解析幾何與微分幾何SECTION

1、§8重要平面曲線(xiàn)表三次曲線(xiàn)方 程 與 圖 形特 征 (a >0 , b<0 ,>0) (a >0 , b<0 ,=0) (a) (b)這些曲線(xiàn)都是關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)由兩支組成漸近線(xiàn)y = a與x = 0曲線(xiàn)與y = a的交點(diǎn)曲線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)極值點(diǎn)拐點(diǎn)( a )不連續(xù)點(diǎn)極大點(diǎn)漸 近線(xiàn)（b）不連續(xù)點(diǎn)漸 近線(xiàn)（c）極大點(diǎn)拐點(diǎn)在這兩點(diǎn)的斜率分別為漸 近線(xiàn)y = 0 方 程 與 圖 形 特 征注 a, b為方程的兩個(gè)根，并設(shè)（a）不連續(xù)點(diǎn)x = a，x = b漸 近線(xiàn)y = 0和x = a，x = b（b）不連續(xù)點(diǎn)x = a，x = b極大點(diǎn)極小點(diǎn)拐點(diǎn)C漸 近線(xiàn)y

2、 = 0和x = a，x = b( c )不連續(xù)點(diǎn)x = a，x = b極大點(diǎn)極小點(diǎn)拐點(diǎn)C漸 近線(xiàn)y = 0和x = a，x = b（d）不連續(xù)點(diǎn)極大點(diǎn)拐點(diǎn)C漸 近線(xiàn)y = 0和（e）不連續(xù)點(diǎn)極小點(diǎn)拐點(diǎn)C漸 近線(xiàn)y = 0和（f）極大點(diǎn)極小點(diǎn)拐點(diǎn)C, D, E三點(diǎn)漸 近線(xiàn)y = 0上述三次曲線(xiàn)的圖形，只列出a>0的情況，對(duì)于a<0時(shí)，除曲線(xiàn)（當(dāng)a>0時(shí)漸近線(xiàn)在x軸上方，當(dāng)a<0時(shí)，漸近線(xiàn)在x軸下方）外，一般作適當(dāng)變化后，與a>0時(shí)的曲線(xiàn)都是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的.例如a<0時(shí)，兩條曲線(xiàn)：與是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的，而后者x2系數(shù).拋物型曲線(xiàn) 方 程 與 圖 形特 征(a)

3、，n為偶數(shù)：y由變到極值點(diǎn)奇數(shù)個(gè)（1n-1）拐點(diǎn)偶數(shù)個(gè)（0n-2）(b) ，n為奇數(shù)y由變到極值點(diǎn)偶數(shù)個(gè)（0n-1）拐點(diǎn)奇數(shù)個(gè)（1n-2）曲線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)A1, A2, A3(或一個(gè)交點(diǎn)A1)為方程的實(shí)根與y軸的交點(diǎn)極值點(diǎn)時(shí)C, D（C取正號(hào)，D取負(fù)號(hào)）拐點(diǎn)它是曲線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)中心，該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為 方 程 與 圖 形 特 征 (a) (b)(a) ，n為偶數(shù)：頂點(diǎn)（同極值點(diǎn)）O(0, 0)曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(b) ，n為奇數(shù)：拐點(diǎn)O(0, 0)曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（m, n為兩個(gè)互素的整數(shù)）n為偶數(shù)m奇數(shù)n為奇數(shù)m偶數(shù)n為奇數(shù)m奇數(shù)相切情況m>n m<n對(duì)稱(chēng)情況關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

4、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)在原點(diǎn)處與x軸相切在原點(diǎn)處與y軸相切方 程 與 圖 形特 征雙曲型曲線(xiàn)半立方拋物線(xiàn)箕舌線(xiàn)笛卡兒葉形線(xiàn)或蔓葉線(xiàn)或或環(huán)索線(xiàn)或或尼哥米德蚌線(xiàn)或或（外支線(xiàn)取正號(hào)，內(nèi)支線(xiàn)取負(fù)號(hào)）(a) n為偶數(shù)： 不連續(xù)點(diǎn)O（0, 0）漸近線(xiàn)y = 0與x = 0曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) (b)n為奇數(shù)：曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(a) ，n為偶數(shù)，m為奇數(shù)：不連續(xù)點(diǎn)O（0, 0）漸近線(xiàn)y = 0與x = 0曲線(xiàn)關(guān)于x對(duì)稱(chēng) (b) ，n為奇數(shù)，m為偶數(shù)：曲線(xiàn)關(guān)于y對(duì)稱(chēng) (c) ，n為奇數(shù)，m為奇數(shù)： 曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)尖點(diǎn)在該點(diǎn)與x軸相切曲率半徑弧長(zhǎng)極大點(diǎn)，在該點(diǎn)的曲率半徑為拐點(diǎn)，在這兩點(diǎn)的切線(xiàn)斜率分別為漸近線(xiàn)曲線(xiàn)與漸近線(xiàn)之間

