的長度為，且.定義5設(shè)是的子空間，是中的一組基. 若中的向量兩兩正交，即 , 則稱是的正交基. 特別的，若 ，則稱是的標(biāo)準(zhǔn)正交基.由定理9和定義5，可以得到下面的推論：推論 設(shè)是的維子空間，若是中個(gè)非零向量構(gòu)成的正交子集，則是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.設(shè)是正交集，則對(duì)任意一組實(shí)數(shù), 仍是正交集. 若只包含非零向量，取，則是標(biāo)準(zhǔn)正交集. 也就是說，對(duì)正交集中任意一個(gè)向量除以其長度可得到標(biāo)準(zhǔn)正交集. 設(shè)是的子空間，是中的一組基. 則由基的定義知，中任意向量均可唯一地由線性表出，即，系數(shù)稱為向量在基下的坐標(biāo). 例如，設(shè)是的一組基，其中，.由于所以不是正交基. 在中任取一個(gè)向量，例如，取，設(shè)在基

13、下的坐標(biāo)為，即,將其寫成矩陣方程的形式：.由高斯消元法，解得，. 作為比較，取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)在下的坐標(biāo)為，即,上式兩邊左乘向量，得,這是因?yàn)椋? 于是可以求得.同理可得，. 容易看出，計(jì)算向量在正交基下的坐標(biāo)比計(jì)算其在一般基下的坐標(biāo)要簡便得多. 一般地，設(shè)是的子空間，是中的一組正交基. ，設(shè)在基下的坐標(biāo)為，即，則，.現(xiàn)在研究把一組基改造成標(biāo)準(zhǔn)基的方法，這就是所謂的施密特正交化方法：定理10 設(shè)是的子空間，是中的一組基, 則是的一組正交基，其中， ， 一般地，.定理的證明與推導(dǎo)向量在正交基下的坐標(biāo)的過程類似，可以采用數(shù)學(xué)歸納法.§ 3.6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)主要研究向量空間在

14、線性方程組求解中的應(yīng)用1.在前面的討論中已經(jīng)看到個(gè)未知量的齊次線性代數(shù)方程組， ，的解集是向量空間.下面我們給出基礎(chǔ)解系的概念.定義6 設(shè)是齊次線性方程組的解向量，如果(1) 線性無關(guān)；(2) 的任一解向量可由線性表出，則稱是的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 由矩陣對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算的線性性質(zhì)，當(dāng)是的一個(gè)基礎(chǔ)解系時(shí)，也是的解，稱為一般解或通解，其中為任意常數(shù).現(xiàn)在要進(jìn)一步指出：齊次線性方程組的通解即中元素的一般式中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)就是的維數(shù)，有=，即+=.即基礎(chǔ)解系就是的一組基，事實(shí)上，基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的，而且生成. 這樣也就不難理解，齊次方程組的通解式(即基礎(chǔ)解系)不唯一確定，但通解式中獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)

15、是確定的，因?yàn)槊恳蝗我獬?shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)基向量，而基向量個(gè)數(shù)一定是個(gè).下面由向量空間理論“直觀地”解釋非齊次線性方程組有解的判定條件.非齊次線性方程組即有解的充要條件是rank=rank .事實(shí)上，若rankrank ，則必有rankrank，必是不能由線性表出，故方程組無解.在rank=rank時(shí)，則必能由線性表出，在此前提下，若rank=rank，說明向量組線性無關(guān)，故必為的一組基，因向量對(duì)一組基的坐標(biāo)是唯一確定的，所以此時(shí)方程組有唯一解. 若rank=rank=，則說明生成的個(gè)向量是線性相關(guān)的，而最大線性無關(guān)組含個(gè)向量. 為敘述方便可不失一般地就假定最大線性無關(guān)組是，這就是的一組基. 因均在中

16、，故它們的線性組合也必在中，所以對(duì)個(gè)任意常數(shù)值，向量對(duì)這組基必有唯一的坐標(biāo)，設(shè)為，這就有=.從此式可以看出，是的解. 由于可任意取值，故的通解中含個(gè)任意常數(shù).其次，用向量空間的概念同樣可以“直觀地”解釋非齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)式.先用定理形式給出非齊次線性方程組解的性質(zhì)及其與對(duì)應(yīng)齊次方程組的解的關(guān)系.定理11 設(shè)非齊次線性方程組的解集為，對(duì)應(yīng)齊次方程組的解空間為，若已知，則有(1) , , ();(2) , 即；(3) 對(duì)任意，必.定理的結(jié)論(1)說明非齊次方程組的解集不是向量空間；結(jié)論(2)、(3)說明當(dāng)已知其某個(gè)解時(shí)，方程組的通解本質(zhì)上必能也只能通過的通解表出，為.當(dāng)然隨著取的的不同及

17、在中取不同的基，的具體形式還是可以多樣的，但其組成結(jié)構(gòu)是唯一確定的. 只要在中選取適當(dāng)?shù)南禂?shù)就可以得到方程組的任一解.§ 3.7應(yīng)用實(shí)例在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，個(gè)人的收入與消費(fèi)之間存在著密切的關(guān)系. 收入越多，消費(fèi)水平也越高; 收入較少，消費(fèi)水平也較低. 從一個(gè)社會(huì)整體來看，個(gè)人的平均收入與平均消費(fèi)之間大致呈線性關(guān)系. 若表示收入，表示支出，則適合，其中是兩個(gè)常數(shù), 需要根據(jù)具體的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來確定. 假定現(xiàn)在有一組表示3年中每年的收入與消費(fèi)情況的統(tǒng)計(jì)數(shù)字，如表3-9所示 單位：人均萬元年1231.61.72.01.21.41.8 表3-9現(xiàn)在要根據(jù)這一組統(tǒng)計(jì)數(shù)字求出. 將的值代入上式得到一個(gè)兩個(gè)未知數(shù)三個(gè)方程式的線性方程組：從第一、二個(gè)方程式可求出，代入第三個(gè)方程式，得.這說明上面的線性方程組無解. 那么這樣一來是不是說我們的問題就沒有意義了呢？當(dāng)然不是. 事實(shí)上，收入與消費(fèi)的關(guān)系通常極為復(fù)雜，我們把它當(dāng)成線性關(guān)系只是一種近似的假定. 另外，統(tǒng)計(jì)數(shù)字本身不可避免地會(huì)產(chǎn)生誤差，也就是說統(tǒng)計(jì)表只是實(shí)際情況的近似反映. 我們的目的是求出的值以供理論分析之用. 既然統(tǒng)計(jì)數(shù)字有誤差，就不可能也沒必要求出的精確解. 我們可以對(duì)提出這樣的要求：求出，使得到的關(guān)系式能盡可能符合實(shí)際情形. 用數(shù)學(xué)的語