人教版高中數(shù)學(xué)【選修2-3】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]組合(理)(基礎(chǔ))

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)組合1 理解組合的概念2 能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式3 能解決簡單的實(shí)際問題4 理解組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別要點(diǎn)一：組合1. 定義：一般地，從n 個(gè)不同元素中取出m （ m n ）個(gè)元素并成一組，叫做從n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素的一個(gè)組合要點(diǎn)詮釋： 從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”， “并成一組”即表示與順序無關(guān)排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別 如果兩個(gè)組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不

2、同的組合. 因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或未被取到 .要點(diǎn)二：組合數(shù)及其公式1) 組合數(shù)的定義：從 n 個(gè)不同元素中取出m （ m n ）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素的組合數(shù)記作Cnm 要點(diǎn)詮釋：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念：一個(gè)組合是指“從 n 個(gè)不同的元素中取出m（m n）個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從 n 個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)例如，從3 個(gè)不同元素a， b， c 中取出 2 個(gè)元素的組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫做一個(gè)組合，而數(shù)字 3 就是組合

3、數(shù)2組合數(shù)的公式及推導(dǎo)求從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Anm ，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)Cnm ；第二步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)Amm 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到AnmCnm Amm Anmn(n 1)(n 2) (n m 1)Ammm!這里n， m N+，且m n，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式因?yàn)锳nmn! ，所以組合數(shù)公式還可表示（n m）!為：Cnmn!m!(n m)!要點(diǎn)詮釋：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！后排（先組合后排列）的順序解決問題。3. 組合數(shù)公式：在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時(shí)，一般都是按先取(1)m

4、nn(n-1)(n-2) (n-m 1)m!m 、 n N ，且 m n )!2) ) Cnm( m 、 n N ，且 m n )m!(n -m)!要點(diǎn)詮釋：上面第一個(gè)公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值m 、 n 較大時(shí)，利用第二個(gè)式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個(gè)公式要點(diǎn)三 ： 組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：CnmCnn m（ m、 n N，且 mn ）性質(zhì)2：Cnm 1 CnmCnm 1（ m 、nN ，且 mn ）要點(diǎn)詮釋：規(guī)定：Cn01 .要點(diǎn)四、純組合問題常見題型1） “含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含” ，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；

5、“不含” ，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素如：現(xiàn)從5 位男同學(xué)、4 位女同學(xué)中選出5 名代表，若男甲、女A都必須當(dāng)選，有多少種不同的選法女 A 必須當(dāng)選，只需從剩下7 人中任選3 人即可滿足題目的要求，故有C7335 種不同的選法（2） “至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理如（ 1 ）中，將問題改為至少有一名女同學(xué)當(dāng)選，有多少種不同的選法?則在全部的選法中，排除全部男生當(dāng)選的情況即可，故有C95C55125種不同的選法3）分堆問題平均分堆

6、，其分法數(shù)為：平分到指定位置堆數(shù)的階乘例如 將 6 本不同的書平均分成三份，每份兩本，求不同的分法數(shù)222依據(jù)上述公式，其分法為C62C42C2215（種）3!分堆但不平均，其分法數(shù)為相同數(shù)量的堆數(shù)階乘之積 分到指定位置例如，將12 本不同的書分成五份，分別為2 本、 2 本、 2 本、 3 本、 3 本，求不同的分法數(shù)依據(jù)上述公式，分到指定位置數(shù)為C122C120C82C62C33其中兩本的有三堆，故除以3！ ； 3 本的有兩堆，要除以2！ ，故分法數(shù)為C122C120C82C62C3! 2!（ 4）定序問題對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出

7、定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列例：5 人站成一排，如果甲必須站在乙的左邊，則不同的排法有多少種？法一:5 人不加限制的排列方法有A55種， “甲在乙的左邊”和“甲在乙的右邊”的排法是相對的，所1 A55 60 （種）25法二 : 第一步，在5 個(gè)位置中選2 個(gè)位置給甲、乙二人有C52 種選法；323第二步，剩下三個(gè)位置由剩下三人全排，有A3 種排法，共有C5 A3 60 （種）；法三 : 從 5 個(gè)位置選3 個(gè)位置由除甲、乙兩人之外的三人排列有A53 60 種（剩下兩個(gè)位置，甲、乙隨之確定）（ 5）指標(biāo)問題用“隔板法”：如， 將 10 個(gè)保送生預(yù)選指標(biāo)分配給某重點(diǎn)中學(xué)高三年