5、的面積結(jié)點(diǎn)，在該點(diǎn)與x軸和y軸相切，曲率半徑為頂點(diǎn)漸近線(xiàn)圈套所圍成的面積曲線(xiàn)與漸近線(xiàn)之間的面積曲線(xiàn)是使的點(diǎn)M的軌跡（P是直徑為a的母圓與OQ的交點(diǎn)）尖點(diǎn)，在該點(diǎn)曲線(xiàn)與x軸相切漸近線(xiàn)曲線(xiàn)與漸近線(xiàn)之間的面積曲線(xiàn)是使PM1 = PM2 = OP的點(diǎn)M1, M2的軌跡（P為y軸上一點(diǎn)，M1,M2在過(guò)A, P兩點(diǎn)的射線(xiàn)上）頂點(diǎn)A(a, 0)結(jié)點(diǎn)O(0, 0)漸近線(xiàn)x = -a圈套所圍成的面積曲線(xiàn)與漸近線(xiàn)之間的面積曲線(xiàn)是使OM1 = OP + b,OM2 = OP-b的點(diǎn)M1,M2的軌跡(分別稱(chēng)為外支線(xiàn)(右)和內(nèi)支線(xiàn)(左)外支線(xiàn)頂點(diǎn)A(a + b, 0)拐點(diǎn)B, C，它們的橫坐標(biāo)等于方程x3 3a2x +

6、 2a(a2 b2) = 0的最大根內(nèi)支線(xiàn)頂點(diǎn)D(a-b, 0)拐點(diǎn)（a>b時(shí)）E, F，它們的橫坐標(biāo)等于方程x3 3a2x + 2a(a2 b2) = 0的第二個(gè)正根尖點(diǎn)（a=b時(shí)）O(0, 0)結(jié)點(diǎn)（a<b時(shí)）O(0, 0)內(nèi)外支線(xiàn)的漸近線(xiàn)x = a 帕斯卡蝸線(xiàn)或 或 曲線(xiàn)是使OM = OP±b的點(diǎn)M的軌跡（P點(diǎn)在直徑為a的圓周上）頂點(diǎn)Ak, Bk(a±b, 0)(k=1, 2, 3, 4, 5)，B2與原點(diǎn)重合結(jié)點(diǎn)（b<a時(shí)）O(0, 0)，在該點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為，該點(diǎn)的曲率半徑為尖點(diǎn)（b=a時(shí)）O(0, 0)孤立點(diǎn)（b>a時(shí)）O(0, 0)極值

7、點(diǎn)當(dāng)b<a時(shí)有4個(gè)，當(dāng)b³a時(shí)有2個(gè)：當(dāng)b從0變到¥時(shí)，所有極值點(diǎn)構(gòu)成蔓葉線(xiàn)拐點(diǎn)（a<b<2a時(shí)）二重切線(xiàn)的切點(diǎn)（b<2a時(shí)）：這些切點(diǎn)在圓r = -acosj上蝸線(xiàn)所圍成的面積（當(dāng)b<a時(shí)，內(nèi)圓的面積計(jì)算了兩次）注當(dāng)b=a時(shí)，即為心臟線(xiàn).卡西尼卵形線(xiàn)或曲線(xiàn)是使MF1×MF2 = a2的點(diǎn)M的軌跡（F1, F2為固定焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2 = 2c，a為常數(shù)）.頂點(diǎn)極值點(diǎn)或當(dāng)a從0變到時(shí)，所有極值點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓（半徑為c）拐點(diǎn)其中或當(dāng)a從c變到時(shí)，所有拐點(diǎn)構(gòu)成雙紐線(xiàn)注當(dāng)a=c時(shí)，即為雙紐線(xiàn).心臟線(xiàn)或或雙紐線(xiàn)或普通旋輪線(xiàn)（擺線(xiàn)）或長(zhǎng)（或短）輻旋輪

