離散數學屈婉玲答案

1、第一章部分課后習題參考答案16 設p、q的真值為0；r、s的真值為1，求下列各命題公式的真值。 （1）p(qr) 0(01) 0 （2）（pr）(qs) （01）(11) 010. （3）（pqr）(pqr) （111） (000)0(4)（rs）(pq) （01）(10) 00117判斷下面一段論述是否為真：“是無理數。并且，如果3是無理數，則也是無理數。另外6能被2整除，6才能被4整除。”答：p: 是無理數 1 q: 3是無理數 0 r: 是無理數 1 s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0 命題符號化為： p(qr)(ts)的真值為1，所以這一段的論述為真。19用真值表判斷下列公式的

2、類型：（4）(pq) (qp)（5）(pr) (pq)（6）(pq) (qr) (pr)答： （4） p q pq q p qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式類型為永真式 /最后一列全為1（5）公式類型為可滿足式（方法如上例）/最后一列至少有一個1（6）公式類型為永真式（方法如上例）/第二章部分課后習題參考答案3.用等值演算法判斷下列公式的類型，對不是重言式的可滿足式，再用真值表法求出成真賦值.(1) (pqq)(2)(p(pq)(pr)(3)(pq)(pr)答：(2)（p(pq)）(

3、pr)(p(pq)(pr)ppqr1 所以公式類型為永真式(3) P q r pq pr （pq）(pr)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 所以公式類型為可滿足式4.用等值演算法證明下面等值式：(2)(pq)(pr)(p(qr)(4)(pq)(pq)(pq) (pq)證明（2）(pq)(pr) (pq)(pr)p(qr)p(qr)（4）(pq)(pq)(p(pq) (q(pq)(pp)(pq)(qp) (qq)1(pq)(pq)1(pq)(pq) 5.

4、求下列公式的主析取范式與主合取范式，并求成真賦值(1)(pq)(qp)(2)(pq)qr(3)(p(qr)(pqr)解：（1）主析取范式(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(0,2,3) 主合取范式： (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (p(qp)(q(qp) 1(pq) (pq) M1 (1) (2) 主合取范式為： (pq)qr(pq)qr (pq)qr0 所以該式為矛盾式. 主合取范式為(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式為 0 (3)主合取范式為：(p(qr)(pqr

5、) (p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)(p(pqr)(qr)(pqr) 11 1 所以該式為永真式. 永真式的主合取范式為 1 主析取范式為(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分課后習題參考答案14. 在自然推理系統(tǒng)P中構造下面推理的證明： (2)前提：pq,(qr),r結論：p (4)前提：qp,qs,st,tr結論：pq證明：（2）(qr) 前提引入qr 置換qr 蘊含等值式r 前提引入q 拒取式pq 前提引入p 拒取式證明（4）：tr 前提引入t 化簡律qs 前提引入st 前提引入qt 等價三段論（qt）(tq)  置換（qt） 化簡q 假言推理qp 前提引入p

6、 假言推理(11)pq 合取 15在自然推理系統(tǒng)P中用附加前提法證明下面各推理：(1) 前提：p(qr),sp,q結論：sr證明s 附加前提引入sp 前提引入p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理q 前提引入r 假言推理16在自然推理系統(tǒng)P中用歸謬法證明下面各推理：(1)前提：pq,rq,rs 結論：p證明：p 結論的否定引入pq 前提引入q 假言推理rq 前提引入r 化簡律rs 前提引入r 化簡律rr 合取由于最后一步rr 是矛盾式,所以推理正確.第四章部分課后習題參考答案3. 在一階邏輯中將下面將下面命題符號化,并分別討論個體域限制為(a),(b)條件時命題的真值:(1) 對于任意

7、x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)個體域為自然數集合. (b)個體域為實數集合.解：F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9.(1)在兩個個體域中都解釋為，在（a）中為假命題，在(b)中為真命題。(2)在兩個個體域中都解釋為，在（a）(b)中均為真命題。4. 在一階邏輯中將下列命題符號化:(1) 沒有不能表示成分數的有理數.(2) 在北京賣菜的人不全是外地人.解:(1)F(x): x能表示成分數 H(x): x是有理數命題符號化為: (2)F(x): x是北京賣菜的人 H(x): x是外地人命題符號化為: 5. 在一階邏輯將下列命題符號化:

