解析幾何總結(jié)性

1、解析幾何總結(jié)第七章 直線和圓的方程【概念】一、直線的方程直線的傾斜角與斜率1. 直線方程的概念：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線.2. 直線的傾斜角與斜率：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角.傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率,常用k表示.說明：當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為；直線傾斜角的取值范圍是；傾斜角是的直線沒有斜率.3. 斜率公式：

2、經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式：（x1x2）推導(dǎo)：設(shè)直線P1P2的傾斜角是,斜率是k，向量的方向是向上的（如圖73（1）（2）.向量的坐標(biāo)是.過原點(diǎn)作向量=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是，而且直線OP的傾斜角也是.根據(jù)正切函數(shù)的定義， 即（x1x2）。 同樣，當(dāng)向量的方向向上時(shí)也有同樣的結(jié)論.4. 斜率公式的形式特點(diǎn)及適用范圍：斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后次序可同時(shí)顛倒；斜率公式表明，直線對(duì)于x軸的傾斜程度，可以通過直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，而不需求出直線的傾斜角；斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎(chǔ)，必須熟記，并且會(huì)靈活運(yùn)用;當(dāng)x1=x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的

3、傾斜角等于，沒有斜率.直線的方程1. 直線方程的點(diǎn)斜式:其中為直線上一點(diǎn)坐標(biāo), k為直線斜率.推導(dǎo):若直線l經(jīng)過點(diǎn),且斜率為k，求l方程.設(shè)點(diǎn) P(x,y)是直線上不同于點(diǎn)P1的任意一點(diǎn),根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,得,可化為.說明:這個(gè)方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的;當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí),直線方程為;當(dāng)直線傾斜角為90°時(shí),直線沒有斜率,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.這時(shí)直線方程為:.2. 直線方程的斜截式:說明:b為直線l在y軸上截距；斜截式方程可由過點(diǎn)（0，b）的點(diǎn)斜式方程得到；當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.3. 直線方程的兩點(diǎn)式:其中是直線兩點(diǎn)的坐標(biāo).推

4、導(dǎo):因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)，并且，所以它的斜率.代入點(diǎn)斜式,得,.當(dāng).4. 直線方程的截距式:,其中a,b分別為直線在x軸和y軸上截距.5. 直線方程的一般式: 其中A、B不同時(shí)為0.6. 直線和二元一次方程的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x,y的二元一次方程.因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,每一條直線都有傾斜角,在90°和=90°兩種情況下,直線的方程可分別寫成及這兩種形式.它們又都可變形為的形式,且A、B不同時(shí)為0.在平面直角坐標(biāo)系中,任何關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線.因?yàn)閤、y的二元一次方程的一般形式是,其中A、B不同時(shí)為0,在B0和

5、B=0的兩種情況下,一次方程可分別化成直線的斜截式方程和表示與y軸平行或重合的直線方程.兩條直線的位置關(guān)系1直線到的角兩條直線和相交構(gòu)成四個(gè)角,它們是兩對(duì)對(duì)頂角,我們把直線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角,叫做到的角.在圖713中,直線到的角是1, l2到的角是2.2直線到的夾角:如圖713, 到的角是1, 到的角是-1,當(dāng)與相交但不垂直時(shí),和-僅有一個(gè)角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角.當(dāng)直線時(shí),直線l1和l2的夾角是.說明:10,20,且1+2=3直線l1到l2的角的公式:.推導(dǎo):設(shè)直線l1到l2的角，.如果如果,設(shè)l1、l2的傾斜角分別是1和2，則.由圖（1）和圖（2）分別可知

6、于是.4直線l1和l2的夾角公式:.這一公式由夾角定義可得.5兩直線是否相交的判斷:設(shè)兩條直線的方程是如果這兩條直線相交,由于交點(diǎn)同時(shí)在這兩條直線上,交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的唯一公共解,那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和l2的交點(diǎn),因此,兩條直線是否有交點(diǎn),就要看這兩條直線方程所組成的方程組是否有唯一解.6在平面直角坐標(biāo)系中,如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),直線l的方程是,怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)P的直線l的距離呢?方案一:根據(jù)定義,點(diǎn)P到直線l的距離d是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長(如右圖).設(shè)點(diǎn)P到直線l的垂線段為PQ,垂足為Q,由PQl可知直線PQ的斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式可

