第一輪復習命題及其關系充分條件與必要條件

1、命題及其關系、充分條件與必要條件 考點與要求 1了解命題的概念2了解“若，則”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系3理解必要條件、充分條件與充要條件的意義 知識與方法梳理 一、基礎知識A命題1命題可以判斷 真假 的陳述句，叫做命題注：（1）數(shù)學命題的表達形式有：語言、符號、式子等（2）判斷一個語句是否是命題，一看“陳述句”，二看“可判斷真假”僅此兩點例如，今天天氣不錯；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；若，則以上四個句子中，雖是陳述句，但不能判斷其真假“天氣不錯”的標準不明確是陳述句，且能判斷正確，因此是命題對于，當時，為真；當時，為假這句話雖是陳述句，但無真假可言，因此不是

2、命題. 顯然是命題2假命題、真命題真命題：可以判斷為 真 的命題，即當題設成立時，結論一定成立，叫做真命題假命題：可以判斷為 假 的命題，即當題設成立時，結論不一定成立或一定不成立，叫做假命題注:判斷一個命題的真假時，如果說一個命題是真命題，那么必須證明它的正確性；而判斷一個命題是假命題時，只要舉出一個反例，它符合命題的題設，但不滿足結論就可以了延伸閱讀: 開句、命題函數(shù)、開句的取真集（內(nèi)容不要求掌握）（1）開句、命題函數(shù)形如“”、“”等單獨的方程、不等式語句，都不是命題，因為它們也對也不對，即無真假可言這些語句在數(shù)理邏輯上叫做開句開句又叫做命題函數(shù)，意思是當變元（這里的）取不同的個體的時候，

3、就得到不同的命題開句常記作、，其中變元是在一定范圍里變化.當取某個個體時，開句就變成了命題（與開句相對，有的書上把命題叫做句）如：對于“”而言，當時，為真；當時，為假（2）開句的取真集對于開句，最為關心的是，哪些個體使句子為真，哪些個體使句子為假例如，對于“”而言，“”時為真，“”時為假.使開句取真的的范圍叫做的取真集，記作對開句來說，取真集為解方程，解不等式，本質(zhì)上是找開句的取真集（3）將命題函數(shù)變成命題命題函數(shù)變成命題的方法有兩個方法一：將命題函數(shù)中的用特殊個體代入，從而得到對特殊個體進行判斷的命題，這種命題叫做單稱命題例如“張三是共產(chǎn)黨員”，其中“張三”是被判斷的個體，“是共產(chǎn)黨員”是謂

4、詞，“是”是判斷詞再如，命題函數(shù)，對賦值，可得到命題和，即，和當然是真命題，是假命題方法二：利用量詞來限制個體的范圍例如：命題函數(shù)，前面添加量詞“所有的”或“有”，得到命題“所有的實數(shù)都有”或“有實數(shù)使” 前者是假命題，后者是真命題3命題的形式若，則其中叫做命題的條件（或題設），叫命題的結論注：絕大多數(shù)命題都能寫成上述形式，但有些則不能，如特稱命題B四種命題及其關系1四種命題及其關系（1）四種命題是指原命題、原命題的逆命題、否命題、逆否命題.（2）設原命題為：“若，則”，則原命題的逆命題、否命題、逆否命題分別定義如下：逆命題：條件和結論分別是原命題的結論和條件，其形式：“若，則”否命題：條件和

5、結論分別是原命題的條件和結論的否定，其形式：“若，則”逆否命題：條件和結論分別是原命題的結論和條件的否定，其形式：“若，則”延伸閱讀：偏逆命題（內(nèi)容不要求掌握）當命題的條件和結論都是一個簡單命題時，只要將它們進行交換就得到了原命題的逆命題.如上面例子當命題的條件和結論不只是一個簡單命題時，將命題條件和結論中的簡單命題任意進行交換位置，就可以得到多個原命題的逆命題. 如命題“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”，命題條件有兩個：“：垂直于弦”、“：過圓心”；結論也有兩個：“：平分這條弦”、“：平分弦所對的兩條弧”.其形式即為：，該命題的所有偏逆命題有：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分