8、(1) 火車都比輪船快. (3) 不存在比所有火車都快的汽車. 解:(1)F(x): x是火車; G(x): x是輪船; H(x,y): x比y快命題符號化為: (2) (1)F(x): x是火車; G(x): x是汽車; H(x,y): x比y快命題符號化為: 9.給定解釋I如下: (a) 個體域D為實數集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函數(x,y)=xy,x,y. (d) 特定謂詞(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,y. 說明下列公式在I下的含義,并指出各公式的真值:答:(1) 對于任意兩個實數x,y,如果x<y, 那么xy. 真值1.(2) 對于任意

9、兩個實數x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.10. 給定解釋I如下： （a） 個體域D=N(N為自然數集合). （b） D中特定元素=2. （c） D上函數=x+y,(x,y)=xy. （d） D上謂詞(x,y):x=y.說明下列各式在I下的含義，并討論其真值.(1) xF(g(x,a),x)(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)答:(1) 對于任意自然數x, 都有2x=x, 真值0.(2) 對于任意兩個自然數x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.11. 判斷下列各式的類型:(1) (3) yF(x,y).解:(1)因為 為永真式； 所以

10、 為永真式；(3)取解釋I個體域為全體實數F(x,y)：x+y=5所以,前件為任意實數x存在實數y使x+y=5，前件真；后件為存在實數x對任意實數y都有x+y=5，后件假，此時為假命題再取解釋I個體域為自然數N，F(x,y)：:x+y=5所以,前件為任意自然數x存在自然數y使x+y=5，前件假。此時為假命題。此公式為非永真式的可滿足式。13. 給定下列各公式一個成真的解釋，一個成假的解釋。(1) (F(x)(2) x(F(x)G(x)H(x)解:(1)個體域:本班同學F(x)：x會吃飯, G(x)：x會睡覺.成真解釋F(x)：x是泰安人,G(x)：x是濟南人.（2）成假解釋(2)個體域:泰山學

11、院的學生F(x)：x出生在山東,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江蘇,成假解釋.F(x)：x會吃飯,G(x)：x會睡覺,H(x)：x會呼吸. 成真解釋.第五章部分課后習題參考答案5.給定解釋如下:(a)個體域D=3,4;(b)為(c). 試求下列公式在下的真值.(1) (3)解:(1) (2) 12.求下列各式的前束范式。(1) (5) (本題課本上有錯誤)解:(1) (5) 15.在自然數推理系統(tǒng)F中,構造下面推理的證明:(1) 前提: ,結論: xR(x)(2) 前提: x(F(x)(G(a)R(x), xF(x)結論:x(F(x)R(x)證明(1) 前提引入 F(c) EI 前

12、提引入 假言推理 (F(c)G(c)R(c) UI F(c)G(c) 附加 R(c) 假言推理 xR(x) EG(2)xF(x) 前提引入F(c) EIx(F(x)(G(a)R(x) 前提引入F(c)(G(a)R(c) UIG(a)R(c) 假言推理R(c) 化簡F(c)R(c) 合取引入x(F(x)R(x) 第六章部分課后習題參考答案5.確定下列命題是否為真：（1） 真 （2） 假（3） 真（4） 真（5）a,ba,b,c,a,b,c 真（6）a,ba,b,c,a,b 真（7）a,ba,b,a,b 真（8）a,ba,b,a,b 假6設a,b,c各不相同，判斷下述等式中哪個等式為真:（1）a,

13、b，c,=a,b,c 假（2）a ,b,a=a,b 真（3）a，b=a,b 假（4），a,b=,a,b 假8求下列集合的冪集：（1）a,b,c P(A)= ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c（2）1，2，3 P(A)= , 1, 2,3, 1，2，3 （3） P(A)= , （4）， P(A)= , 1, 2,3, 1，2，3 14化簡下列集合表達式：（1）（AB）B ）-（AB）（2）（ABC）-（BC）A解:(1)（AB）B ）-（AB）=（AB）B ）（AB）=（AB）（AB）)B=B=（2）（ABC）-（BC）A=（ABC）（BC）A=（A（BC）（BC ）（BC）A=（

