網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法例題分析

1、課題8：支路電流法、網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法課 型：講授教學(xué)目的 ：（1） 利用支路電流法求解復(fù)雜直流電路（2） 利用網(wǎng)孔電流法求解支路數(shù)目較多的電路。（3） 利用節(jié)點(diǎn)電壓法求解節(jié)點(diǎn)較少而網(wǎng)孔較多的電路重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：支路電流法、網(wǎng)孔電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法求解復(fù)雜直流電路難點(diǎn)：列方程過(guò)程中電壓、電流參考方向及符號(hào)的確定。教學(xué)分析：本節(jié)主要還是在鞏固基爾霍夫定律的基礎(chǔ)上，利用實(shí)例分析支路電流法、網(wǎng)孔電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法并將其用于實(shí)踐案例中。 復(fù)習(xí)、提問(wèn)：（1） 節(jié)點(diǎn)的概念和判別？（2） 網(wǎng)孔的概念和判別？教學(xué)過(guò)程：導(dǎo)入：求解復(fù)雜電路的方法有多種，我們可以根據(jù)不同電路特點(diǎn)，選用不同的方法去求解。其中最基

2、本、最直觀、手工求解最常用的就是支路電流法。一、支路電流法利用支路電流法解題的步驟： （1）任意標(biāo)定各支路電流的參考方向和網(wǎng)孔繞行方向。 （2）用基爾霍夫電流定律列出節(jié)點(diǎn)電流方程。有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，就可以列出n-1個(gè)獨(dú)立電流方程。 （3）用基爾霍夫電壓定律列出L=b-（n-1）個(gè)網(wǎng)孔方程。說(shuō)明：L指的是網(wǎng)孔數(shù)，b指是支路數(shù)，n指的是節(jié)點(diǎn)數(shù)。 （4）代入已知數(shù)據(jù)求解方程組，確定各支路電流及方向。例1試用支路電流法求圖1中的兩臺(tái)直流發(fā)電機(jī)并聯(lián)電路中的負(fù)載電流I及每臺(tái)發(fā)電機(jī)的輸出電流I1、和I2。已知：R1=1，R2=0.6，R=24，E1=130V，E2=117V。解：（1）假設(shè)各支路電流的參考方向和網(wǎng)

3、孔繞行方向如圖示。 圖1 （2）根據(jù)KCL，列節(jié)點(diǎn)電流方程 該電路有A、B兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，故只能列一個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程。對(duì)于節(jié)點(diǎn)A有： I1+I2=I （3）列網(wǎng)孔電壓方程 該電路中共有二個(gè)網(wǎng)孔，分別對(duì)左、右兩個(gè)網(wǎng)孔列電壓方程： I1 R1- I2 R2+ E2-E1=0 （沿回路循行方向的電壓降之和為零，如果在 I R+I2 R2- E2=0 該循行方向上電壓升高則取負(fù)號(hào)） （4）聯(lián)立方程，代入已知條件，可得： -I1-I2+I=0 I1-0.6I2=130-117 0.6I2+24I=117 解得各支路電流為： I1=10A I2=-5A I=5A 從計(jì)算結(jié)果，可以看出發(fā)電機(jī)E1輸出10A的電流 ，

4、發(fā)電機(jī)E2輸出-5A的電流，負(fù)載電流為5A。由此可以知道： 結(jié)論：兩個(gè)電源并聯(lián)時(shí)，并不都是向負(fù)載供給電流和功率的，當(dāng)兩電源的電動(dòng)勢(shì)相差較大時(shí)，就會(huì)發(fā)生某電源不但不輸出功率，反而吸收功率成為負(fù)載。因此，在實(shí)際供電系統(tǒng)中，直流電源并聯(lián)時(shí)，應(yīng)使兩電源的電動(dòng)勢(shì)相等，內(nèi)阻應(yīng)相近。 所以當(dāng)具有并聯(lián)電池的設(shè)備換電池的時(shí)候，要全部同時(shí)換新的，而不要一新一舊。思考：若將例1中的電動(dòng)勢(shì)E2、I2極性互換，列出用支路電流法求解I、I1、和I2所需的方程。從前面的例子可以看出：支路電流法就是通過(guò)聯(lián)立n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程，L個(gè)網(wǎng)孔電壓方程（n為節(jié)點(diǎn)數(shù)，L為網(wǎng)孔數(shù)）。但所需方程的數(shù)量取決于需要解決的未知量的多少。原則上，