7、寫出直線PQ的方程,并由l與PQ的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);由此根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出,得到點(diǎn)P到直線l的距離d.師：此方法雖思路自然，但運(yùn)算較繁. 下面介紹另一種求法.方案二:設(shè)A0,B0,這時(shí)l與x軸、y軸都相交,過點(diǎn)P作x軸的平行線,交l于點(diǎn)R(x1,y0);作y軸的平行線,交l于點(diǎn)S(x0,y2),由所以,由三角形面積公式可知:所以,.可證,當(dāng)A=0或B=0時(shí),以上公式仍適用,于是得到點(diǎn)到直線的距離公式: .二、圓的方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：其中圓心坐標(biāo)為（a,b），半徑為r推導(dǎo)：如圖732，設(shè)M（x,y）是圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)定義，點(diǎn)M到圓心C的距離等于r,所以圓C就是集合由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M適

8、合的條件可表示為把式兩邊平方，得2圓的一般方程：（0）3二元二次方程表示圓的充要條件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圓的一般方程的系數(shù)比較，啟發(fā)學(xué)生歸納如下結(jié)論：（1）x2和y2的系數(shù)相同，且不等于0，即A=C0；（2）沒有xy項(xiàng)，即B=0；（3）D2+E24AF0.4參數(shù)方程與普通方程：一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即.并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x,y）都在這條曲線上，那么方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程.其中t叫參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系

9、的方程，叫曲線的普通方程.說明：參數(shù)方程中的參數(shù)可以有物理、幾何意義，也可以沒有明顯意義.（1）圓的參數(shù)方程：圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程：推導(dǎo)：設(shè)圓O的圓心在原點(diǎn)，半徑是r,圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)是P0（圖736）設(shè)點(diǎn)在圓O上從點(diǎn)P0開始按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)P，P0OP=，若點(diǎn)P坐標(biāo)為（x,y）,根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得 即圓心為(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程： （為參數(shù)）推導(dǎo)：圓心為O1（a,b）、半徑為r的圓可以看成由圓心為原點(diǎn)O、半徑為r的圓按向量=（a,b）平移得到.即對(duì)于圓O上任意一點(diǎn)P1（x1,y1）,在圓O1上必有一點(diǎn)P（x,y），使因?yàn)椋矗▁,y）=(x1，y

10、1)+（a,b）所以，由于點(diǎn)P1（x1,y1）在以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓上，所以存在參數(shù)，使 所以.（2）圓的參數(shù)方程化普通方程：方程組 由得 xa=rcos 由得 yb=rsin 2+2得：（xa）2+(yb)2=r2即圓的普通方程.三、簡單的線性規(guī)劃1二元一次不等式表示平面區(qū)域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.說明:二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域且包括邊界;作圖時(shí),不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實(shí)線.推導(dǎo):舉例說明.2判斷二元一次不

11、等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法:方法:取特殊點(diǎn)檢驗(yàn);原因:由于對(duì)在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地,當(dāng)C0時(shí),常取原點(diǎn)檢驗(yàn).3線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)

12、線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解4線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：例：要將兩種大小不同的鋼板截成、三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：規(guī)格類型鋼板類型規(guī)格規(guī)格規(guī)格第一種鋼板第二種鋼板今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則作出可行域（如右圖）：

13、（陰影部分）目標(biāo)函數(shù)為z=x+y作出一組平行直線x+y=t,其中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點(diǎn)A（），直線方程為x+y=.由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）中，x,y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點(diǎn)（）不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8),它們都是最優(yōu)解.答:要截得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板3張.第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.【例題】例1：如右圖，直線

14、l1的傾斜角，直線、l2的斜率.解：例2：求經(jīng)過A（2，0）、B（5，3）兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角.解：，就是因此，這條直線的斜率是1，傾斜角是例3：已知三點(diǎn)A、B、C，且直線AB、AC的斜率相同，求證這三點(diǎn)在同一條直線上.證明：由直線的斜率相同，可知AB的傾斜角與AC的傾斜角相等，而兩個(gè)角有共同的始邊和頂點(diǎn)，所以終邊AB與AC重合.因此A，B，C三點(diǎn)共線.例4：一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3),傾斜角=45°,求這條直線方程,并畫出圖形.解:這條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3),斜率是:.代入點(diǎn)斜式方程,得這就是所求的直線方程,圖形如圖中所示例5：已知直線l與x軸的交點(diǎn)為（a，0），與y軸