14、A（BC）A=（A（BC）A=A18某班有25個學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網球，還有2人會打這三種球。已知6個會打網球的人都會打籃球或排球。求不會打球的人數。解: 阿A=會打籃球的人，B=會打排球的人，C=會打網球的人 |A|=14, |B|=12, |AB|=6,|AC|=5,| ABC|=2, |C|=6,CAB如圖所示。25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不會打球的人共5人21.設集合A1，2，2，3，1，3,計算下列表達式：（1）A（2）A（3）A（4）A解: （1）A=1，22，31，3=1，2，3,（2）A=1，

15、22，31，3=（3）A=123= （4）A=27、設A,B,C是任意集合，證明(1)(A-B)-C=A- BC(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)證明(1) (A-B)-C=(AB) C= A( BC)= A(BC) =A- BC(2) (A-C)-(B-C)=(AC) (B C)= (AC) (BC)=(ACB) (ACC)= (ACB) = A(BC) =A- BC 由（1）得證。第七章部分課后習題參考答案7.列出集合A=2,3,4上的恒等關系I A,全域關系EA,小于或等于關系LA,整除關系DA.解：IA =<2，2>,<3,3>,<4,4>

16、 EA=<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>LA=<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>DA=<2,4>13.設A=<1,2>,<2,4>,<3,3> B=<1,3>,<2,4>,<4,2>求AB,AB, domA, domB, do

17、m(AB), ranA, ranB, ran(AB ), fld(A-B).解：AB=<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2> AB=<2,4>domA=1,2,3 domB=1,2,4 dom(AB)=1,2,3,4ranA=2,3,4 ranB=2,3,4ran(AB)=4fld R=dom Rran RA-B=<1,2>,<3,3>，fld(A-B)=1,2,314.設R=<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1

18、,3>,<2,3>求RR, R-1, R0,1, R1,2解：RR=<0,2>,<0,3>,<1,3>R-1,=<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>R0,1=<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>R1,2=ran(R1,2)=2,316設A=a,b,c,d，為A上的關系，其中=求。解: R1R2=<a,d>,<a,c>,<a,d

19、> R2R1=<c,d>R12=R1R1=<a,a>,<a,b>,<a,d>R22=R2R2=<b,b>,<c,c>,<c,d>R23=R2R22=<b,c>,<c,b>,<b,d>36設A=1，2，3，4，在AA上定義二元關系R， <u,v>,<x,y>AA ，u,v> R <x,y>u + y = x + v.(1) 證明R 是AA上的等價關系.(2)確定由R 引起的對AA的劃分.（1）證明：<u,v>R<

20、x,y> u+y=x-y<u,v>R<x,y>u-v=x-y<u,v>AAu-v=u-v<u,v>R<u,v>R是自反的任意的<u,v>,<x,y>A×A如果<u,v>R<x,y> ，那么u-v=x-yx-y=u-v <x,y>R<u,v> R是對稱的任意的<u,v>,<x,y>,<a,b>A×A若<u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b>則u-v=x

21、-y,x-y=a-bu-v=a-b <u,v>R<a,b>R是傳遞的R是A×A上的等價關系(2) =<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>, <2,1>,<3,2>,<4,3>, <3,1>,<4,2>,<4,1>, <1,2>,<2,3>,<3,4>, <1,3>,<2,4>, <1,4> 41.設A=1，2，3，4，R為AA上的二元關系, a，b，c，d AA

22、 , a，bRc，da + b = c + d(1) 證明R為等價關系.(2) 求R導出的劃分.(1)證明：<a，b AA a+b=a+b<a,b>R<a,b> R是自反的任意的<a,b>,<c,d>A×A設<a,b>R<c,d>，則a+b=c+dc+d=a+b <c,d>R<a,b>R是對稱的任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>A×A若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>則a

