相貫線及畫法舉例

1、一、概述兩立體表面的交線稱為相貫線，見圖5-14a和b所示的三通管和蓋。三通管是由水平橫放的圓筒與垂直豎放的帶孔圓錐臺(tái)組合而成。蓋是由水平橫放的圓筒與垂直豎放的帶孔圓錐臺(tái)、圓筒組合而成。它們的表面（外表面或內(nèi)表面）相交，均出現(xiàn)了箭頭所指的相貫線，在畫該類零件的投影圖時(shí)，必然涉及繪制相貫線的投影問題。討論兩立體相交的問題，主要是討論如何求相貫線。工程圖上畫出兩立體相貫線的意義，在于用它來完善、清晰地表達(dá)出零件各部分的形狀和相對(duì)位置，為準(zhǔn)確地制造該零件提供條件。（一）相貫線的性質(zhì)由于組成相貫體的各立體的形狀、大小和相對(duì)位置的不同，相貫線也表現(xiàn)為不同的形狀，但任何兩立體表面相交的相貫線都具有下列基本

2、性質(zhì)：1.共有性相貫線是兩相交立體表面的共有線，也是兩立體表面的分界線，相貫線上的點(diǎn)一定是兩相交立體表面的共有點(diǎn)。2.封閉性由于形體具有一定的空間范圍，所以相貫線一般都是封閉的。在特殊情況下還可能是不封閉的，如圖5-15c所示。3.相貫線的形狀平面立體與平面立體相交，其相貫線為封閉的空間折線或平面折線。平面立體與曲面立體相交，其相貫線為由若干平面曲線或平面曲線和直線結(jié)合而成的封閉的空間的幾何形。應(yīng)該指出：由于平面立體與平面立體相交或平面立體與曲面立體相交，都可以理解為平面與平面立體或平面與曲面立體相交的截交情況，因此，相貫的主要形式是曲面立體與曲面立體相交。最常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體。兩回轉(zhuǎn)體相

3、交，其相貫線一般情況下是封閉的空間曲線（如圖5-15a），特殊情況下是平面曲線（如圖5-15 b）或由直線和平面曲線組成（如圖5-15c）.(二)求相貫線的方法、步驟求畫兩回轉(zhuǎn)體的相貫線，就是要求出相貫線上一系列的共有點(diǎn)。求共有點(diǎn)的方法有：面上取點(diǎn)法、輔助平面法和輔助同心球面法。具體作圖步驟為：（1）找出一系列的特殊點(diǎn)（特殊點(diǎn)包括：極限位置點(diǎn)、轉(zhuǎn)向點(diǎn)、可見性分界點(diǎn)）；（2）求出一般點(diǎn)；（3）判別可見性；（4）順次連接各點(diǎn)的同面投影；（5）整理輪廓線。二、相貫線的作圖方法（一）面上取點(diǎn)法當(dāng)相交的兩回轉(zhuǎn)體中有一個(gè)（或兩個(gè)）圓柱，且其軸線垂直于投影面時(shí)，則圓柱面在該投影面上的投影具有積聚性且為一個(gè)圓

4、，相貫線上的點(diǎn)在該投影面上的投影也一定積聚在該圓上，而其它投影可根據(jù)表面上取點(diǎn)方法作出。例5-10求軸線正交的兩圓柱表面的相貫線（圖5-16）兩圓柱的軸線垂直相交，相貫線是封閉的空間曲線，且前后對(duì)稱、左右對(duì)稱。相貫線的水平投影與垂直豎放圓柱體的圓柱面水平投影的圓重合，其側(cè)面投影與水平橫放圓柱體相貫的柱面?zhèn)让嫱队暗囊欢螆A弧重合。因此，需要求作的是相貫線的正面投影，故可用面上取點(diǎn)法作圖。作圖步驟（如圖5-16b所示）：（1）求特殊點(diǎn)（如點(diǎn)A、B、C、D）由于兩圓柱的正視轉(zhuǎn)向輪廓線處于同一正平面上，故可直接求得A、B兩點(diǎn)的投影。點(diǎn)A和B是相貫線的最高點(diǎn)（也是最左和最右點(diǎn)），其正面投影為兩圓柱面正視轉(zhuǎn)

5、向輪廓線的正面投影的交點(diǎn)a和b。點(diǎn)C和D是相貫線的最前點(diǎn)和最后點(diǎn)（也是最低點(diǎn)），其側(cè)面投影為垂直豎放圓柱面的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線的側(cè)面投影與水平橫放圓柱的側(cè)面投影為圓的交點(diǎn)c和d。而水平投影a、b、c和d均在直立圓柱面的水平投影的圓上。由c、d和c、d即可求得正面投影上的c和（d）。（2）求一般點(diǎn)（如點(diǎn)、）先在相貫線的側(cè)面投影上取1和（2），過點(diǎn)、分別作兩圓柱的素線，由交點(diǎn)定出水平投影1和2。再按投影關(guān)系求出1和2（也可用輔助平面法求一般點(diǎn)）。（3）判別可見性，然后按水平投影各點(diǎn)順序，將相貫線的正面投影依次連成光滑曲線。因前后對(duì)稱，相貫線正面投影其不可見部分與可見部分重影。相貫線的水平投影和側(cè)面投影