6、弦所對的兩條弧；：垂直于弦且平分弦所對弧的直線經(jīng)過圓心并且平分這條弦；：平分弦的直徑垂直于這條弦并且平分弦所對的兩條?。唬浩椒窒宜鶎Φ幕≈睆酱怪逼椒诌@條弦2四種命題的真假關系（1）四種命題間的三種基本關系：互逆、互否、互為逆否關系（2）具有互逆關系的命題：原命題與其逆命題、原命題的否命題與原命題的逆否命題具有互否關系的命題：原命題與其否命題、原命題的逆命題與原命題的逆否命題具有互為逆否關系的命題：原命題與其逆否命題、原命題的逆命題與原命題的否命題（3）等價命題：同真同假的兩命題稱為等價命題具有互為逆否關系的兩個命題等價注：同真同假的含義：其中任何一個命題的真與假必然導致另一命題的真與假（4）不

7、等價關系：兩命題的真假性 沒有關系 互逆命題 、 互否命題 不等價C充分條件與必要條件記命題“若，則”為“”，若命題“若，則”為真，則進一步記作“”，為假時，則記作1基本概念（1）若，則稱是的充分條件，是的必要條件（2）若，且，則稱是的充分不必要條件，是的必要不充分條件（3）若，且，則稱是的充要條件，這時，也是的充要條件（4）若，且，則稱是的不充分不必要條件，這時，也是的不充分不必要條件注：（1）在判斷中，要完整地敘述條件類型.比如：“充分不必要條件”不能只說成“充分條件”（2）敘述充要條件的等價語句：“當且僅當”、“必須且只須”、“若且僅若”等其中，“當、必須、若”表達的是條件的充分性，而“

8、僅當、只須、僅若”表達的是條件的必要性2對“充分條件”與“必要條件”的理解（1）從定義本身去理解充分條件：要使結論成立，只要具備條件就足夠了事實上，式子已經(jīng)表明，條件成立時，結論一定成立，就是說，要使結論成立，只要具備條件就足夠了必要條件：當條件成立時，結論不一定成立，但條件不成立時，結論一定不成立.依題意，條件為、結論為一方面，雖然命題“”為真，但其逆命題“”卻未必為真，因此，當條件成立時，結論不一定成立另一方面，命題“”為真，從而其逆否命題“”也真，即，據(jù)此可知，條件不成立時，結論一定不成立（2）利用開關電路圖理解“充分條件”與“必要條件”視“開關的閉合”為條件，“燈泡亮”為結論，則圖中，

9、條件是結論的 條件 充分不必要條件（）圖中，條件是結論的 條件 必要不充分條件（）圖中，條件是結論的 條件 充要條件（）圖中，條件是結論的 條件 不充分不必要條件（）（3）從集合間的包含關系理解“充分條件”與“必要條件”設條件對應集合，條件對應集合，即，若，則是的充分條件，若，則是的充分不必要條件事實上，若有，可得，即，是的充分條件若有，可得，且，是的充分不必要條件若，則是的必要條件，若，則是的必要不充分條件事實上，若有，可得，即，是的必要條件若有，可得，且，是的必要不充分條件若，則與互為充要條件事實上，若有，可得，即，若有，可得，即，、互為充要條件若且，則是的既不充分條件也不必要條件事實上，