23、+b=c+d,c+d=x+ya+b=x+y <a,b>R<x,y>R是傳遞的R是 A×A上的等價關系(2)=<1,1>, <1,2>,<2,1>, <1,3>,<2,2>,<3,1>, <1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>, <2,4>,<4,2>,<3,3>, <3,4>,<4,3>, <4,4>43. 對于下列集合與整除關系畫出哈斯圖:(1) 1,2,3,4

24、,6,8,12,24(2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12解: (1) (2)45.下圖是兩個偏序集<A,R>的哈斯圖.分別寫出集合A和偏序關系R的集合表達式. (a) (b)解: (a)A=a,b,c,d,e,f,g R=<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g> (b) A=a,b,c,d,e,f,gR=<a,b>,<a,c>,<a,

25、d>,<a,e>,<a,f>,<d,f>,<e,f>46.分別畫出下列各偏序集<A,R>的哈斯圖,并找出A的極大元極小元最大元和最小元.(1)A=a,b,c,d,eR=<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>IA.(2)A=a,b,c,d,e, R=<c,d>IA.解: (1) (2)項目 (1) (2)極大元: e a,b,d,e 極小元: a a,b,c,e最大元: e 無最小元: a 無

26、第八章部分課后習題參考答案1 設f :NN,且 f (x)=求f (0), f (0), f (1), f (1), f (0,2,4,6,)，f (4,6,8), f -1(3,5,7).解：f (0)=0, f (0)=0, f (1)=1, f (1)=1, f (0,2,4,6,)=N，f (4,6,8)=2,3,4, f -1 (3,5,7)=6,10,14.4. 判斷下列函數中哪些是滿射的?哪些是單射的?哪些是雙射的? (1) f:NN, f(x)=x2+2 不是滿射，不是單射 (2) f:NN,f(x)=(x)mod 3, x除以3的余數 不是滿射，不是單射 (3) f:NN,f

27、(x)= 不是滿射，不是單射 (4) f:N0,1,f(x)= 是滿射，不是單射 (5) f:N-0R,f(x)=lgx 不是滿射，是單射 (6) f:RR,f(x)=x2-2x-15 不是滿射，不是單射5. 設X=a,b,c,d,Y=1,2,3,f=<a,1>,<b,2>,<c,3>,判斷以下命題的真假: (1)f是從X到Y的二元關系,但不是從X到Y的函數; 對 (2)f是從X到Y的函數,但不是滿射,也不是單射的; 錯 (3)f是從X到Y的滿射,但不是單射; 錯 (4)f是從X到Y的雙射. 錯第十章部分課后習題參考答案4判斷下列集合對所給的二元運算是否封閉

28、：（1） 整數集合Z和普通的減法運算。 封閉,不滿足交換律和結合律，無零元和單位元（2） 非零整數集合普通的除法運算。不封閉（3） 全體實矩陣集合（R）和矩陣加法及乘法運算，其中n2。封閉 均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律；加法單位元是零矩陣，無零元；乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣；（4）全體實可逆矩陣集合關于矩陣加法及乘法運算，其中n2。不封閉（5）正實數集合和運算，其中運算定義為： 不封閉 因為 （6）關于普通的加法和乘法運算。封閉，均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律加法單位元是0，無零元；乘法無單位元（），零元是0；單位元是1（7）A = n運算定義如下： 封閉 不

29、滿足交換律，滿足結合律，（8）S = 關于普通的加法和乘法運算。封閉 均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律（9）S = 0,1,S是關于普通的加法和乘法運算。 加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結合律（10）S = ,S關于普通的加法和乘法運算。加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結合律5對于上題中封閉的二元運算判斷是否適合交換律，結合律，分配律。 見上題7 設 * 為上的二元運算，X * Y = min ( x，y ),即x和y之中較小的數.(1) 求4 * 6，7 * 3。 4, 3(2)* 在上是否適合交換律，結合律，和冪等律？滿足交換律，結合律，和冪等律(3)求*運算的單位

30、元，零元及中所有可逆元素的逆元。單位元無，零元1, 所有元素無逆元8 為有理數集，*為S上的二元運算，<a,b>,<x,y >S有 < a，b >*<x，y> = <ax，ay + b>（1）*運算在S上是否可交換，可結合？是否為冪等的？不可交換：<x,y>*<a,b >= <xa，xb +y>< a，b >*<x，y>可結合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax，ay + b>*<c,d>=<ax

