直線與圓韋達定理

1、1圓,直線,過的動直線與直線m相交于,與圓相交于兩點,是中點. ()與垂直時,求證:過圓心;()當時,求直線的方程;()設,試問是否為定值2以原點為圓心的圓與直線相切（）求圓的方程；（）若直線：與圓交于，兩點，在圓上是否存在一點，使得，若存在，求出此時直線的斜率；若不存在，說明理由3圓，直線（1） 求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點A、B；（2） 求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；（3） 若定點P（1，1）滿足，求直線的方程。4圓經過點A（2,0），B（0,2），且圓心在直線yx上，又直線l：ykx1與圓相交于P、Q兩點（1）求圓的方程；（2）若，求實數(shù)k的值；（3）過點作

2、動直線交圓于，兩點試問：在以為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經過點5如圖，圓：（）若圓與軸相切，求圓的方程；（）已知，圓與軸相交于兩點（點在點的左側）過點任作一條直線與圓：相交于兩點問：是否存在實數(shù)，使得？6（14分） 已知方程.（1）若此方程表示圓，求的取值范圍；（2）若（1）中的圓與直線相交于M，N兩點，且OMON（O為坐標原點）求的值；（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.7圓，直線，直線與圓交于兩點，點的坐標為，且滿足（1）當時，求的值； （2）當時，求的取值范圍8圓C：，直線與圓C交于P、Q兩個不同的點，M為P、Q的中點（）已知，若，求實數(shù)的值；（）求點M的軌跡

3、方程；（）若直線與的交點為N，求證：為定值9圓：，直線.（1）直線l與圓交于不同的兩點，當時，求；（2）若，是直線l上的動點，過作圓的兩條切線、，切點為、，探究：直線是否過定點；（3）若、為圓：的兩條相互垂直的弦，垂足為，求的面積的最大值.10已知圓：，直線與圓相交于，兩點（）若直線過點，且，求直線的方程；（）若直線的斜率為，且以弦為直徑的圓經過原點，求直線的方程11已知圓過坐標原點O且圓心在曲線上.（）若圓M分別與軸、軸交于點、（不同于原點O），求證：的面積為定值；（）設直線與圓M 交于不同的兩點C，D，且，求圓M的方程；（）設直線與（）中所求圓M交于點、， 為直線上的動點，直線，與圓M的另

4、一個交點分別為，求證：直線過定點.12圓C的圓心在坐標原點，與直線相切.（1）求直線被圓C所截得的弦AB的長；（2）過點G（1,3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M,N，求直線MN的方程；（3）若與直線垂直的直線不過點R（1,-1），且與圓C交于不同的兩點P，Q.若PRQ為鈍角，求直線的縱截距的范圍13(本小題滿分12分) 已知圓，點，直線.(1) 求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；(2) 在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.14如圖，圓與坐標軸交于點.求與直線垂直的圓的切線方程；設點是圓上任意一點（不在坐標軸上）

5、，直線交軸于點，直線交直線于點，若點坐標為，求弦的長；求證：為定值.參考答案1()詳見解析 () 或 () 是定值-5【解析】試題分析：() 當與垂直時斜率相乘為，從而得到斜率及方程()直線與圓相交時常用弦長的一半，圓心到直線的距離，圓的半徑構成的直角三角形求解()先將直線設出，與圓聯(lián)立求出點坐標，將直線與直線聯(lián)立求得，代入中化簡得常數(shù)，求解時需注意直線方程分斜率存在不存在兩種情況試題解析：()由已知 ,故,所以直線的方程為. 將圓心代入方程易知過圓心 4分() 當直線與軸垂直時,易知符合題意; 當直線與軸不垂直時,設直線的方程為,由于, 所以由,解得. 故直線的方程為或 -8分()當與軸垂直

6、時,易得,又則 ,故. 即 當?shù)男甭蚀嬖跁r,設直線的方程為,代入圓的方程得 .則 ,即, .又由得, 則. 故. 綜上,的值為定值,且 12分另解一:連結,延長交于點,由()知.又于, 故.于是有. 由得 故 另解二:連結并延長交直線于點,連結由()知又, 所以四點都在以為直徑的圓上,由相交弦定理得 考點：1.直線方程；2.直線與圓相交的位置關系；3.向量的坐標運算2（）;（）存在點，使得.【解析】試題分析：（）設圓的半徑為，因為直線與圓相切，所以 ，即可求出圓的方程為 .（）方法一：因為直線：與圓相交于，兩點， 所以 ， 所以或 ，假設存在點，使得，因為，在圓上，且，同時由向量加法的平行四邊

7、形法則可知，四邊形為菱形，所以與互相垂直且平分，所以原點到直線：的距離為 10分即 ，解得， ，經驗證滿足條件，所以存在點，使得 ；方法二：假設存在點，使得記與交于點，因為，在圓上，且，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，因為直線斜率為，顯然，所以直線方程為， 解得， 所以點坐標為，因為點在圓上，所以，解得，即，經驗證滿足條件，所以存在點，使得.試題解析：解：（）設圓的半徑為，因為直線與圓相切，所以 3分所以圓的方程為 5分（）方法一：因為直線：與圓相交于，兩點， 所以 ， 所以或 7分假設存在點，使得 8分因為，在圓上，且，同時由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，所以與互相垂