15、的交點(diǎn)為（0，b），其中a0,b0,求直線l的方程.解:因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(a,0)和B(0,b)兩點(diǎn),將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式,得:例6：三角形的頂點(diǎn)是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.解:直線AB過A(-5,0)、B（3，-3）兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得整理得：，即直線AB的方程.直線BC過C(0,2),斜率是,由點(diǎn)斜式得:整理得:,即直線BC的方程.直線AC過A(-5,0),C(0,2)兩點(diǎn),由兩點(diǎn)式得:整理得：，即直線AC的方程.例7：已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6,-4),斜率為,求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.解:經(jīng)過點(diǎn)A(6,-4)并且斜率等于的直線方程的點(diǎn)斜式

16、是:化成一般式,得.例8：把直線l的方程化成斜截式，求出直線l的斜率和它在x軸與y軸上的截距，并畫圖.解:將原方程移項(xiàng),得兩邊除以2,得斜截式因此,直線l的斜率，它在y軸上的截距是3，在上面的方程中令y=0，可得x=-6，即直線l在x軸上的截距是-6.由上述內(nèi)容可得直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)為A（-6，0）、B（0，3），過點(diǎn)A、B作直線，就得直線l.（如右圖）. 例9：求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x4y7=0相切的圓的方程.解：因?yàn)閳AC和直線3x4y7=0相切，所以半徑r等于圓心C到這條直線的距離.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是解：如圖733，設(shè)切線的斜率為k，半徑O

17、M的斜率為k1,因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，于是k=.經(jīng)過點(diǎn)M的切線方程是：整理得：因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，,y0）在圓上，所以所求切線方程為：當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí)，上述方程同樣適用.例11： 圖734是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01m）.解：建立直角坐標(biāo)系如圖734所示.圓心在y軸上，設(shè)圓心的坐標(biāo)是（0，b），圓的半徑是r,那么圓的方程是x2+(yb)2=r2因?yàn)镻、B都在圓上，所以它們的坐標(biāo)（0，4）、（10，0）都是這個(gè)圓的方程的解.于是得到方程組. 解得b=10.5, r2=14.52

18、所以這個(gè)圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=2代入圓方程得答：支柱A2P2的長度約為.例12： 求過三點(diǎn)O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo).解：設(shè)所求圓的方程為用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件來確定D、E、F、因?yàn)镺、M1、M2在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程，可得 解得于是所求圓方程為：x2+y28x+6y=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x4）2+y(3)2=52所以圓半徑r=5,圓心坐標(biāo)為（4，3）例13：已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出

19、曲線.解：在給定的坐標(biāo)系里，設(shè)點(diǎn)M（x,y）是曲線上的任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)M屬于集合.由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合的條件可以表示為， 將式兩邊平方，得化簡得x2+y2+2x3=0 化為標(biāo)準(zhǔn)形式得：（x+1）2+y2=4所以方程表示的曲線是以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，它的圖形如圖735所示.例14： 如圖738，已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（12，0）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡是什么？解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）.因?yàn)閳Ax2+y2=16的參數(shù)方程為所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4cos,4sin）.由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為

20、所以，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)（6，0）為圓心，2為半徑的圓.例15：求直線的夾角(用角度制表示)解:由兩條直線的斜率得利用計(jì)算器計(jì)算或查表可得:71°34.例16：等腰三角形一腰所在直線l1的方程是,底邊所在直線l2的方程是,點(diǎn)(-2,0)在另一腰上(圖715),求這條腰所在直線l3的方程.解:設(shè)l1,l2, l3的斜率分別為k1,k2, k3, l1到l2的角是1, l2到 l3的角是2,則因?yàn)閘1,l2, l3所圍成的三角形是等腰三角形,所以1=2,即將代入得解得因?yàn)閘3經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),斜率為2,寫出其點(diǎn)斜式方程為,得:.即直線l3的方程.例17：求下列兩條直線的交點(diǎn).