31、c，axd +(ay+b) ><a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc，a(xd +y)+b >(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>)不是冪等的（2）*運算是否有單位元，零元？ 如果有請指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 設<a,b>是單位元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*

32、<a,b >=<x,y> 則<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>，解的<a,b>=<1,0>，即為單位。設<a,b>是零元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<a,b> 則<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>，無解。即無零元。<x,y >S，設<a,b>是它的逆元<a,b >*<x,y&

33、gt;= <x,y>*<a,b >=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以當x0時，10令S=a，b，S上有四個運算：*，分別有表10.8確定。 (a) (b) (c) (d)(1)這4個運算中哪些運算滿足交換律，結合律，冪等律？(a) 交換律，結合律，冪等律都滿足， 零元為a,沒有單位元；(b)滿足交換律和結合律，不滿足冪等律，單位元為a,沒有零元 (c)滿足交換律,不滿足冪等律,不滿足結合律 沒有單位元, 沒有零元(d) 不滿足交換律，滿足結合律和冪等律 沒有單位元,

34、沒有零元(2) 求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元。見上16設V= N，+ ，其中+ ，分別代表普通加法與乘法，對下面給定的每個集合確定它是否構成V的子代數，為什么？（1）S1= 是（2）S2= 不是 加法不封閉（3）S3 = -1，0，1 不是，加法不封閉第十一章部分課后習題參考答案8.設S=0，1，2，3，為模4乘法，即 "x,yS, xy=(xy)mod 4 問S，是否構成群？為什么？解：(1) x,yS, xy=(xy)mod 4,是S上的代數運算。(2) x,y,zS,設xy=4k+r (xy)z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+

35、rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理x(yz) =(xyz)mod 4所以，(xy)z = x(yz)，結合律成立。(3) xS, (x1)=(1x)=x,，所以1是單位元。(4) 0和2沒有逆元所以，S，不構成群9.設Z為整數集合，在Z上定義二元運算。如下： " x,yZ,xoy= x+y-2 問Z關于o運算能否構成群？為什么？解：(1) x,yZ, xoy= x+y-2,o是Z上的代數運算。(2) x,y,zZ, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz= xo(yoz)，結合律成立。(3

36、)設是單位元，xZ, xo= ox=x,即x+-2= +x-2=x, e=2(4) xZ , 設x的逆元是y, xoy= yox=, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，所以Z，o構成群11.設G=，證明G關于矩陣乘法構成一個群解：(1) x,yG, 易知xyG,乘法是Z上的代數運算。(2) 矩陣乘法滿足結合律(3)設是單位元，(4)每個矩陣的逆元都是自己。所以G關于矩陣乘法構成一個群14.設G為群，且存在aG,使得 G=akkZ證明：G是交換群。證明:x,yG，設，則所以，G是交換群17.設G為群，證明e為G中唯一的冪等元。證明:設也是冪等元，則，即，由消去律知18.設G為群，a,b,cG

37、,證明 abc=bca=cab證明：先證設設則，即左邊同乘，右邊同乘得反過來，設則由元素階的定義知，abc=bca，同理bca=cab19.證明：偶數階群G必含2階元。證明：設群G不含2階元，當時，是一階元，當時，至少是3階元,因為群G時有限階的，所以是有限階的，設是k階的,則也是k階的，所以高于3階的元成對出現的，G不含2階元，G含唯一的1階元,這與群G是偶數階的矛盾。所以，偶數階群G必含2階元20.設G為非Abel群，證明G中存在非單位元a和b,ab,且ab=ba.證明：先證明G含至少含3階元。若G只含1階元,則G=e,G為Abel群矛盾；若G除了1階元e外,其余元均為2階元，則，與G為A

