長春吉林大學附屬實驗學校級高二年級數(shù)學學科圓錐曲線的參數(shù)方程 教師版學案

1、2019級高二年級數(shù)學學科學案學案類型：新授課 材料序號： 13 編稿教師： 滕苑 審稿教師：金瑩 選修4-4 第四講 圓錐曲線的參數(shù)方程 一、學習目標 （1）掌握圓錐曲線的參數(shù)方程，會用參數(shù)方程求解一些最值問題（2）掌握橢圓參數(shù)方程，理解橢圓參數(shù)方程中的幾何意義（3）了解拋物線和雙曲線的參數(shù)方程，了解拋物線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義二、知識解析（一）橢圓的參數(shù)方程如圖所示，以原點為圓心，為半徑分別作兩個同心圓設為大圓上的任一點，連接，與小圓交于點過點分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點設以為始邊，為終邊的角為，點的坐標是那么點的橫坐標為，點的縱坐標為由于點均在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有：，當半

2、徑繞點旋轉一周時，就得到了點的軌跡，它的參數(shù)方程是這是中心在原點，焦點在軸上的橢圓.在橢圓的參數(shù)方程中，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為（二）雙曲線的參數(shù)方程如圖所示，以原點為圓心，為半徑分別作同心圓設為圓上任一點，作直線，過點作圓的切線與軸交于點，過圓與軸的交點作圓的切線與直線交于點過點分別作軸，軸的平行線交于點設為始邊，為終邊的角為，點的坐標是那么點的坐標為，點的坐標為因為點在圓上，由圓的參數(shù)方程得點的坐標為，所以因為，所以，從而解得記，則因為點在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有，即所以，點的軌跡的參數(shù)方程為由消去參數(shù)后得到點的軌跡的普通方程在雙曲線的參數(shù)方程中，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為，且（三）拋物線的參

3、數(shù)方程如圖所示，設拋物線的普通方程為，其中表示焦點到準線的距離設為拋物線上除頂點外的任意一點，以射線為終邊的角記作顯然，當在內變化時，點在拋物線上運動，并且對于的每一個值，在拋物線上都有唯一的點與之對應因此，可以取為參數(shù)來探求拋物線的參數(shù)方程由于點在的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)定義可得可得這就是拋物線的參數(shù)方程如果令，則得：當時，方程表示的點正好是拋物線的頂點因此，當時，參數(shù)方程就表示整條拋物線三、例題分析類型一 橢圓的參數(shù)方程例1 在橢圓上求一點，使點到直線的距離最小，并求出最小距離解析：因為橢圓的參數(shù)方程為，所以點的坐標為由點到直線的距離公式，得到點到直線的距離為其中滿足.由三角函數(shù)性質知，當時

4、，取最小值此時因此，當點位于時，點與直線的距離取最小值類型二 雙曲線的參數(shù)方程例2 如圖，設為雙曲線上任意一點，為原點，過點作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于兩點.探求平行四邊形的面積，由此可以發(fā)現(xiàn)什么結論？解析:雙曲線的漸近線方程為.不妨設為雙曲線右支上一點,其坐標為，則直線的方程為.(*)將帶入（*），解得點的坐標為.同理可得，點的橫坐標為.設，則.因此，平行四邊形的面積為類型三 拋物線的參數(shù)方程例3如圖，是直角坐標原點，是拋物線上異于頂點的兩動點，且，并與相交于點.（）求的面積的最小值；（）求線段中點的軌跡方程；（）求點的軌跡方程；解析：設拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，并設，（

5、）的面積當且僅當，且時取等號.（）設，由中點公式得（）當斜率存在時，且，則的交點為的軌跡方程，聯(lián)立方程得由聯(lián)立，得，即.當斜率不存在時，且，不妨設，則點，也符合.點的軌跡方程為.四、鞏固提高（一）選擇題：（1）已知動圓：是正常數(shù)，是參數(shù)），則圓心的軌跡是（D）（A）直線（B）圓（C）拋物線的一部分（D）橢圓（2）是橢圓上一定點，為橢圓上異于的一動點，則的最大值為（C）（A）（B）（C）（D）（3）是橢圓上一點，且在第一象限，為原點）的傾斜角為，則點的坐標為（B）（A）（B）（C）（D）（4）參數(shù)方程表示（A）（A）拋物線的一部分，這部分過點（B）雙曲線的一支，這支過點（C）雙曲線的一支，這支過

6、點（D）拋物線的一部分，這部分過點（二）解答題：（5）根據(jù)下列條件求橢圓的參數(shù)方程：（）設為參數(shù)；（）設為參數(shù)解析：（）把代入橢圓方程，得到，于是，于是，由于具有任意性，與的符號可以描述平面直角坐標系中點的坐標的符號，所以取因此，橢圓的參數(shù)方程是（）把代入橢圓方程，得到，于是，即因此，橢圓的參數(shù)方程是或（6）如圖所示，已知點是橢圓上在第一象限的點，和是橢圓的兩個頂點，為原點，求四邊形的面積的最大值解析：由橢圓參數(shù)方程，故可設，其中，因此所以，當時，四邊形面積的最大值為（7）已知分別是橢圓的右頂點和上頂點，動點在該橢圓上運動，求的重心的軌跡方程解析：設的坐標為，由于點不與重合，故設的重心的坐標為，依題意，知，由三角形的重心坐標公式，得，即其中，這就是重心的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得，點及除外所以的重心的軌跡方程為，點及除外（8）已知橢圓上任意一點（除短軸端點外