21、解:解方程組所以,l1與l2的交點(diǎn)是M(-2,2).如圖716所示.例18：求經(jīng)過原點(diǎn)且經(jīng)過以下兩條直線的交點(diǎn)的直線的方程: 解:解方程組所以, l1與l2的交點(diǎn)是(2,2).設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線方程為,把點(diǎn)(2,2)的坐標(biāo)代入以上方程,得,所以所求直線方程為例19：求點(diǎn)P0（-1，2）到下列直線的距離：（1）解：（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得（2）因?yàn)橹本€平行于y軸，所以例20：求平行線和的距離.解:在直線上任取一點(diǎn),例如取P(3,0),則點(diǎn)P(3,0)到直線的距離就是兩平行線間的距離.因此:.例21：畫出不等式2x+y-6<0表示的平面區(qū)域.解:先畫出直線2x+y-6=0(畫成虛線).取

22、原點(diǎn)(0,0),代入2x+y-6,因?yàn)?×0+0-6=-60所以,原點(diǎn)在2x+y-6<0表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式2x+y-6<0表示的區(qū)域如圖721表示.例22：畫出不等式組表示的平面區(qū)域解：不等式xy0表示直線xy0上及右下方的點(diǎn)的集合，xy0表示直線x+y=0上及右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線上及左方的點(diǎn)的集合，所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖722所示第八章 曲線的方程【概念】一、橢圓 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距.2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：形

23、式一：說明：此方程表示的橢圓焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1（c，0）、F2（c，0），其中c2=a2b2.形式二：說明：此方程表示的橢圓焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1（0，c），F(xiàn)2（0，c），其中c2=a2b2.兩種形式中，總有a>b>0；兩種形式中，橢圓焦點(diǎn)始終在長軸上；a、b、c始終滿足c2=a2b2；遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同號(hào)，就是橢圓方程，推導(dǎo)：建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過點(diǎn)F1、F2，并且O與線段F1F2的中點(diǎn)重合.設(shè)M（x,y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c0)，那么焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是（c,0），(c,0).又設(shè)M與F1和F2的距離的和等于

24、常數(shù)2a.由橢圓定義，橢圓就是集合P=MMF1+MF2=2a因?yàn)镸F1=MF2=所以得：+=2a整理得：（a2c2）x2+a2y2=a2(a2c2).由橢圓的定義可知：2a2c，即ac，故a2c20.令a2c2=b2，其中b0，代入上式整理得：橢圓的簡單幾何性質(zhì)1范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形里原因：由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都適合不等式即,2對(duì)稱性：橢圓關(guān)于y軸、x軸和原點(diǎn)都對(duì)稱原因：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程里，以-x代x，或以-y代y，或以-x，-y分別代x、y，方程都不變3頂點(diǎn)：橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)其中（-a,0）,A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交

25、點(diǎn)；（，b）,B1(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)線段、分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫橢圓的長半軸長和短半軸長4離心率：橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率說明因?yàn)樗詄越接近，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于，c越接近于，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A二、雙曲線雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1雙曲線的定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.說明常數(shù)小于；這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)；這兩焦點(diǎn)的距離叫雙曲線的焦距.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：形式

26、一： （a>0,b>0）說明：此方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.焦點(diǎn)是F1(c,0)、F2(c,0)，這里c2=a2+b2.形式二： （a>0,b>0）說明：此方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是F1(0，c)、F2(0， c)，這里c2=a2+b2.推導(dǎo)：如圖812，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過點(diǎn)F1、F2，并且點(diǎn)O與線段F1F2的中點(diǎn)重合.設(shè)M（x,y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c>0)，那么，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).又設(shè)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a.由定義可知，雙曲線就是集合因?yàn)樗缘?將方程化簡得(

27、c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由雙曲線的定義可知，2c>2a，即c>a，所以c2a2>0，令c2a2=b2，其中b>0，代入上式得 (a>0,b>0).雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1范圍： 雙曲線在不等式xa與xa所表示的區(qū)域內(nèi). 2對(duì)稱性： 雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都對(duì)稱，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫雙曲線中心. 3頂點(diǎn)： 雙曲線和它的對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1(a,0)、A2(a,0)，它們叫做雙曲線的頂點(diǎn). 線段A1A2叫雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長；線段B1B2叫雙曲線的虛軸，它的長

28、等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長. 4漸近線 我們把兩條直線y=±叫做雙曲線的漸近線；從圖816可以看出，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與直線y=±逐漸接近.“漸近”的證明：先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明.這一部分的方程可寫為y=>a).5雙曲線的準(zhǔn)線：當(dāng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.準(zhǔn)線方程：x=其中x=相應(yīng)于雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0);x=相應(yīng)于左焦點(diǎn)F(c,0). 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l

29、的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：推導(dǎo)過程：如圖820，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過點(diǎn)F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合.設(shè)|KF|=p(p0)，那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，準(zhǔn)線l的方程為設(shè)點(diǎn)M（x,y）是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線就是集合將上式兩邊平方并化簡，得y2=2px 方程叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：圖 形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程(p0)(p0)(p0)(p0)拋物線的簡單幾何性質(zhì)1范圍當(dāng)x的值增大