10、若有，可得，即，同理，是的既不充分也不必要條件二、基本思想方法等價轉(zhuǎn)化的思想示例 已知，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍解：由得，由得，結合數(shù)軸有 解得點評與警示：本題利用等價轉(zhuǎn)化思想，把轉(zhuǎn)化為，進一步轉(zhuǎn)化為是的子集，然后利用數(shù)軸列出不等關系 題型示例 A命題的判斷、命題的真假判斷例 判斷下列語句哪些是命題？若是命題，是真命題還是假命題？（1）空集是任何集合的真子集； 命題；假命題（2）三角函數(shù)是單調(diào)函數(shù)嗎？ 疑問句，不是命題（3）空間里垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； 命題；假命題（4）； 開句，不是命題（5）若，則； 命題；真命題（二次三項式的判別式，在條件下，始終有）（6）若整

11、數(shù)是素數(shù)，則是奇數(shù)；命題；假命題（時，由條件推不出結論）（7） 命題；假命題點評與警示：構成命題的條件有兩個，一個是陳述句，另一個是能判斷真假B命題的形式例 把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假（1）周長相等的兩個三角形面積相等； （2）偶數(shù)能被2整除； （3）奇函數(shù)的圖象關于原點對稱； （4）同弧所對的圓周角不相等； （5）菱形對角線互相平分； （6）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； （7）負數(shù)的立方是負數(shù)； （8）對頂角相等解：（1）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形面積相等 假命題（2）若一個數(shù)是偶數(shù)，則它能被2整除 真命題（3）若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖象關于原

12、點對稱 真命題（4）若兩個圓周角是同弧所對的圓周角，則它們不相等 假命題（5）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相平分 真命題（6）若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行真命題（7）若一個數(shù)是負數(shù)，則這個數(shù)的立方是負數(shù) 真命題.（8）若兩個角是對頂角，則這兩個角相等 真命題選填C四種命題的概念例 把下列命題改寫成“若，則”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題.（1）當時，； （2）對頂角相等；（3）等底等高的兩三角形全等；（4）兩邊及夾角對應相等的兩三角形全等解：（1）原命題：若，則 逆命題：若，則否命題：若，則 逆否命題：若，則（2）原命題：若兩個角是對頂角，則它們相等

13、 逆命題：若兩個角相等，則它們是對頂角否命題：若兩個角不是對頂角，則它們不相等. 逆否命題：若兩個角不相等，則它們不是對頂角（3）原命題：若兩個三角形的對應高和底分別相等，則這兩個三角形全等.逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應高和底分別相等. 否命題：若兩個三角形的對應高和底不都相等，則這兩個三角形不全等. 逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形的對應高和底不都相等（4）原命題：若兩個三角形對應兩邊和夾角分別相等，則這兩個三角形全等逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應兩邊和夾角分別相等否命題：若兩三角形的應邊兩對及夾角不都相等，則這兩個三角形不全等逆否命題：若兩個三

14、角形不全等，則這兩個三角形的對應兩邊及夾角不都相等點評與警示：正確敘述正面術語的否定形式，如“都”的否定應為“不都”而非“都不”D四種命題之間的關系例 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷它們的真假（1）垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線的直線垂直于平面； （2）若，則方程有實根；（3）若，則；（4）菱形對角線垂直且相等解：（1）原命題：若直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則直線垂直于平面 假命題.逆命題：若直線垂直于平面，則直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線 真命題. 否命題：若直線不垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則直線不垂直于平面 真命題逆否命題：若直線不垂直于平面，則直線不垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線 假命題（2）

15、逆命題： 若方程有實根，則 假命題否命題：若，則方程無實根 假命題逆否命題：若方程無實根，則 假命題（3）逆命題：若，則 真命題否命題：若，則中至少有一個不為0 真命題逆否命題：若中至少有一個不為0，則 真命題（4）逆命題：對角線垂直且相等的四邊形是菱形 假命題否命題：不是菱形的四邊形的對角線不垂直或不相等 假命題逆否命題：對角線不垂直或不相等的四邊形不是菱形 假命題E利用等價命題證明例 證明：若，則.分析：將“若，則”視作原命題.要證原命題為真命題，去證它的逆否命題“若中至少有一個不為0，則”為真命題證明：若中至少有一個不為0，不妨設，則，即. 因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為