38、bel群矛盾；所以，G含至少含一個3階元，設為，則，且。令的證。21.設G是Mn(R)上的加法群，n2，判斷下述子集是否構成子群。（1）全體對稱矩陣 是子群（2）全體對角矩陣 是子群（3）全體行列式大于等于0的矩陣. 不是子群（4）全體上（下）三角矩陣。 是子群22.設G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構成的集合，即 N（a）=xxGxa=ax證明N（a）構成G的子群。證明：ea=ae, ,所以由，得，即，所以所以N（a）構成G的子群31.設1是群G1到G2的同態(tài)，2是G2到G3的同態(tài)，證明12是G1到G3的同態(tài)。證明：有已知1是G1到G2的函數，2是G2到

39、G3的函數，則1·2是G1到G3的函數。所以:1·2是G1到G3的同態(tài)。33.證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結論。 證明：設G是循環(huán)群,令G=<a>,令,那么,G是阿貝爾群 克萊因四元群,是交換群,但不是循環(huán)群,因為e是一階元，a,b,c是二階元。36.設是5元置換，且，(1)計算；(2)將表示成不交的輪換之積。(3)將（2）中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換。解：(1) (2) (3) 奇置換， 偶置換 奇置換第十四章部分課后習題參考答案5、設無向圖G有10條邊，3度與4度頂點各2個，其余頂點的度數均小

40、于3，問G至少有多少個頂點？在最少頂點的情況下，寫出度數列、。解：由握手定理圖G的度數之和為：3度與4度頂點各2個，這4個頂點的度數之和為14度。其余頂點的度數共有6度。其余頂點的度數均小于3，欲使G的頂點最少，其余頂點的度數應都取2,所以，G至少有7個頂點, 出度數列為3,3,4,4,2,2,2,.7、設有向圖D的度數列為2，3，2，3，出度列為1，2，1，1，求D的入度列，并求，,.解：D的度數列為2，3，2，3，出度列為1，2，1，1，D的入度列為1,1,1,2.,8、設無向圖中有6條邊，3度與5度頂點各1個，其余頂點都是2度點，問該圖有多少個頂點？解：由握手定理圖G的度數之和為：設2度

41、點個，則，該圖有4個頂點.14、下面給出的兩個正整數數列中哪個是可圖化的？對可圖化的數列，試給出3種非同構的無向圖，其中至少有兩個時簡單圖。(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇數，不可圖化；(2) 22+2+2+3+3+4+4=16, 是偶數，可圖化；18、設有3個4階4條邊的無向簡單圖G1、G2、G3，證明它們至少有兩個是同構的。證明：4階4條邊的無向簡單圖的頂點的最大度數為3，度數之和為8，因而度數列為2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1對應的圖不是簡單圖。所以從同構的觀點看

42、，4階4條邊的無向簡單圖只有兩個：所以，G1、G2、G3至少有兩個是同構的。20、已知n階無向簡單圖G有m條邊，試求G的補圖的邊數。解：21、無向圖G如下圖(1)求G的全部點割集與邊割集，指出其中的割點和橋；(2) 求G的點連通度與邊連通度。解：點割集: a,b,(d)邊割集e2,e3,e3,e4,e1,e2,e1,e4e1,e3,e2,e4,e5=123、求G的點連通度、邊連通度與最小度數。解：、 、28、設n階無向簡單圖為3-正則圖，且邊數m與n滿足2n-3=m問這樣的無向圖有幾種非同構的情況？解： 得n=6,m=9.31、設圖G和它的部圖的邊數分別為和，試確定G的階數。解： 得45、有向圖D如圖 (1)求到長度為1，2，3，4的通路數；(2)求到長度為1，2，3，4的回路數；(3)求D中長度為4的通路數；(4)求D中長度小于或等于4的回路數；(5)寫出D的可達矩陣。解：有向圖D的鄰接矩陣為：，(1)到長度為1，2，3，4的通路數為0,2,0,0；(2)到長度為1，2，3，4的回路數為0,0,4,0；(3)D中長度為4的通路數為32；(4)D中長度小于或等于4的回路數10；(4)出D的可達矩陣第十六章部分課后習題參考答案1、畫出所有5階和7階非同構的無向樹.2、一棵無向樹T有5片樹葉，3個2度分支點，其余的分支點都是3度頂點，問T有幾個頂點?