30、時(shí),也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(但應(yīng)讓學(xué)生注意與雙曲線一支的區(qū)別,無漸近線).2對(duì)稱性拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱.我們把拋物線的對(duì)稱軸叫拋物線的軸.3頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn).即坐標(biāo)原點(diǎn).4離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫拋物線的離心率,用e表示.由拋物線定義可知,e=1.【例題】例1：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn).解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2a=10, 2c=

31、8a=5, c=4b2=a2c2=5242=9所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義知：2a=a=，又c=2 b2=a2c2=6所以所求橢圓方程為例2 已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC=6，且ABC的周長等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.解：如右圖，建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、C，原點(diǎn)O與BC的中點(diǎn)重合.由已知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即點(diǎn)A的軌跡是橢圓，且2c=6, 2a=166=10c=3, a=5, b2=5232=16但當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上，即y=0時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A的軌跡方程是例3：如圖，已知

32、一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP，求線段PP中點(diǎn)M的軌跡.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0），則x=x0, y=.因?yàn)镻（x0,y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4. 將x0=x, y0=2y代入方程， 得x2+4y2=4 即 + y2=1所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.（如圖）例4：已知F是橢圓25x2+16y2=400在x軸上方的焦點(diǎn)，Q是此橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P分所成的比為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解：把已知橢圓方程變?yōu)閺亩裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x,y），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,則 25x12+16y1

33、2=400 由P分所成比為2，得x1=3x, y1=3y6 代入得：225x2+144y2576y+176=0.例5：求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程這里a=,b=4,所以因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a=10和2b=8，離心率，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（，）和（，），橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是（，），（，），（，）和（，）將已知方程變形為，根據(jù)在范圍算出幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)：x012345y43.93.73.22.40先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓例6：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（）經(jīng)過點(diǎn)（，）、（，）；（）長軸的長等于，

34、離心率等于解：（）由橢圓的幾何性質(zhì)可知，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，所以點(diǎn)、分別是橢圓長軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn)，于是得a=3,b=2.又因?yàn)殚L軸在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）由已知，2a=20,由于橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或例7：如圖，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心作為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓已知它的近地點(diǎn)距地面km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面km，并且、在同一直線上，地球半徑約為km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確到km）解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)、在x軸上，為橢圓的右焦點(diǎn)（記為左焦點(diǎn)）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則

35、，解得：用計(jì)算器求得因此，衛(wèi)星的軌道方程是例8：已知P（x0,y0）是橢圓（ab0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，求證：以PF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.證明 設(shè)以PF2為直徑的圓心為A，半徑為r.F1、F2為焦點(diǎn)，所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（ar）連結(jié)OA，由三角形中位線定理，知|OA|=故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切.例9：設(shè)P是橢圓（ab0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，且F1PF2=90°，求證：橢圓的率心率e證明 P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，由橢圓的定義，

36、得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中, 由2，得|PF1|·|PF2|=2(a2c2) 由和，據(jù)韋達(dá)定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2(a2c2)=0的兩根，則=4a28(a2c2)0,()2，即e.例10：P為橢圓（ab0）上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，e為離心率.若PF1F2=，PF2F1=，求證：證明 由橢圓定義，知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c由正弦定理，得|PF1|=2Rsin,|PF2|=2Rsin，|F1F2|=2Rsin(+)例11：P是橢圓（ab0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，半短軸為b,且F1P

37、F2=.求證：PF1F2的面積為證明 由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c.在PF1F2中，由余弦定理，得例12：已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1（5，0）、F2（5，0），雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (a>0,b>0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例13：已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為（3，）、（），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)

38、準(zhǔn)方程為： (a>0,b>0) 因?yàn)辄c(diǎn)P1、P2在雙曲線上，所以點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)適合方程.將（3，）、（）分別代入方程中，得方程組解得：a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：例14：一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2 s.（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？（2）已知A、B兩地相距800 m，并且此時(shí)聲速為340 m/s，求曲線的方程.解（1）由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上.（2）如圖814，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則即2a=680,a=340.又2c=800,c=400,b2=c2a2=44400.x>0.所求雙曲線的方程為： (x>0).例15：雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.解：如圖817，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A圓的直徑AA在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上、下口的直徑CC、BB平行于x軸，且=13×2