6、都積聚在圓上。軸線正交兩圓柱有三種基本形式，除圖5-16和圖5-17a所示的兩外表面相交外，還有如圖5-17b所示的外表面與內(nèi)表面相交和圖5-17c所示的兩內(nèi)表面相交等形式，這些相貫線的作圖方法都和圖5-16的作圖方法一樣例5-11求軸線交叉垂直的兩圓柱表面的相貫線（圖5-18）兩圓柱的軸線彼此交叉垂直，分別垂直于水平面和側(cè)面，所以相貫線的水平投影與直立小圓柱面的水平投影的圓重合，側(cè)面投影與水平大圓柱面參與相貫的側(cè)面投影的一段圓弧重合，因此本題只需求出相貫線的正面投影。由于直立小圓柱面的全部素線都貫穿于水平大圓柱面，且小圓柱軸線位于大圓柱軸線之前，兩個(gè)圓柱面具有公共的左右對(duì)稱面和上下對(duì)稱面，所

7、以相貫線是上、下兩條左右對(duì)稱的封閉的空間曲線。此題可用面上取點(diǎn)法（或輔助平面法）作圖。作圖步驟（如圖5-18b所示）：（1）求特殊點(diǎn)（如點(diǎn)、）定出小圓柱面正視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)、的水平投影1、2及側(cè)面投影1、2，從而求出正面投影1、2。點(diǎn)、是相貫線上的最左點(diǎn)、最右點(diǎn)。同理，可定出小圓柱面?zhèn)纫曓D(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)、的水平投影3、4及側(cè)面投影3、4，從而求出正面投影3、4。點(diǎn)、是相貫線上的最前點(diǎn)、最后點(diǎn)。也是最低點(diǎn)。再定出大圓柱面正視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)、的水平投影5、6及側(cè)面投影5、6，再求出其正面投影5、6。點(diǎn)、是相貫線上的最高點(diǎn)。（2）求一般點(diǎn)（如點(diǎn)、）在點(diǎn)、和之間，任選兩點(diǎn)（如、），定出水平投影7、

8、8，利用大圓柱面積聚為圓的側(cè)面投影，先得側(cè)面投影7、（8）后，由水平投影7、8和側(cè)面投影7、（8）求得正面投影交點(diǎn)7、8。為作圖精確起見，還可以依次求出足夠多的一般點(diǎn)。（3）判別可見性判別可見性的原則是：當(dāng)相貫兩立體表面都可見時(shí)，它們的相貫線才是可見的，若兩立體表面之一不可見多兩立體表面均不可見，則相貫線都為不可見。因此，在小圓柱正視轉(zhuǎn)向輪廓線之前，兩圓柱面均可見，其相貫線為可見，則正面投影上的1、2為相貫線正面投影可見與不可見的分界點(diǎn)，曲線段1（5）（4）（6）2為不可見，應(yīng)畫成虛線，曲線段17382為可見，應(yīng)畫成粗實(shí)線。（4）連曲線參照水平投影個(gè)點(diǎn)順序，將各點(diǎn)正面投影依次連成光滑封閉的曲線

9、，即得上端相貫線的正面投影（下端相貫線的正面投影作法與上端相同）。（5）整理輪廓線將兩圓柱看成一個(gè)整體，大圓柱的正視轉(zhuǎn)向輪廓線應(yīng)畫至（5）及（6）處，被小圓柱遮住部分應(yīng)畫成虛線；小圓柱的正視轉(zhuǎn)向輪廓線應(yīng)畫至1及2處（見放大圖）。（二）輔助平面法1.輔助平面法假設(shè)作一輔助平面，使與相貫線的兩回轉(zhuǎn)體相交，先求出輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體的截交線，則兩回轉(zhuǎn)體上截交線的交點(diǎn)必為相貫線上的點(diǎn)。如圖5-19所示。若作一系列的輔助平面，便可得到相貫線上的若干點(diǎn)，然后判別可見性，依次光滑連接各點(diǎn)，即為所求的相貫線。2.輔助平面選擇原則為了便于作圖，輔助平面應(yīng)為特殊位置平面并作在兩回轉(zhuǎn)面的相交范圍內(nèi)，同時(shí)應(yīng)使輔助平面與