8、級六個(gè)班，每班至少一名，共有多少種分配方案？將 10 個(gè)名額并成一排，名額之間有9個(gè)空，用5 塊隔板插入9 個(gè)空，就可將10 個(gè)名額分為6 部分，每一種插法就對應(yīng)一種分配法，故有C95 種方案注意：隔板法與插空法是不同的，要予以“區(qū)分”隔板法只適用于相同元素的分配問題要點(diǎn)五、組合組合的綜合應(yīng)用處理排列、組合綜合題時(shí)，應(yīng)遵循四大原則：（ 1 ） 先 特殊后一般的原則（ 2） 先 取后排的原則（ 3） 先 分類后分步的原則（ 4） 正 難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化原則【典型例題】類型一、組合概念及組合數(shù)公式例 1 判斷下列問題是組合問題還是排列問題（ 5） ）設(shè)集合A=a， b， c， d， e，則集合A的子

9、集中含有3 個(gè)元素的有多少個(gè)？（ 6） 鐵路線上有5 個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？（ 3） 3 人去干 5 種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？（ 4）把 3 本相同的書分給5 個(gè)學(xué)生，每人最多得1 本，有幾種分配方法？【思路點(diǎn)撥】排列與順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)【解析】（ 1 ）因?yàn)楸締栴}與元素順序無關(guān)，故是組合問題（ 2）因?yàn)榧渍镜揭艺拒嚻迸c乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價(jià)與順序無關(guān)，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題（ 3）因?yàn)榉止し椒ㄊ菑? 種不同的工作中取出3 種，按一定次序分給3 個(gè)人去干，故是排列問題（ 4）因?yàn)?3 本書是相

10、同的，無論把3 本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題【總結(jié)升華】區(qū)分排列與組合問題，關(guān)鍵是利用排列與組合的定義，組合是“只選不排、并成一組，與順序無關(guān)”舉一反三：【變式 1 】平面內(nèi)有10 個(gè)點(diǎn)，（ 1）以其中每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？（ 2）以其中每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？【解析】線段不考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是組合問題；有向線段考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是排列問題（ 1）以每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10 個(gè)不同元素中取出2 個(gè)元素的組合數(shù)，210 9即以其中每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有C12010 9 45（條）2（ 2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)

11、是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)，以每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10 個(gè)不同元素中取出2 個(gè)元素的排列數(shù)，即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共A120 10 9 90（ 條 ）【變式2】計(jì)算：（ 1） C74；（ 2） C170；2）解法1：解法2：76544!35；C17010 9 8 7 6 5 47!120C17010!10 9 87!3!3!120類型二、組合應(yīng)用題例2某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12 名 , 外科醫(yī)生8 名 , 現(xiàn)要選派5 名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì), 則（1） 某內(nèi)科醫(yī)生必須參加, 某外科醫(yī)生不能參加, 有幾種選法?（2） 至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和至少有一名外科醫(yī)生參加, 有幾種選法?【思路點(diǎn)

12、撥】要正確理解題意中的關(guān)鍵性詞語, 從“在”與“不在” “至少”中尋求解題思路（1） 某內(nèi)科醫(yī)生參加, 某外科醫(yī)生不參加, 只需從剩下的18 名醫(yī)生中選4 名即可 , 故有C148 =3 060 種 .（2） 方法一 （ 直接法 ）:至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和至少有一名外科醫(yī)生當(dāng)選可分為四類: 一內(nèi)四外; 二內(nèi)三外; 三內(nèi)二外; 四內(nèi)一外 , 共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656（ 種 ）.方法二 （ 排除法 ）:事件“至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和至少有一名外科醫(yī)生”的反面是“全部為內(nèi)科醫(yī)生或外科醫(yī)生”, 共有C512+C58種選法, 則C520-（C 512+C