8、線(xiàn)（次擺線(xiàn)） 長(zhǎng)軸(>1) 短軸(<1)圓外旋輪線(xiàn)（外擺線(xiàn)）（a為定圓的半徑，b為動(dòng)圓的半徑，t = ÐCOx）（i） 它是使OM = OP±a的點(diǎn)M的軌跡（a為圓的直徑，P為圓周上的一點(diǎn)）（ii）它是圓外旋輪線(xiàn)的特例（動(dòng)圓與定圓的直徑相等）尖點(diǎn)O(0, 0)頂點(diǎn)A(2a, 0)極值點(diǎn)二重切線(xiàn)的切點(diǎn)曲線(xiàn)長(zhǎng)L = 8a面積（i） 它是使MF1×MF2 = a2的點(diǎn)M的軌跡（OF1 = a）（ii） 它是使OM = PQ的點(diǎn)M的軌跡（P, Q在圓心為F1，半徑為的圓周上）結(jié)點(diǎn)（同拐點(diǎn)）O(0, 0)，在該點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為± 1頂點(diǎn)極值點(diǎn)曲率半徑雙

9、紐面積S = 2a2曲線(xiàn)是一圓周沿x軸滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)時(shí)，圓周上一點(diǎn)M所描成的軌跡（圓的半徑為a）周期T = 2pa極值點(diǎn)曲率半徑漸屈線(xiàn)為一旋輪線(xiàn)（圖中虛線(xiàn)）拱長(zhǎng)面積曲線(xiàn)是一圓周沿x軸滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)對(duì)，圓外一點(diǎn)M（或圓內(nèi)一點(diǎn)N）所描成的軌跡（圓的半徑為a）周期T = 2pa結(jié)點(diǎn)拐點(diǎn)極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn)曲率半徑對(duì)應(yīng)于極值點(diǎn)（l<1時(shí)）處的曲率半徑為曲線(xiàn)是一圓周沿另一圓周外部滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)時(shí)，圓周上一點(diǎn)M所描成的軌跡，曲線(xiàn)的形狀由的值而定（i） 當(dāng)m = 1時(shí)，曲線(xiàn)是心臟線(xiàn)（ii） 當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，曲線(xiàn)由m支組成，動(dòng)點(diǎn)M描完m支后（即動(dòng)圓繞定圓一周），返回起始位置（iii） 當(dāng)m為分?jǐn)?shù)（，g, h為互素

10、的整數(shù)）時(shí)，曲線(xiàn)由g支組成，動(dòng)點(diǎn)M描完g支后（即動(dòng)圓繞定圓h周），返回起始位置（iv） 當(dāng)m為無(wú)理數(shù)時(shí)，有無(wú)窮多的分支，動(dòng)點(diǎn)M不能返回起始位置尖點(diǎn)頂點(diǎn)（式中k為整數(shù)，當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)m為無(wú)理數(shù)時(shí)，）曲線(xiàn)長(zhǎng)（一支）曲率半徑扇形A1B1A2A1的面積（不包括定圓的面積） 圓內(nèi)旋輪線(xiàn)（內(nèi)擺線(xiàn)）（a為定圓半徑，b為動(dòng)圓半徑，t = ÐCOx）曲線(xiàn)是一圓周沿另一圓周的內(nèi)部滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)時(shí)，圓周上一點(diǎn)M所描成的軌跡.圓內(nèi)旋輪線(xiàn)的尖點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)，弧長(zhǎng)，曲率半徑及面積公式都與圓外旋輪線(xiàn)一樣，只須把“+b”換成“-b”.總是大于1，特別，當(dāng)m = 4時(shí)，曲線(xiàn)有4只，稱(chēng)為星形線(xiàn)，其方程為或全曲