8、直且平分 9分所以原點到直線：的距離為 10分即 ，解得， ，經驗證滿足條件 12分所以存在點，使得 13分方法二：假設存在點，使得記與交于點 因為，在圓上，且，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，因為直線斜率為，顯然，所以直線方程為 7分， 解得， 所以點坐標為 9分因為點在圓上，所以，解得 11分即，經驗證滿足條件 12分所以存在點，使得 13分.考點：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關系.3（1）證明見解析；（2），為圓的軌跡方程；（3）或；【解析】試題分析：（1）由題可知，判斷直線與圓的位置關系，我們常采取兩種方法，圓心到直線的距離與半徑的比較，若距離大于半徑，則位置關系是相離

9、，若距離等于半徑，則位置關系是相切，若距離小于半徑，則位置關系是相交；或是判斷直線所經過的定點和圓的關系，點在圓內，則位置關系是相交，點在圓上，則位置關系是相切，點在圓外，則位置關系是相離；（2）關于求軌跡方程的問題，求哪個點的軌跡就設哪個點的坐標，通過題中的條件將x，y的關系式求出，即得軌跡方程；（3）過一點的直線用點斜式設出，再和圓的方程聯(lián)立，由韋達定理以及，得出直線方程為或；試題解析：（）解法一：圓的圓心為，半徑為。圓心C到直線的距離，直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；OBMAC方法二：直線過定點，而點在圓內直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；（4分）（）當M與P不

10、重合時，連結CM、CP，則，又因為,設，則，化簡得：當M與P重合時，也滿足上式。故弦AB中點的軌跡方程是。（8分）（）設，由，化簡的 又由消去y得 （*） （10分）由解得，帶入（*）式解得，直線的方程為或。（12分）考點：直線與圓的位置關系中點軌跡方程直線方程的應用4（1）；（2）；（3）在以為直徑的所有圓中，存在圓：或，使得圓經過點【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意設出圓心和半徑，列出和的方程，求得圓的方程；（2）根據(jù),求得，所以圓心到直線的距離為，求得的值；（3）若圓經過點，則必有即，當直線的斜率不存在時，顯然滿足題意得圓，當直線的斜率存在時，設其斜率為，直線的方程為：，代入圓的方程，由韋

11、達定理，得到的值，聯(lián)立解得的值，存在所求的圓，進而得到所求的圓的方程.試題解析：（1）設圓心C（a，a），半徑為r.因為圓C經過點A（2,0），B（0,2），所以|AC|BC|r，易得a0，r2，所以圓C的方程是. 3分（2）因為·2×2×cos，2，且與的夾角為POQ，所以cosPOQ，POQ120°，所以圓心C到直線l：kxy10的距離d1，又d，所以. 7分（聯(lián)立直線與圓的方程求解酌情給分）（3）（）當直線的斜率不存在時，直線經過圓的圓心，此時直線與圓的交點為，即為圓的直徑，而點在圓上，即圓也是滿足題意的圓 8分（）當直線的斜率存在時，設直線，由，

12、消去整理，得，由，得或設，則有 9分由得， ， 若存在以為直徑的圓經過點，則，所以，因此，即， 10分則，所以，滿足題意 12分此時以為直徑的圓的方程為，即，亦即 13分綜上，在以為直徑的所有圓中，存在圓：或，使得圓經過點 14分考點：1.圓的方程；2.直線方程；3.韋達定理.5（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線與圓的方程，利用判別式為0得出值，即得圓的方程；（2）先求出，聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關系進行求解.解題思路: 直線圓的位置關系，主要涉及直線與圓相切、相交、相離，在解決直線圓的位置關系時，要注意結合初中平面幾何中的直線與圓的知識.試題解析：（）因為得，由題意得

13、，所以故所求圓C的方程為（）令，得，即所以假設存在實數(shù)，當直線AB與軸不垂直時，設直線AB的方程為，代入得，設從而因為而因為，所以，即，得當直線AB與軸垂直時，也成立故存在，使得.考點：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關系.6（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）由圓的一般方程知當時表示圓的方程；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，消元后的到關于的一元二次方程，因為所以，可求出的值；（3）利用根與系數(shù)關系求出中點坐標即為圓心，再利用垂徑定理求出弦長的一半即為半徑，能寫出圓的方程.試題解析：（1）（2） 代入得， 得出： （3）設圓心為半徑13分圓的方程 考點：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關

