結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答一二章

1、第一章 單自由度系統(tǒng)1.1 總結(jié)求單自由度系統(tǒng)固有頻率的方法和步驟。單自由度系統(tǒng)固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動(dòng)量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛頓第二定律法 適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1） 對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析,得到系統(tǒng)所受的合力； （2） 利用牛頓第二定律,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。2、 動(dòng)量距定理法適用范圍：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1） 對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析和動(dòng)量距分析；（2） 利用動(dòng)量距定理J,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，

2、得到該系統(tǒng)的固有頻率。3、 拉格朗日方程法：適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1）設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為，寫出系統(tǒng)對于坐標(biāo)的動(dòng)能T和勢能U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫求出拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式：L=T-U ； （2）由格朗日方程=0，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。4、 能量守恒定理法適用范圍：所有無阻尼的單自由度保守系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1）對系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析、選廣義坐標(biāo)、寫出在該坐標(biāo)下系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢能U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫出機(jī)械能守恒定理的表達(dá)式 T+U=Const （2）將能量守恒定理T+U=Const對時(shí)間求導(dǎo)得零,即，進(jìn)一步

3、得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。1.2 敘述用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個(gè)：衰減曲線法和共振法。方法一：衰減曲線法。求解步驟：（1）利用試驗(yàn)測得單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)曲線，并測得周期和相鄰波峰和波谷的幅值、。 （2）由對數(shù)衰減率定義 ， 進(jìn)一步推導(dǎo)有， 因?yàn)檩^小， 所以有 。方法二：共振法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比。（1）通過實(shí)驗(yàn)，繪出系統(tǒng)的幅頻曲線， 如下圖：單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線（2）分析以上幅頻曲線圖，得到：；于是 ；進(jìn)一步 ；最后 ；1.3 敘述用正選弦激勵(lì)求單自由度系統(tǒng)阻尼比的

4、方法和步驟。用正選弦激勵(lì)求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個(gè)：幅頻（相頻）曲線法和功率法。方法一：幅頻（相頻）曲線法當(dāng)單自由度系統(tǒng)在正弦激勵(lì)作用下其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：,其中： ； (1) (2)從實(shí)驗(yàn)所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關(guān)差數(shù)，由上述（1），（2）式求得阻尼比。 方法二：功率法：（1） 單自由度系統(tǒng)在作用下的振動(dòng)過程中，在一個(gè)周期內(nèi)，彈性力作功為 、阻尼力做功為 、激振力做作功為 ；（2） 由機(jī)械能守恒定理得，彈性力、阻尼力和激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作功為零，即： +；于是 - 進(jìn)一步得： ；（3） 當(dāng)時(shí)，則 ，得 , 。1.4 求圖1-35中標(biāo)出參數(shù)的系統(tǒng)的固有頻率。 m（1）此系統(tǒng)相當(dāng)于兩

5、個(gè)彈簧串聯(lián)，彈簧剛度為k1、簡支梁剛度為 ； 等效剛度為k;有； L/2 L/2則固有頻率為：； 圖1-33（a）m（2）此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)彈簧串聯(lián), 等效剛度為: ; L/2 L/2則固有頻率為: 圖1-33（b） (3)系統(tǒng)的等效剛度為 m k1 k1 則系統(tǒng)的固有頻率為 圖1-33（c） （4） m 由動(dòng)量距定理得： （）= 得： ， 則 。 圖1-33（d） 1.5 求下圖所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中勻質(zhì)輪A半徑R,重物B的重量為P/2,彈簧剛度為k. AB0xk 解：以 為廣義坐標(biāo)，則 系統(tǒng)的動(dòng)能為 圖1-34 系統(tǒng)的勢能能為： ；拉格朗日函數(shù)為L=T-U ;由拉格朗日方程 得 則，=所以

6、：系統(tǒng)的固有頻率為1.6求圖1-35所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中磙子半徑為R，質(zhì)量為M，作純滾動(dòng)。彈簧剛度為K 。R M 解：磙子作平面運(yùn)動(dòng)， K其動(dòng)能T=T平動(dòng) +T轉(zhuǎn)動(dòng) 。 x 圖1-35；而勢能；系統(tǒng)機(jī)械能;由得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程；得系統(tǒng)的固有頻率 ； 1.7求圖1-36所示齒輪系統(tǒng)的固有頻率。已知齒輪A的質(zhì)量為mA，半徑為rA，齒輪B的質(zhì)量為mB，半徑為rB,桿AC的扭轉(zhuǎn)剛度為KA, ,桿BD的扭轉(zhuǎn)剛度為KB, 解：由齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系 得角速度 ；轉(zhuǎn)角；系統(tǒng)的動(dòng)能為：CA； B D圖1-36系統(tǒng)的勢能為：; 系統(tǒng)的機(jī)械能為；由 得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程；因此系統(tǒng)的固有頻率為： ；1.8已知圖所示