11、線(xiàn)長(zhǎng)L = 6a曲線(xiàn)所圍成的面積長(zhǎng)（或短）輻圓外旋輪線(xiàn)（外次擺線(xiàn)）（a為定圓半徑，b為動(dòng)圓半徑）曲線(xiàn)是一圓周沿另一圓周的外部滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)時(shí)，圓周外部(或內(nèi)部)一點(diǎn)M所描成的軌跡.長(zhǎng)(或短)輻圓內(nèi)旋輪線(xiàn)（內(nèi)次擺線(xiàn)）（a為定圓半徑，b為動(dòng)圓半徑） 長(zhǎng)輻 短輻曲線(xiàn)是一圓周沿另一圓周的內(nèi)部滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)時(shí)，圓周外部(或內(nèi)部)一點(diǎn)M所描成的軌跡.特別，當(dāng)a=2b時(shí)，長(zhǎng)短輻圓內(nèi)旋輪線(xiàn)是一個(gè)橢圓；當(dāng)a=b時(shí)，是帕斯卡蝸線(xiàn).方 程 與 圖 形特 征阿基米德螺線(xiàn)曲線(xiàn)為一動(dòng)點(diǎn)以常速沿一射線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，而這一射線(xiàn)又以定角速度繞極點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)所描成的軌跡.曲線(xiàn)由兩支曲線(xiàn)組成，它們關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).（方程中,）等距性過(guò)極點(diǎn)的

12、射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A0,A1,A2,L，它們是等間隔()的弧長(zhǎng)曲率半徑扇形M1OM2的面積對(duì)數(shù)螺線(xiàn)（等角螺線(xiàn)）曲線(xiàn)與所有過(guò)極點(diǎn)的射線(xiàn)的交角都相等(a)(k=cota)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)沿順時(shí)針?lè)较蚶@極點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而趨于極點(diǎn)等比性過(guò)極點(diǎn)的射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于L,A-1,A0,A1,L，則L，,OA0,OA1,L,各線(xiàn)段成等比級(jí)數(shù)（公比為）弧長(zhǎng)曲率半徑注當(dāng)時(shí)，即為一圓雙曲螺線(xiàn)(反螺線(xiàn))漸近點(diǎn)極點(diǎn)O（當(dāng)時(shí)）漸近線(xiàn)y=a曲率半徑扇形M1OM2的面積曲線(xiàn)由兩支組成，它們關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)連鎖螺線(xiàn)曲線(xiàn)是當(dāng)N在x軸上移動(dòng)時(shí)，使圓扇形OMN的面積保持一定的點(diǎn)M的軌跡漸近點(diǎn)極點(diǎn)O（當(dāng)時(shí)）漸近線(xiàn)x軸（當(dāng)時(shí)）方程與圖形特征圓的漸開(kāi)線(xiàn)（a為圓的

13、半徑，t=COx）尖點(diǎn)A(a,0)與x軸的交點(diǎn)B(,0)（式中t0為方程t=tant的根）弧長(zhǎng)曲率半徑曲率中心C在圓周上曲線(xiàn)由兩支組成，它們關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)回旋曲線(xiàn)拐點(diǎn)O(0,0)漸近點(diǎn)A()B( )弧長(zhǎng)曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 方程與圖形 特征懸鏈線(xiàn)頂點(diǎn)A(0, a)弧長(zhǎng)曲邊梯形OAMP的面積曲率半徑曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，位于拋物線(xiàn)y=a+（圖中虛線(xiàn)）的上方注 把一條柔軟而不能伸長(zhǎng)的重繩懸掛于 兩點(diǎn)，便得到懸鏈線(xiàn)的形狀曳物線(xiàn) x=aArch或 x=aln尖點(diǎn)A(0,a)，在該點(diǎn)與y軸相切弧長(zhǎng)=aln曲率半徑R=acot曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，是懸鏈線(xiàn)的漸開(kāi)線(xiàn)，從頂點(diǎn)A開(kāi)始展開(kāi)，這一曲線(xiàn)的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離為一常數(shù).注 把長(zhǎng)度為a的柔軟而不能伸長(zhǎng)的繩子的一端系一質(zhì)點(diǎn)M，另一端P沿軸x移動(dòng)，則點(diǎn)M便描成曳物線(xiàn)形狀 玫瑰線(xiàn)方程與圖形特征概率曲線(xiàn) y=a (a>0, k>0)頂點(diǎn)（同極大點(diǎn)）A(0, a)拐點(diǎn)B,C該點(diǎn)切線(xiàn)的斜率為曲線(xiàn)與x軸間的面積曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)標(biāo)