5、要求B條支路電流就設(shè)B個(gè)未知數(shù)。那么有沒(méi)有特例呢？例2 用支路電流法列出如圖2電路中各支路電流的方程。（已知恒流源IS所在支路電流是已知的）解： 由電路圖可見(jiàn)該電路中有一恒流源支路，且其大小是已知的，所以在解題的時(shí)候只需要考慮其余兩條未知支路的電流即可。（1）假設(shè)流過(guò)R1、R2的電流方向及網(wǎng)孔繞行方向如圖示。 （2）列節(jié)點(diǎn)電流方程： I1+I2= IS （3）列網(wǎng)孔電壓方程 I2 R2+E-I1 R1=0 聯(lián)立以上兩個(gè)方程，代入數(shù)據(jù)即可求得。 圖2（象這種具有一個(gè)已知支路電流的電路就可以少列一個(gè)方程）例3 試用支路電流法求解如圖3電路中各支路電流，列出方程。（P191 9-13題） 圖3解：各

6、支路電流、網(wǎng)孔繞行方向如圖3示。列KCL、KVL定律，得： I1+I2+10=I E2-I2 R2+ I1 R1- E1=0I RL+I2 R2- E2=0例4 用支路電流法求解電路圖4中各支路的電流。 解：可以看出該電路共有6條支路，4個(gè)節(jié)點(diǎn)，3個(gè)網(wǎng)孔。 設(shè)定各支路電流和網(wǎng)孔繞行方向如圖標(biāo)示。（1） 根據(jù)KCL定律，列節(jié)點(diǎn)電流方程（可列三個(gè)獨(dú)立方程） I1+I6=I2 I3+I4=I1 I4+I6=I5 圖4（2）根據(jù)KVL定律，列出回路電壓方程（可立出三個(gè)獨(dú)立的回路電壓方程） I1R1-I6R6+I4R4=0 I2R2+I5R5+ I6R6 =0 - I4R4 - I5R5+I3R3-E=

7、0從該例發(fā)現(xiàn)，用支路電流法求解支路數(shù)量較多的電路時(shí)，所需列的方程數(shù)也較多，這就使得求解較為繁雜了。那么針對(duì)這樣的電路，有沒(méi)有什么更適合的方法來(lái)求解呢？二、回路（網(wǎng)孔）電流法為了求解方便，我們考慮若以回路電流為未知量，是不是就可以大大減少了方程數(shù)量，避免求解繁瑣呢？1、回路電流法：在電路中確定出全部獨(dú)立回路，以回路電流為未知數(shù)，根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出含有回路電流的回路電壓方程，然后求解出各回路電流，而各支路電流等于該支路內(nèi)所通過(guò)的回路電流的代數(shù)和。2、解題步驟：（以圖5為例講解） 圖5（1）確定獨(dú)立回路，并設(shè)定回路繞行方向。獨(dú)立回路是指每次所選定的回路中至少要包含一條新支路，即其他支路未曾用過(guò)

8、的支路。如圖5所示，設(shè)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)楠?dú)立回路電流的繞行方向。（2）列以回路電流為未知量的回路電壓方程。注意：若某一電阻上有兩個(gè)或兩個(gè)以上獨(dú)立回路電流流過(guò)時(shí)，該電阻上的電壓必須寫(xiě)成兩個(gè)或兩個(gè)以上回路電流與電阻乘積的代數(shù)和。而且要特別注意正、負(fù)符號(hào)的確定，以自身回路電流方向?yàn)闇?zhǔn)。即自身回路電流與該電阻的乘積取正，如圖5回路A中，R5上的壓降為IAR5，取正。而另一回路電流的方向與自身回路電流方向相同時(shí)，取正，相反時(shí)取負(fù)，如圖5回路A中，IA和IC反向，此時(shí)IC在R5上的壓降為ICR5，取負(fù)。若回路中含有電壓源時(shí)，電動(dòng)勢(shì)方向和回路電流的繞行方向不一致時(shí)（電動(dòng)勢(shì)兩端電壓方向和電流繞行方向一致時(shí)），取正

9、；反之取負(fù)。按照以上原則，用回路電流法可列方程： （3）解方程求回路電流將已知數(shù)據(jù)代入方程，可求得各回路電流IA、IB、IC （4）求各支路電流。支路電流等于流經(jīng)該支路的各回路電流的代數(shù)和。此時(shí)需注意的是電流方向問(wèn)題，要以支路電流方向?yàn)閰⒖?，即若回路電流方向和支路電流方向一致，則取正，相反則取負(fù)。如圖5中，各支路電流：（5）進(jìn)行驗(yàn)算。驗(yàn)算時(shí)，選外圍回路列KVL方程驗(yàn)證。若代入數(shù)據(jù)，回路電壓之和為0，則說(shuō)明以上數(shù)據(jù)正確。根據(jù)以上步驟，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是第一步，確定獨(dú)立回路，選擇新的未曾使用過(guò)的獨(dú)立回路，這個(gè)比較容易重復(fù)，那么如果我們選擇網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路，是不是就不會(huì)有這樣一個(gè)問(wèn)題了呢