7、振動(dòng)系統(tǒng)中，勻質(zhì)桿長為L，質(zhì)量為m，兩彈簧剛度皆為K，阻尼系數(shù)為C，求當(dāng)初始條件時(shí)（）的穩(wěn)態(tài)解； C f(t)（）的解； L/2 L/2解：利用動(dòng)量矩定理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 ； K K而 ； 圖得 ；化簡得 (1)（） 求的穩(wěn)態(tài)解；將代入方程（1）得 (2)令 得 （3）設(shè)方程（3）的穩(wěn)態(tài)解為 （4）將（4）式代入方程（3）可以求得：； ；（） 求的解；將代入方程（1）得 （5）令 得 （6）方程（6）成為求有阻尼的單自由度系統(tǒng)對于脈沖激勵(lì)的響應(yīng)。由方程（6）可以得到初始加速度；然后積分求初始速度 ；再積分求初位移；這樣方程（6）的解就是系統(tǒng)對于初始條件、和的瞬態(tài)響應(yīng)；將其代入方程（6）可以

8、求得：最后得1.9圖所示盒內(nèi)有一彈簧振子，其質(zhì)量為m，阻尼為C，剛度為K，處于靜止?fàn)顟B(tài)，方盒距地面高度為H，求方盒自由落下與地面粘住后彈簧振子的振動(dòng)歷程及振動(dòng)頻率。解：因?yàn)樵谧杂陕潴w過程中彈簧無變形，所以振子與盒子之間無相對位移。在粘地瞬間， m由機(jī)械能守恒定理 的振子的初速度；底版與地面粘住后，彈簧振子的振動(dòng)是對于初速度的主動(dòng)隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： ； K/2 c K/2或 或 H 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是對于初始條件的響應(yīng)： ； ； ；1.10汽車以速度V在水平路面行使。其單自由度模型如圖。設(shè)m、k、c已知。路面波動(dòng)情況可以用正弦函數(shù)y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽車上下振動(dòng)的數(shù)學(xué)模

9、型；（2）汽車振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解。解：（1）建立汽車上下振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型；由題意可以列出其運(yùn)動(dòng)方程： m Y1其中：表示路面波動(dòng)情況；1表示汽車上下波動(dòng)位移。 K/2 C K/2 將其整理為： (1) Y(t)將代入得 圖(2)汽車振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解: 設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）可解得：；1.11.若電磁激振力可寫為，求將其作用在參數(shù)為m、 k、 c的彈簧振子上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：首先將此激振力按照傅里葉級數(shù)展開：其中：； 因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以。于是 而 ；式中 ；1.12.若流體的阻尼力可寫為,求其等效粘性阻尼。解：（1）流體的阻尼力為 ；（2）設(shè)位移為 ，而 ；（3）流體的阻尼力的元功為 ；（4

10、）流體的阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期之內(nèi)所消耗的能量為： （5）粘性阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期之內(nèi)所消耗的能量為： （6）等效粘性阻尼：取，令 可得：第二章 兩個(gè)自由度系統(tǒng)2.1 求如圖2-11所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出振型。解：（1）系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程kkk; X1 X2 ; m m即 ； ； （1） 圖 2-11 （2）系統(tǒng)的特征方程 根據(jù)微分方程理論，設(shè)方程組（1）的解為：； （2）將表達(dá)式（2）代入方程組（1）得： （3）因?yàn)椴豢赡芸倿榱?，所以只有前面的系?shù)為零：；即 ； （4）（） 系統(tǒng)的頻率方程 若系統(tǒng)振動(dòng)，則方程有非零解，那么方程組的系數(shù)行列式等于零，即： ；展開得 ； （5）系統(tǒng)的

11、固有頻率為： ； （6）（） 系統(tǒng)的固有振型 將，代入系統(tǒng)的特征方程（4）式中的任一式，得系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為： （7）系統(tǒng)各階振型如圖所示：其中（a）是一階振型，（b）是二階振型。 +1 +1 +1 （a） (b) -1（） 系統(tǒng)的主振動(dòng)系統(tǒng)的 第一主振動(dòng)為系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為2.2確定圖2-12所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 解：（1）系統(tǒng)的動(dòng)能 u1 u2 （2）系統(tǒng)的勢能 A 2m B m 因?yàn)閺椈缮隙薃、B兩點(diǎn)的位移 K K 所以系統(tǒng)的勢能為 L L L ; 圖2-12 (3)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù) （4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 由Lagrange方程 可得 即（） 系統(tǒng)的特

12、征方程 設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的解為 代入系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程得系統(tǒng)的特征方程即 （7）系統(tǒng)的頻率方程 系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即解得系統(tǒng)的固有頻率 ；（） 系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的固有振型 （8）系統(tǒng)的主振動(dòng)2.3一均質(zhì)細(xì)桿在其端點(diǎn)由兩個(gè)線性彈簧支撐（圖2-13），桿的質(zhì)量為m，兩彈簧的剛度分別為2K和K。（1）寫出用桿端鉛直位移u1和u2表示的運(yùn)動(dòng)方程； u1 C m u2（2）寫出它的兩個(gè)固有頻率；（3）畫出它的兩個(gè)固有振型； 解：(1) 均質(zhì)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程 2K K 以均質(zhì)桿的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，均質(zhì)桿的質(zhì)心