13、58）=14 656 種 .【總結(jié)升華】本題屬有限制條件的組合問題, “含”與“不含”, “最多”與“至少”是常見題型 . “含有”一般先將這些元素取出, 不足部分由另外的元素補(bǔ)充, “不含”可將這些元素剔除 , 再從剩下的元素中去取. 解“最多”與“至少”問題 , 是用直接法還是排除法, 要具體問題具體分析, 一般是正難則反.舉一反三：【變式 1 】 （ 2015 西寧校級模擬）某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織 6個(gè)年級的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6 個(gè)博物館，每個(gè)年級任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級選擇甲博物館的方案有（）24242424A A6A5 種BA65 種 C C6

14、A5 種 D C6 5 種【答案】因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)年級選擇甲博物館，所以參觀甲博物館的年級有C62種情況，其余年級均有5 種選擇，所以共有54 種情況，根據(jù)乘法原理可得C6254種情況，故選D?！咀兪?】男運(yùn)動(dòng)員6 名，女運(yùn)動(dòng)員4 名，其中男女隊(duì)長各1 人 . 選派 5 人外出比賽. 在下列情形中各有多少種選派方法？1 ）男運(yùn)動(dòng)員3 名，女運(yùn)動(dòng)員2 名；2）至少有1 名女運(yùn)動(dòng)員；3）隊(duì)長中至少有1 人參加；（ 4）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員.1）第一步：選3 名男運(yùn)動(dòng)員，有種選法 . 第二步：選2 名女運(yùn)動(dòng)員，有種選法 .2）方法一至少 1 名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1 女 4 男， 2 女

15、 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男 .由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為.方法二 “至少 1 名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解 .從 10 人中任選5 人有 種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種 .所以“至少有 1 名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為 .3）方法一：可分類求解：“只有男隊(duì)長”的選法為 ； “只有女隊(duì)長”的選法為 ；所以共有種選法 .方法二：間接法：從 10 人中任選5 人有 種選法 .其中不選隊(duì)長的方法有種 . 所以“至少 1 名隊(duì)長”的選法為 種 . 其中不4）當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人任意選，共有種選法 . 不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有種，所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有種

16、選法 .所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有種 .3】 （ 2016 南昌一模）甲乙兩從4門課程中各選修兩門，則甲乙所選的課程中至少有1 門不相同的）種。A 30B 36C 60 D 721 門不相同的選法可以分為兩類：221 甲、乙所選的課程中2 門均不相同，甲先從4 門中任選2 門，乙選取剩下的2 門，有C42 C22 62甲、乙所選的課程中有且只有1 門相同，分為2 步：從4 門中先任選一門作為相同的課程，有C41 4種選法；甲從剩余的3 門中任選1 門乙從最后剩余的2 門中任選1 門有C31C 12 6 種選法，由分C14C31C2124種。綜上，由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有

17、1 門不相同的選法共有6+24=30 種。故選 A。組合 370707 例題 6】例 3. 有 6 本不同的書按下列分配方式分配，問各有多少種不同的分配方式？（ 1）分成 1 本、 2 本、 3 本三組； （非均勻分組）（ 2）分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1 本，一個(gè)人2 本，一個(gè)人3 本；（ 3）分成每組都是2 本的三個(gè)組；（均勻分組）（ 4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2 本。3 組，然后再分配到甲、乙、丙三人手中?！窘馕觥?（ 1）先選出1 本的方法有C61種，再由剩下的5 本中選出2 本的方法有C52 種，剩下的 3 本為一組有C33種，依分步計(jì)數(shù)原理得分組的方法有C61C52 C33

18、 60 種。（ 2）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有C16C52C33A33 360種。（ 3）選2本為一組有C62種，剩下4 本再選 2 本為另一組有C42種，最后2本為一組有C22種，32223又每A33種分法只能算一種，所以不同的分法有C62C42C22 /A33 15（種）。（重復(fù)情況列舉如下：記6 本書為 a、 b、 c、 d、 e、 f。以下A33種分法只能算一種：ab / cd / ef； ab/ ef / cd ； cd / ef / ab ； cd / ab / ef ； ef / cd / ab ； ef / ab / cd 。 ）（ 4）把上面分好的三組分給甲、乙、丙