10、？網(wǎng)孔是回路的特例，它是獨(dú)立的。網(wǎng)孔之間沒(méi)有重疊交叉，列方程更加容易，這種方法稱(chēng)為網(wǎng)孔電流法。下面我們就用網(wǎng)孔電流法來(lái)求解電路5中的支路電流。例5 已知R1=R2= R3=R4= R5=R6=1K，E1=1V，E2=2V，用網(wǎng)孔電流法求解圖6電路中各支路電流。解：（1）確定網(wǎng)孔。并設(shè)定網(wǎng)孔電流的繞行方向。如圖6所示，規(guī)定網(wǎng)孔電流方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?。?）列以網(wǎng)孔電流為未知量的回路電壓方程。（3）解方程求各網(wǎng)孔電流。 圖 6解此方程組得：（4）求支路電流得： （5）驗(yàn)算。列外圍電路電壓方程驗(yàn)證。 由上面的例子可以看出，網(wǎng)孔電流法的解題思想，就是用較少的方程求解多支路電路的支路電流。先以回路電流為未

11、知量，列出以電流為未知量的網(wǎng)孔電壓方程，再求解支路電流。要注意的是，列回路電壓方程時(shí)，回路電流的方向，要以自身回路電流方向?yàn)閰⒖?。電?dòng)勢(shì)的方向也要依據(jù)回路電流方向。然后求解支路電流時(shí)，要以支路電流方向?yàn)閰⒖肌?但是可以發(fā)現(xiàn)如果網(wǎng)孔較多的話，同樣存在方程數(shù)量過(guò)多，解題繁瑣的問(wèn)題。三、節(jié)點(diǎn)電壓法 對(duì)于節(jié)點(diǎn)較少而網(wǎng)孔較多的電路，用支路電流法和網(wǎng)孔電流法都比較麻煩，方程過(guò)多，不易求解。在這種情況下，如果選取節(jié)點(diǎn)電壓作為獨(dú)立變量，可使計(jì)算簡(jiǎn)便得多。這就是我們要學(xué)習(xí)的另一種方法節(jié)點(diǎn)電壓法。1、 節(jié)點(diǎn)電壓法解題步驟：（1） 選擇參考節(jié)點(diǎn)，設(shè)定參考方向（2） 求節(jié)點(diǎn)電壓U（3） 求支路電流例6 電路如圖7，求

12、解各支路電流I1、I2、I3、I4。解：（1）選擇參考節(jié)點(diǎn)，設(shè)定參考方向。選擇電路中B點(diǎn)作為參考點(diǎn)，并設(shè)定節(jié)點(diǎn)電壓為U，其參考方向?yàn)橛葾至B。（這里也可選擇以A點(diǎn)為 圖7參考點(diǎn)，參考方向由B至A） 圖7（2）求節(jié)點(diǎn)電壓U 各支路的電流可應(yīng)用KCL、KVL或歐姆定律得出，即： I1=（E1-U）/ R1I2=（E2-U）/ R2I3=（E3-U）/ R3I4=U/ R4根據(jù)KCL定律可得：I1+I2+I3+I4=0將I1、I2、I3、I4的值代入I1+I2+I3+I4=0中得：（E1-U）/ R1+（E2-U）/ R2+（E3-U）/ R3+U/ R4 =0可求得：這就是節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算公式。式中，

13、分子的各項(xiàng)由電動(dòng)勢(shì)E和節(jié)點(diǎn)電壓U的參考方向確定其正、負(fù)號(hào)，當(dāng)E和U的參考方向相同取負(fù)號(hào)，相反時(shí)取正號(hào)。凡是具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，可直接利用上式計(jì)算求出節(jié)點(diǎn)電壓。（3）求支路電流。求出節(jié)點(diǎn)電壓U后，將U代入電流公式中，即可求出各支路電流。I1=（E1-U）/ R1I2=（E2-U）/ R2I3=（E3-U）/ R3I4=U/ R4例7 求解圖1電路中各支路電流I1、I2、I。解：設(shè)B點(diǎn)為參考點(diǎn)，設(shè)定節(jié)點(diǎn)電壓方向A至B，則A、B兩點(diǎn)間電壓U為各支路電流為：I1=（E1-U）/ R1=10AI2=（E2-U）/ R2=-5AI=U/ R=5A用節(jié)點(diǎn)電壓法求解時(shí)，同樣要注意的是電壓方向問(wèn)題，當(dāng)電動(dòng)勢(shì)方向和電壓參考方向相同時(shí)取負(fù)號(hào)，相反時(shí)取正號(hào)。課堂小結(jié)：1、 支路電流法即利用基爾霍夫電流定律列出（n-1）個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程和利用基爾霍夫電壓定律列出L（網(wǎng)孔數(shù)）個(gè)回路電壓方程，再聯(lián)立解方程組，從而求解出各支路電流的最基本、最直觀的一種求解復(fù)雜電路的方法。