10、兩回轉(zhuǎn)面的截交線的投影都是最簡(jiǎn)單易畫的圖形（多邊形多圓）。3.用輔助平面法求共有點(diǎn)的作圖步驟（1）作輔助平面；（2）分別作出輔助平面與兩回轉(zhuǎn)面的截交線；（3）兩回轉(zhuǎn)面截交線的交點(diǎn)，即為所求的共有點(diǎn)。（三）一些典型幾何形狀的相貫線例5-12求軸線正交的圓柱與圓錐臺(tái)的相貫線（圖5-20）如圖5-20所示。圓柱和圓錐臺(tái)的軸線垂直相交，相貫線為一封閉的空間曲線。由于圓柱軸線是側(cè)垂線，則圓柱的側(cè)面投影是有積聚性的圓，所以相貫線的側(cè)面投影與此圓重合，需要求的是相貫線的正面投影的水平投影。由于圓錐臺(tái)軸線垂直水平面，所以采用水平面作為輔助平面。作圖步驟（如圖5-20b所示）：（1）求特殊點(diǎn)相貫線的最高點(diǎn)和最低

11、點(diǎn)分別位于水平橫放圓柱和圓錐臺(tái)的正視轉(zhuǎn)向輪廓線上，所以在正面投影中其交點(diǎn)1、2可以直接求出。由1、2可求得側(cè)面投影1、2和水平投影1、2。相貫線的最前點(diǎn)和最后點(diǎn)，分別位于水平圓柱最前和最后兩條俯視轉(zhuǎn)向輪廓線上，其側(cè)面投影3、4可直接求出。水平投影3、4可過圓柱軸線作水平面P求出（P與圓柱和圓錐臺(tái)的截交線在水平投影上的交點(diǎn)），由3、4和3、4可求得正面投影3、（4）。（2）求一般點(diǎn)做輔助水平面P。平面P與圓錐臺(tái)的截交線為圓，與圓柱的截交線為兩平行直線。兩截交線的交點(diǎn)、即為相貫線上的點(diǎn)。求出兩截交線的水平投影，則它們的交點(diǎn)5、6即為相貫線上點(diǎn)、的水平投影。其側(cè)面投影5、6積聚在P上，正面投影5、6

12、積聚在P上。再作輔助水平面P，又可求出相貫線上、兩點(diǎn)的側(cè)面投影7、8和水平投影（7）、（8）和側(cè)面投影7、8可求得正面投影7、（8）。（3）判別可見性水平投影中在下半個(gè)圓柱面上的相貫線是不可見的，3、4兩點(diǎn)是相貫線水平投影的可見與不可見的分界點(diǎn)。正面投影中相貫線前、后部分的投影重合，即可見與不可見的投影互相重合。（4）連曲線參照各點(diǎn)側(cè)面投影的順序，將各點(diǎn)的同面投影連成光滑的曲線。正面投影中可見點(diǎn)1、5、3、7、2連成粗實(shí)線，水平投影中可見點(diǎn)3、5、1、6、4連成粗實(shí)線，不可見點(diǎn)4、（8）、（2）、（7）、3各點(diǎn)連成虛線。5）整理外形輪廓線在水平投影中，圓柱的俯視轉(zhuǎn)向輪廓線應(yīng)畫到3、4點(diǎn)為止。此

13、題也可用面上取點(diǎn)法求解，讀者可自行試解。例5-13求圓錐臺(tái)與半球的相貫線（圖5-21）。由圖5-21a中可以看出：圓錐臺(tái)的軸線不通過球心，但它們具有平行于正面的公共的對(duì)稱面。因此，相貫線是一條前后對(duì)稱的封閉的空間曲線。錐面、球面的個(gè)投影都無積聚性，故相貫線的各個(gè)投影都需要通過選用合適的輔助平面求解。作圖步驟（如圖5-21bf所示）：（1）求特殊點(diǎn)如圖5-21b所示，由于圓錐臺(tái)的軸線與半球鉛垂方向的軸線平行，并與圓錐臺(tái)、半球的正視轉(zhuǎn)向輪廓線處于同一正平面內(nèi)，故可用包含圓錐軸線和圓球軸線所決定的正平面（即它們的前后公共對(duì)稱面）作為輔助平面S，它與圓錐面交于兩條正視轉(zhuǎn)向輪廓線，與球面交于一條正視轉(zhuǎn)向

