自動(dòng)控制理論例題集錦

1、第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法例1 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求在輸入信號(hào)為作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和。解：1. 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)頻率特性為閉環(huán)幅頻特性為閉環(huán)相頻特性為輸入信號(hào)為作用下，閉環(huán)幅頻和相頻分別為因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出2. 求系統(tǒng)的誤差穩(wěn)態(tài)輸出。系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為誤差頻率特性為輸入信號(hào)為作用下，誤差的幅頻和相頻分別為因此系統(tǒng)誤差的穩(wěn)態(tài)輸出為例2 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，當(dāng)系統(tǒng)的輸入時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為，試計(jì)算參數(shù)和的數(shù)值。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)頻率特性為輸入信號(hào)為，閉環(huán)幅頻和相頻分別為 （5-1） （5-2）由式（5-1

2、）、（5-2）易求得、。例3 試?yán)L制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的幅相特性，并判斷其負(fù)反饋閉環(huán)時(shí)的穩(wěn)定性。1. 2. 解：1. 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為曲線的起點(diǎn)：系統(tǒng)為型，時(shí)，曲線的終點(diǎn)：時(shí)，因系統(tǒng)中無開環(huán)零點(diǎn)，所以相頻特性單調(diào)遞減，易知幅相曲線與實(shí)軸有交點(diǎn)。下面求幅相曲線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)令，得代入，得系統(tǒng)為型，系統(tǒng)幅相曲線起始時(shí)漸進(jìn)線是平行于虛軸的直線，其橫坐標(biāo)為根據(jù)以上分析，可概略地作出幅相曲線，如圖5-1所示。圖5-1由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)無右半平面開環(huán)極點(diǎn)，即。由圖5-3可見，幅相曲線不包圍點(diǎn)。根據(jù)奈氏判據(jù)，系統(tǒng)負(fù)反饋閉環(huán)時(shí)穩(wěn)定。2. 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為曲線的起點(diǎn)：系統(tǒng)為型，時(shí)，曲線的終點(diǎn)：

3、時(shí)，因系統(tǒng)中有開環(huán)零點(diǎn)，所以相頻特性單調(diào)遞減，易知幅相曲線與實(shí)軸有交點(diǎn)。下面求幅相曲線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)令，得代入，得：根據(jù)以上分析，可概略地作出幅相曲線，如圖5-2所示。圖5-2由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)無右半平面開環(huán)極點(diǎn)，即。由圖5-2可見，幅相曲線不包圍點(diǎn)。根據(jù)奈氏判據(jù)，系統(tǒng)負(fù)反饋閉環(huán)時(shí)穩(wěn)定。例4 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定的取值范圍。解：1. 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為曲線的起點(diǎn)：系統(tǒng)為型，時(shí)，系統(tǒng)為型，系統(tǒng)幅相曲線起始時(shí)漸進(jìn)線是平行于虛軸的直線，其橫坐標(biāo)為曲線的終點(diǎn)：時(shí)，易知幅相曲線與實(shí)軸有交點(diǎn)。令，得代入，得根據(jù)以上分析，可概略地作出幅相曲線

4、，如圖5-5所示。圖5-3由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)有一個(gè)右半平面開環(huán)極點(diǎn)，即。系統(tǒng)為型，應(yīng)逆時(shí)針補(bǔ)畫一個(gè)半徑為無窮大的1/4圓。根據(jù)奈奎斯特判據(jù)，由圖5-3可見當(dāng)時(shí)，幅相曲線過點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，幅相曲線正穿越次數(shù)，負(fù)穿越次數(shù)，曲線包圍點(diǎn)圈數(shù)，故有，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，幅相曲線正穿越次數(shù)，負(fù)穿越次數(shù)，曲線包圍點(diǎn)圈數(shù)，故有，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線，并求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的范圍。解:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為曲線的起點(diǎn)：時(shí)，曲線的終點(diǎn)：時(shí)，當(dāng)幅相曲線與實(shí)軸相交時(shí)，有根據(jù)以上分析，可概略地作出幅相曲線，如圖5-4所示。圖5-4根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，當(dāng) ，即時(shí)，

5、系統(tǒng)穩(wěn)定。例6 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)頻率特性的表達(dá)式系統(tǒng)為0型且，故對(duì)數(shù)幅頻曲線最左端曲線斜率為0dB/dec，其高度為；微分環(huán)節(jié)的交接頻率為，慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為。因非最小相位環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性與最小相位環(huán)節(jié)相同，故可繪制出系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線。再根據(jù)其相頻表達(dá)式繪制相頻漸近線曲線如圖5-5所示。圖5-5例7 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性，并確定剪切頻率。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為因此，系統(tǒng)的開環(huán)增益為系統(tǒng)為型，一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率rad/s，振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為rad/s，繪制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖5-6

6、所示。由圖可見，低頻段與0dB線相交于 rad/s。圖5-6例8. 某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和開環(huán)幅相曲線如圖5-7所示。圖中；試判斷閉環(huán)穩(wěn)定性，并決定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)。圖5-7解：繪制內(nèi)環(huán)的幅相曲線。系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為曲線起點(diǎn)：曲線終點(diǎn)：易繪制出內(nèi)環(huán)的幅相曲線如圖5-7所示。圖5-7由圖可見，內(nèi)環(huán)幅相曲線不包圍，因?yàn)闊o右半平面的極點(diǎn)，故內(nèi)環(huán)穩(wěn)定，即系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)無右半平面極點(diǎn)。由系統(tǒng)的開環(huán)開環(huán)幅相曲線可知，開環(huán)幅相曲線在左側(cè)正、負(fù)穿越的次數(shù)，故有，所以系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)即閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例8. 已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線如圖5-8所示，試確定系

7、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（a） （b） （c）圖5-8解：（1）由圖5-8（a）知低頻段漸近線的斜率為0dB/dec，說明開環(huán)系統(tǒng)為0型，且有故有 根據(jù)各交接頻率處曲線斜率的變化，確定對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)：處，斜率變化20dB/dec，故對(duì)應(yīng)的是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率；處，斜率變化20dB/dec，故對(duì)應(yīng)的是一階比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率；處，斜率變化20dB/dec，故對(duì)應(yīng)的是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。因此，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，下面來求。由圖列寫直線方程即 故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）由圖5-8（b）知低頻段漸近線的斜率為-40dB/dec，說明開環(huán)系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)數(shù)；又因?yàn)榈皖l段的延長(zhǎng)線與0dB線交于10rad

8、/s1處，故有根據(jù)各交接頻率處曲線斜率的變化，確定對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)：處，斜率變化20dB/dec，故對(duì)應(yīng)的是一階比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率；處，斜率變化-20dB/dec，故對(duì)應(yīng)的是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。因此，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，下面來求、。由圖列寫直線方程即 故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（3）由圖5-8（c）知低頻段漸近線的斜率為40dB/dec，說明開環(huán)系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)數(shù)；又因?yàn)榈皖l段在處的幅值為20dB，故有根據(jù)各交接頻率處曲線斜率的變化，確定對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)處，斜率變化-40dB/dec，由修正曲線知對(duì)應(yīng)的是二階振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率；處，斜率變化-20dB/dec，故對(duì)應(yīng)的是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。因此，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。下面求。二階振蕩環(huán)節(jié)在諧振頻率處的修正值為，由修正曲線修正值為20dB，即解得。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例9. 若單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為曲線起點(diǎn)：曲線終點(diǎn)：若曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)在-1的右側(cè)，則曲線不包圍點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。令解得的最小正值為。因此與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為當(dāng)，即時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。例10. 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定相角裕度為4