14、系.7（）1；（）【解析】試題分析：（）當b=1時，點M（0，b）在圓C上，當且僅當直線l經過圓心C時，滿足MPMQ把圓心坐標（1，1）代入直線，可得k的值（）把直線的方程代入圓的方程轉化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系以及，求得令，則 在區(qū)間上單調遞增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范圍（注意檢驗0）試題解析：（）圓，當b=1時，點M（0，b）在圓C上，當且僅當直線l經過圓心C時，滿足MPMQ圓心C的坐標為（1，1），k=1（）由 ，消去y得： 設，MPMQ，即，即，即令，則在區(qū)間上單調遞增當時，即，解得，或由式得，解得k0或k的取值范圍是考點：直線和圓相交的性質；一元二次方

15、程根與系數(shù)的關系；函數(shù)的單調性8（1）；（2） ；（3）定值為3；【解析】試題分析：（1）由向量的數(shù)量積為0，知兩向量是垂直的，即，因為點A在圓C上故直線過圓心C，將點的坐標代入到直線方程中，得到；（2）對于求軌跡方程的問題，一般來講，求哪個點，就設設出哪個點的坐標，利用題意列出關系式，本題中，設 ，則，將坐標代入，化簡可得出M的軌跡方程 ；（3）聯(lián)立方程，通過韋達定理，得出M，N的坐標，從而求出，兩者相乘，進行化簡，得出定值是3.試題解析：（）即，因為點A在圓C上故直線過圓心C，得 3分（）設 ，則，即坐標代入得： 化簡得： 8分（）設將代入并整理得： 則為方程(*)的兩根 10分與聯(lián)立得交

16、點 12分故：=3 (定值) 14分考點：向量的數(shù)量積圓的性質韋達定理9（1）；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）易得點O到l的距離，利用點到直線的距離公式即可求出k；（2）利用O、P、C、D四點共圓求得其圓的方程，發(fā)現(xiàn)直線是圓與圓的公共弦所在的直線方程，兩式作差即可；（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為.則所以再用均值不等式即可求出最大值.試題解析：（1）AOB=，點O到l的距離 2分=· 4分（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設.其方程為：即 又C、D在圓O：上 即 7分由 得 直線CD過定點 9分（3）設圓心O到直線EF、GH的距離

17、分別為.則 11分 當且僅當 即 時，取“=”四邊形EGFH的面積的最大值為 14分考點：圓的綜合應用【答案】（）或（）或【解析】試題分析：（）解決直線與圓位置關系的綜合問題時，要充分考慮平面幾何知識的運用，不要單純地依靠代數(shù)運算，這樣簡單又不易出錯由題意知的斜率必然存在，可設出直線的方程，.其中r為圓的半徑，d為弦心距，l為弦長即可解決；（）采用設而不求，利用直線與圓的方程聯(lián)立的關于x的二次方程，由得，即，再利用韋達定理即可.試題解析：（）由題設知直線的斜率存在，設其方程為，即圓：，即，圓心，半徑為由，知圓心到直線的距離為，于是，即，整理得，解得，或所以直線的方程為或 5分（）由直線的斜率為

18、，設直線的方程為由 ，得令，解得（1）設，則，因為以為直徑的圓過原點，所以所以，即代入得，解得或，滿足（1）故直線的方程為或 10分考點：直線與圓的位置關系的綜合11（）；（）；（）或.【解析】試題分析：（）由題意可設圓M的方程為，求出圓M分別與x軸、y軸交于點A、B的坐標，利用面積公式，可得：AOB的面積為定值；（）由|OC|=|OD|，知OMl，解得t=±1，再驗證，即可求圓M的方程；（）設，整理得設直線GH的方程為，代入，利用韋達定理，確定直線方程，即可得出結論試題解析：（）由題意可設圓M的方程為，即.令，得；令，得.（定值）. （）由，知.所以，解得.當時，圓心M到直線的距離

19、小于半徑，符合題意；當時，圓心M到直線的距離大于半徑，不符合題意.所以，所求圓M的方程為. （）設，又知，所以，.因為，所以.將，代入上式，整理得. 設直線的方程為，代入，整理得.所以，.代入式，并整理得，即，解得或.當時，直線的方程為，過定點；當時，直線的方程為，過定點考點：圓的方程；直線與圓的位置關系；分析思考能力和計算能力.12（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）已知得圓的半徑為圓心到直線的距離，求得半徑r=2，所以圓的標準方程為：；通過半弦長與半徑、弦心距的關系求得弦AB長為；（2）由題意知點M、N在以點為圓心，線段長為半徑的圓G上，而，所以，圓G的方程為，與圓C的方程相減得公共弦MN的方程；（3）由已知可設直線的方程為：，聯(lián)立圓的方程化簡得，得，由根與系數(shù)的關系得，又為鈍角，所以,變形化簡得，而當b=0時直線過點R（1，-1），所以縱截距b的取值范圍是.試題解析：（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，所以圓的標準方程為： 所以圓心到直線的距離 （2）因為點,所以,所以以點為圓心，線段長為半徑的圓方程： （1）又圓方程為： （2），由得直線方程： （3）設直線的方程為：聯(lián)立得：，設直線與圓的交點， 由，得， （3）因為為鈍角，所以,即滿足，且與不是反向共線，又，所以 （4）由（3）（4）得，滿足，即，當與反向共線時，直