14、輪廓線，兩者交于、兩點(diǎn)，即為所求的處于二者正視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)。現(xiàn)可由其正面投影交點(diǎn)1、2，求得水平投影1、2和側(cè)面投影1、（2）。、兩點(diǎn)分別為相貫線上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，也是最左點(diǎn)和最右點(diǎn)（注意：僅有這一個(gè)正平面可作輔助正平面？為什么？請(qǐng)讀者思考）再經(jīng)包含圓錐臺(tái)的軸線作一側(cè)平面P為輔助平面，如圖5-21c所示，它與圓錐面交于兩條側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線，它與圓球面的交線為平行與側(cè)面的圓，兩線交于、兩點(diǎn)，即為所求圓錐面的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)。如圖5-21b即由其側(cè)面投影交點(diǎn)3、4求得正面投影3、（4）和水平投影3、4（同樣，這里也僅有這個(gè)側(cè)平面可作輔助側(cè)平面）。（2）求一般點(diǎn)如圖5-21d、e所示，由于圓

15、錐臺(tái)的軸線垂直于水平面，用水平面作輔助平面，則它與圓錐臺(tái)、圓球的截交線均為水平圓周，故在點(diǎn)、之間作輔助水平面Q（Q、Q），它與圓錐面及球面的截交線分別為圓M及L，兩者交于、。即先得水平投影中的交點(diǎn)5、6，從而求得5、（6）和5、6。同理，可作一系列輔助水平，求得相貫線上足夠多的一般點(diǎn)，如再作Q2v可求出7、8，從而求出7、（8）及（7）、（8）；只有先畫出相貫線的正面投影，并令它與圓球的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線N（n、n、n）的正面投影n相交，才能求出9、（10），從而求出（9）、（10）及9、10。點(diǎn)、是相貫線與半球側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線N的交點(diǎn)，也是半球側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線與圓錐面的交點(diǎn)。（3）判別可見性在水平投

16、影中，相貫線都是可見的。按可見性原則可知，屬于圓錐臺(tái)左半部一段可見相貫線的側(cè)面投影4、6、1、5、3曲線段畫成粗實(shí)線，3、4為側(cè)面投影可見與不可見的分界點(diǎn)，應(yīng)把不可見的側(cè)面投影4（8）（10）（2）（9）（7）3曲線段畫成虛線。（4）連曲線如圖5-21f所示，將正面投影中可見點(diǎn)153792連成光滑曲線。然后依次光滑連接各點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影。（5）整理輪廓線在正面投影中，圓錐臺(tái)和半球 的正視轉(zhuǎn)向輪廓線應(yīng)分別畫到1、2處為止。在側(cè)面投影中，圓錐臺(tái)的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線的側(cè)面投影只畫到3、4處；半球的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線n只畫到（9）、（10）處為止，其中被圓錐臺(tái)遮住的部分應(yīng)畫成虛線。當(dāng)兩相交回轉(zhuǎn)體，其兩軸

17、線相交時(shí)，可用交點(diǎn)為球心作輔助球面，分別與兩回轉(zhuǎn)體相交的相貫線均為圓，這兩個(gè)圓因位于同一球面上，彼此相交，兩圓的交點(diǎn)是兩回轉(zhuǎn)體表面上的共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)，同理可求得相貫線上若干點(diǎn)，此方法稱為輔助球面法，本書不另闡述。三、相貫線的特殊情況兩回體相交，在一般情況下相貫線是空間曲線，但在特殊情況下相貫線也困難是平面曲線或直線。下面介紹幾種常見的情況。（1）同軸的兩回轉(zhuǎn)體相交，相貫線是垂直于軸線的圓，如圖5-22a、b、c。當(dāng)軸線平行于某一投影面時(shí)，其相貫線在該投影面上的投影積聚成一直線。如圖5-22a、b、c。（2）切于同一球面的兩回轉(zhuǎn)體相交（圓柱與圓柱、圓柱與圓錐、圓錐與圓錐），其相貫線為兩個(gè)

18、相交的垂直于公共對(duì)稱面的橢圓。舉例如下：當(dāng)兩圓柱軸線相交、直徑相等、同切于一球面時(shí)，其相貫線為兩個(gè)大小相等的橢圓，如圖5-23a所示。在這種情況下兩個(gè)橢圓的正面投影積聚為相交兩直線，水平投影和側(cè)面投影均積聚為圓。當(dāng)圓柱與圓錐臺(tái)的軸線相交，且同切于一球面時(shí)，其相貫線為兩個(gè)大小相等的橢圓，如圖5-23b所示。在這種情況下兩個(gè)橢圓的正面投影積聚為兩相交直線，水平投影仍為橢圓，側(cè)面投影積聚為圓。（3）軸線相互平行的兩圓柱相交，兩圓柱面上的相貫線是兩條平行于軸線的直線，如圖5-24所示。四、相貫線投影的彎曲趨向和變化情況相貫線投影的彎曲趨向隨相貫的兩回轉(zhuǎn)體的種類變化、尺寸變化和相對(duì)位置的變化而不同。表5-3所示是尺寸變化對(duì)相貫線形狀的影