13、C的位移為 L均質(zhì)桿繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)角為 圖2-13 均質(zhì)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程 即 即 即 （1）（2）系統(tǒng)的特征方程 設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）的解為 、，代入方程（1）即（4） 系統(tǒng)的頻率方程 系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即 解得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率 ；（5） 系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型 （8）系統(tǒng)的兩階主振動(dòng)2.4確定圖2-14所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出固有振型。解：（1）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程2mmm 即 u1 u2 2k （1） （2）系統(tǒng)特征方程 圖2-14設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）的解為和 ，代入方程（1）即（3）

14、系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即 解得;（4）系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型 +1 +1 +1 -1/22.5圖2-15所示的均質(zhì)細(xì)桿懸掛成一擺，桿的質(zhì)量為m，長為L，懸線長為L/2，求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：（1）求均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心的坐標(biāo)和質(zhì)心的速度 ； L/2； C （2）求系統(tǒng)的Lagrange函數(shù) ；圖2-15 ； （3）求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程由Lagrange方程 可得 即 （4）系統(tǒng)特征方程 設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）的解為 和，代入方程（1）即 （3）系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要

15、條件是其系數(shù)行列式為零即 解得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率 ；（4）系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型 +1 +1 +1 -13/112.6兩層樓用集中質(zhì)量表示如圖2-16所示的系統(tǒng)。其中；證明該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型為： ； 解：(1)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程 （1）（2）系統(tǒng)特征方程 設(shè)方程組的解為 代入方程組（1）式得系統(tǒng)特征方程 （2）（3）系統(tǒng)頻率方程 因?yàn)榭紤]系統(tǒng)振動(dòng)的情況，所以要求方程（2）有非零解。而方程（2）有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零： X1 m1 K1即）（） (3) X2 m2（4）系統(tǒng)固有頻率 K2根據(jù)已知條件 ， ，; 圖

16、2-16，;代入（3）式得 ， , ；（6） 系統(tǒng)固有振型：將系統(tǒng)固有頻率 代入系統(tǒng)特征方程（2）得系統(tǒng)固有振型；（7） 系統(tǒng)的主振動(dòng)： ； ； 證畢。27 如圖2-17所示的系統(tǒng)，設(shè)激振力為簡諧形式，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 m m1 x1 m2 x2 k1 k2 圖2-17解: (1)建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)牛頓第二定律，分別對和列出振動(dòng)微分方程： （1-1）即： （1-2） (2求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 （1-3） 即 （1-4）將表達(dá)式（1-4）代入式（1-2），根據(jù)兩個(gè)方程中包含的系數(shù)和為零及包含的系數(shù)和為零，可得如下方程組： 即 （1-5）求解方程組（1-5）得： （1-6）

17、 所以在公式 中有 （1-7）2.8在如圖2-18所示的系統(tǒng)中，一水平力Fsin(t)作用于質(zhì)量塊M上，求使M不動(dòng)的條件。 解：（1）系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選廣義坐標(biāo)為x, （2）系統(tǒng)的動(dòng)能 X MMM（3）系統(tǒng)的勢能 K M K（4）Lagrange函數(shù) L 圖2-18 m（5）對Lagrange函數(shù)求導(dǎo) （6）Lagrange方程得因?yàn)檎駝?dòng)為微幅振動(dòng)，所以（8） 解方程： 設(shè)，代入方程并整理得： 因?yàn)镸不動(dòng)，所以A=0。而B不能等于零，故，解得；2.9在圖2-19所示的系統(tǒng)中，軸的彎曲剛度為EJ，圓盤質(zhì)量為m，它對其一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2/4，其中R=L/4。設(shè)軸在它的靜平衡位置時(shí)是水

18、平的，且忽略軸的質(zhì)量。求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和固有頻率。 L解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)： 圖2-19所示的系統(tǒng)自由度N=2，選Y、為 廣義坐標(biāo)。 R V （2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 （1）其中系數(shù)： （3）系統(tǒng)特征方程 設(shè) 代入方程（1）得整理得 （2）（4）系統(tǒng)固有頻率特征方程（2）由非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零：即解得：2.10圖2-20所示的是兩自由度系統(tǒng)。其中，k=987,m=1，C=0.6284，,求系統(tǒng)的固有頻率、振型和u1的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。mP1mmP1m 解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo) u1 u2 系統(tǒng)自由度N=2； C C 廣義坐標(biāo)選u1和u2 K （2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 K K 根據(jù)牛頓第二定律，寫出 圖2-20寫成矩陣形式： （2）系統(tǒng)的固有頻率和振型 對于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程兩邊作拉氏變換得有 解得因此系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為：系統(tǒng)的 第一主振動(dòng)為 系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為 （3）u1的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由拉氏方程組解得于是以代入得u1的穩(wěn)態(tài)解為 M2M1 2.11 減小受簡諧激振勵(lì)單自由度系統(tǒng)的振幅的方法之一，是在該系統(tǒng)上附加一個(gè)