19、三人有（C62C42C22/A33）A33 90種。C62種，接著乙選有C42 ，最后丙選有C22種。共C62C42C22 90種。 ）【總結(jié)升華】一般地，平均分成n 堆（組） ，必須除以n! ；如若部分平均分成m堆（組） ，必須除以m！ 。本類題是分組后分配問題，要將分組和分配分得很清楚。舉一反三：1】 （ 1） 4 名乒乓球選手，分為兩組舉行雙打比賽，共有多少種分組方法？（ 2） 10 名籃球隊(duì)員，分成兩隊(duì)各5 人，有多少種分組方法？（ 3）將1 ， 2， 3， 4， 5， 6 六個(gè)數(shù)字平分為3 份，每份兩個(gè)數(shù)字，共有多少種不同的分組方法？（1）看似簡單，容易認(rèn)為有C42C226種分法具體

20、排一下：1、23、4，1、 32、4，1、4 2、 3， 2、 3 1 、 4， 2、 4 1 、 3， 3、 4 1、 2，即會(huì)發(fā)現(xiàn)各重復(fù)一次，總共分組方法不是6 種，而只有3 種，一般規(guī)律是C4 C2 A22C5C5（2）與（1 ）同理，共有10 5 種分組方法C150種中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10A22當(dāng)取 1 ，2，3，4， 5 時(shí)，相應(yīng)的另一組是6，7，8，9，10當(dāng)取6，7，8，9，10時(shí)，相應(yīng)的另一組是 1 ， 2， 3， 4， 5顯然也是各重復(fù)一次資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用2223）此題易誤認(rèn)為有方法C6 C4 C2 種分析一下下面的6 種分組方法：1、

21、 2， 3、 4， 5、 6；1、2，5、 6，3、 4；3、4， 1、 2，5、6； 5、6，1、 2，3、4； 5、6，3、 4，1、2這實(shí)際上是同 一 種分組 法 ，即 這 中間各有 A33組是重復(fù) 的同一 種 分組方法 ，所以 ， 共有分組 方 法 應(yīng) 是C62 C42 C22A3315 種2】 6 本不同的書全部送給5 人，每人至少1 本，有多少種不同的送書方法？6 本不同的書中任取2 本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有C62 種方法；第二步：將5 個(gè)“不同元素（書） ”分給 5 個(gè)人有A55 種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有C62 A55 1800 種方法【變式 3】 4 個(gè)男同學(xué)和4

22、個(gè)女同學(xué)各平均分成兩組，每組2 人，到 4 所不同的學(xué)校去學(xué)習(xí)如果同樣兩人在不同的學(xué)校算作不同的情況，那么共有多少種不同的分配方法？【答案】216 ；分三步完成:第一步：把4 個(gè)男同學(xué)平均分成兩組有C24C222種方法，A22C2C2第二步：把4 個(gè)女同學(xué)平均分成兩組有C4C2 2 種方法，A22第三步：把四個(gè)組分配到4 所不同的學(xué)校去學(xué)習(xí)有A 44種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有不同的方法C2C2 C2C2C4C22 C4C2 2 A44 216（種）A 22A224例 4. 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必須站在乙的左邊，丙必須站在乙的右邊，有多少種不同的排法？【思路點(diǎn)撥】本題是部分不同元素定

23、序問題，可以用逐一插入法.【解析】先把甲乙丙按指定順序拍成一排只有1 種排法，再在甲乙丙的兩端和之間5 個(gè)空檔中選1個(gè)位置讓丁站有C41 種不同的方法，再在這 4人之間和兩端5個(gè)空檔中選1 個(gè)位置讓戊站有111C 51種不同的站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符合要求站法有1× C41 × C15=20 種.【總結(jié)升華】對部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的問題，常用逐一插入法，先將這些“特殊元素”按指定順序排列，再將“普通元素”逐一插入其間或兩端 . 注意定序的元素之間順序一定、部分相同元素是組合問題.舉一反三：【變式】在一個(gè)晚會(huì)上有相聲、唱歌、詩歌朗誦、小品、小提琴獨(dú)奏節(jié)目各