16、真命題F充要條件的判定例 指出下列各組命題中，是的什么條件？（1），直線與圓相切（2），（3）設均為直線，為平面，其中，（4）設，（5）中，內(nèi)角對邊的長分別為， 解：（1）充分不必要條件；（2）充分不必要條件；（3）必要不充分條件；（4）充要條件；（5）充要條件G由充分條件、必要條件求參數(shù)取值范圍已知條件，條件，且是的一個充分不必要條件，則的取值范圍是A B C D解：不等式等價于即，解得，條件對應的取值集合由，得當，即時，解集為，這時條件對應的取值集合；當，即時，解集為，這時；當，即時，解集為是的充分不必要條件，是的充分不必要條件，從而條件對應的取值集合是條件對應的取值集合的真子集當時，由，

17、得解得；當時，顯然有；當時，由，得解得綜上，的取值范圍是答案：CH錯解剖析寫出命題“若，則”的否命題和逆否命題否命題是： 逆否命題是： 錯解：否命題：已知是實數(shù)，若與，與都不相等，則逆否命題：已知是實數(shù)，若，則與，與都不相等錯因分析：事件“，”的正確否定應為：與、與不都相等；或正解：否命題：已知是實數(shù)，若，中至少有一個不成立，則逆否命題：已知是實數(shù)，若，則，中至少有一個不成立M方法規(guī)律探究四種條件的判定方法.（1）定義推斷法：分別去判斷和是否成立，然后形成結論（2）原、逆命題推斷法：原真逆假條件為：充分不必要； 原假逆真條件為：必要不充分；原真逆真條件條件為：充要； 原假逆假條件為：不充分不必

18、要.（3）逆否命題判別法：判斷命題的真假，改為判斷其逆否命題的真假（4）集合推斷法：具體內(nèi)容見前面（5）傳遞法：即，得 課堂練習 一、選擇題1下列語句不是命題的有 ； 與一條直線相交的兩直線平行嗎？ ； A B C D解：開句，不是命題疑問句，不是命題陳述句，并能判斷為假，是命題，假命題開句，不是命題答案：C2若是兩個集合，則下列命題中的真命題是 A如果，那么 B如果，那么C如果，那么 D如果，那么答案：A3有下列四個命題：“若，則互為相反數(shù)”的逆命題； “若，則”的逆否命題； “若，則”的否命題；“若是無理數(shù)，則是無理數(shù)”的逆命題； 其中真命題的個數(shù)是 A0 B1 C2 D3解：逆命題為：互

19、為相反數(shù)，則 真命題逆否命題為：若，則 假命題否命題為：若，則 假命題（，）逆命題為：若是無理數(shù)，則是無理數(shù) 假命題（，時，不是無理數(shù)）答案：B二、判斷題4把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假（1）等邊三角形的三個內(nèi)角相等；（2）當時，函數(shù)的值隨值的增加而增加解：（1）若一個三角形是等邊三角形，則它的三個內(nèi)角相等真命題（2）當時，若的值增加，則函數(shù)的值也增加，真命題5把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假.（1）矩形的對角線相等； （2）線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等； （3）能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除；（4）實數(shù)的平方是非負數(shù)解：（1）若一個四邊形式矩形，則其對角線相等.真命題（2）若一個點在線段的垂直平分線上，則它到線段兩端點距離相等.真命題（3）若一個能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除.真命題（4）若一個為實數(shù)，則這個數(shù)的平方為非負數(shù)真命題6.給出以下命題，判斷是的什么條件？（1），；（2）且，；（3）正方形，菱形；（4），解：（1）充分不必要條件；（2）充分不必要條件；（3）充分不必要條件；（4）不充分不必要條件二、解答題7把下列命題改寫成“若，則”的形式，并寫出它們的否命題與和逆否命題（1）；（2）當時，無實根解：（1）若，則