24、一個(gè)，要求相聲節(jié)目必須排在小提琴獨(dú)奏前，小品排在小提琴獨(dú)奏后，這臺(tái)晚會(huì)的節(jié)目有多少種不同的排法？【答案】先把這5 個(gè)節(jié)目排成一排占5 個(gè)位置，先在這5 個(gè)位置中選3 個(gè)位置按從前到后為相聲、小提琴獨(dú)奏、 小品順序安排這三個(gè)節(jié)目有C 53種不同方法，再在其余2個(gè)位置上安排唱歌和詩歌朗誦有A22種不同方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符合要求的節(jié)目排法有C53A22 =20種 .【 組合 370707 例題5】例 5. 學(xué)校從 8 個(gè)班中選10 名同學(xué)參加活動(dòng)，每班至少一名. 現(xiàn)在要將這10 個(gè)名額分配到8 個(gè)班， 共有多少種不同的分配方法？【思路點(diǎn)撥】名額指標(biāo)是相同的元素，分配的不同方法是指各班獲得的數(shù)量

25、不同。【解析】方法一：由班至少分到1 個(gè)名額， 可先給每班1 個(gè)名額， 只需考慮余下2 個(gè)名額的分配方法有多少種不同情況。第一類：將2 個(gè)余額分給2 所不同的班，共有C82種方法；第二類：將2 個(gè)余額分給1 個(gè)班，共有8 種方法；不同分配結(jié)果的總數(shù)為NC82 8 36（種 ）方法二：可將 10 個(gè)名額分成非零的8 份，將 8 所班看成是放置這8 份名額的位置。10 個(gè)名額排一列，共有11 個(gè)空檔，去掉兩端的空檔，還有9 個(gè)空檔，從中任取7 個(gè)空檔，則10 個(gè)名額被取到的空檔分成了8 份，每一份對應(yīng)地放在班的位置上，即不同分配結(jié)果共有NC9736（種 ）【總結(jié)升華】名額與名額是沒有差別的，而班級

26、與班級是有差別的，故適合隔板法。舉一反三：【變式】把10 本相同的書發(fā)給編號為1 、 2、 3 的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)?！敬鸢浮肯茸?、 3 號閱覽室依次分得1 本書、 2 本書；再對余下的7 本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7 本相同書之間的6 個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I ”（一般可視為“隔板”）共有C62種插法，即有15 種分法。類型三、排列組合的綜合應(yīng)用例 6 由 13 個(gè)人組成的課外活動(dòng)小組，其中5 個(gè)人只會(huì)跳舞，5 個(gè)人只會(huì)唱歌，3 個(gè)人既會(huì)唱歌，也會(huì)跳舞，若從中選出4個(gè)會(huì)跳舞和4個(gè)會(huì)唱歌的人去演節(jié)目，共有多

27、少種不同的選法？【思路點(diǎn)撥】此類題目可按同一性質(zhì)的對象選出的多少分類，應(yīng)避免重復(fù)與遺漏. 此題可從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的3人進(jìn)行分類.【解析】分類進(jìn)行：第一類：若3 人都不參加，共有C03C54 C54種；第二類：若3 人都跳舞或都唱歌，共有2C33 C15 C54 種；第三類：若3 人中有兩人唱歌或跳舞，共有2C23 · C25 · C54 種；第四類：若3 人中有一人唱歌或跳舞，共有2C13C53C54種；第五類：若3 人中有兩人唱歌第三人跳舞或兩人跳舞第三人唱歌，共有2C32 C11 C25 C53 種；第六類：若3 人中有一人唱歌，又有一人跳舞的情形有C13C12 C35 C53種 .【總結(jié)升華】對于有關(guān)元素為“多面手”的問題 , 應(yīng)該按照“多面手”有沒有被選入 , 選中的“多面手”作 何用 , 進(jìn)行分類.舉一反三：【變式】某外語組有9 人 , 每人至少會(huì)英語和日語中的一門, 其中 7 人會(huì)英語,3 人會(huì)日語, 從中選取會(huì)英語和日語的各一人, 有多少種不同的選法?【答案】如圖, 以會(huì)英語為基礎(chǔ)分類, 選取的一名會(huì)英語可從只會(huì)英語的人員中抽取, 也可從既會(huì)英語又會(huì)日語的人員中抽取.由題意可知, 只會(huì)英語的有6 人 , 只會(huì)日語的有2 人 , 英語和日語都會(huì)的有1 人 .以只會(huì)英語的人數(shù)分類,C06· C11· C1