高一秋季函數(shù)的奇偶性二與對(duì)稱性尖子班刪解析

1、函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性第4講 函數(shù)14級(jí)指數(shù)函數(shù)與相關(guān)復(fù)合函數(shù)滿分晉級(jí) 函數(shù)13級(jí)函數(shù)的奇偶性（二）與對(duì)稱性函數(shù)12級(jí)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（一）本講分成三個(gè)板塊：一、函數(shù)的奇偶性（二）；二、函數(shù)的對(duì)稱性；三、函數(shù)的周期性；其中板塊一只有一道例題，引出板塊二函數(shù)的一般對(duì)稱性；板塊三只有目標(biāo)班出現(xiàn)本講尖子班建議課時(shí)2小時(shí)，目標(biāo)班建議課時(shí)3小時(shí)4.1函數(shù)奇偶性（二）考點(diǎn)1：函數(shù)的奇偶性<教師備案> 本板塊復(fù)習(xí)一下上一講的函數(shù)的奇偶性，從圖象平移的角度與奇偶函數(shù)的本質(zhì)角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的對(duì)稱性如是偶函數(shù)，從圖象平移角度來說：意味著函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位后，有對(duì)稱軸，故函

2、數(shù)的圖象有對(duì)稱軸從偶函數(shù)本質(zhì)角度來說，偶函數(shù)意味著自變量取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，的自變量為，故意味著這說明：與關(guān)于對(duì)稱是等價(jià)的命題【例1】 若是偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的有 （寫出所有正確的選項(xiàng)） 若是偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的有 （寫出所有正確的選項(xiàng)）ABCDE F 若是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為_若是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為_ 若是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為_若是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為_ 若的對(duì)稱中心為，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為 【解析】 B；A、F；4.2函數(shù)的對(duì)稱性偶函數(shù)與奇函數(shù)代表著最基本的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱，這兩種最基本的對(duì)稱可以拓展到一般的結(jié)論首先說明的是這里所說的函數(shù)對(duì)稱

3、性指的是一個(gè)函數(shù)自身的對(duì)稱性，而不是兩個(gè)函數(shù)之間的對(duì)稱一、軸對(duì)稱 這里我們要講的是研究方法： 先來看偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的，它具有代數(shù)形式是，如何從圖象的對(duì)稱性得到這個(gè)代數(shù)形式呢？若有兩個(gè)互為相反數(shù)的自變量和，由于圖象是關(guān)于軸對(duì)稱的，所以在與處的函數(shù)值是相等的，但在這個(gè)過程中我們隱藏了一些想法：為什么要取互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量呢？因?yàn)閷?duì)稱軸是，所以在對(duì)稱軸左右兩邊找兩個(gè)對(duì)稱的東西，和可以理解為一個(gè)是，一個(gè)是，也可以理解為與中點(diǎn)為由此角度可以想想，若將對(duì)稱軸換成呢？此時(shí)若想構(gòu)造軸對(duì)稱該如何構(gòu)造？該取什么樣的自變量？若，則，一定要寫成的形式，只需兩個(gè)括號(hào)中的和為即可第1種思考方式：若關(guān)

4、于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱的兩自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；第2種思考方式：因?yàn)檩S對(duì)稱圖形上對(duì)稱兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，所以若和兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則兩自變量滿足（中點(diǎn)在對(duì)稱軸上）如：，括號(hào)中的和為，的圖象關(guān)于對(duì)稱一定是函數(shù)值相等才有軸對(duì)稱這一說法，若兩自變量和為常數(shù)且函數(shù)值相等，則可表達(dá)軸對(duì)稱：，則關(guān)于軸對(duì)稱 再如：若，此時(shí)是否有對(duì)稱軸？有，仍然為當(dāng)討論軸對(duì)稱時(shí)，只要看括號(hào)內(nèi)的和是否為常數(shù)就行，不要受其它因素的干擾例：若是偶函數(shù)，則的對(duì)稱軸為_在上一個(gè)板塊，我們已經(jīng)從圖象平移角度得到過對(duì)稱軸，這里我們從函數(shù)方程角度出發(fā)，由關(guān)于對(duì)稱上面的說法只是針對(duì)平常出現(xiàn)的，更變態(tài)的情況一般不可能出現(xiàn)，如若有，則的圖象否

5、有對(duì)稱性？不一定有，因?yàn)楹偷年P(guān)系不能確定，但嚴(yán)格意義上還是關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)榕c可通過去解決若，則的圖象否有對(duì)稱性？有，關(guān)于對(duì)應(yīng)有限制時(shí)，不一定對(duì)稱，如，因?yàn)闀r(shí)，的情況無法確定當(dāng)然，這些問題本身就非常變態(tài)了，不必深究本質(zhì)上來說，當(dāng)與的值域的并集為時(shí)，可以得到對(duì)稱，否則得不到知識(shí)點(diǎn)睛一般的軸對(duì)稱： 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱； 若函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱【練習(xí)1】若函數(shù)滿足：，則的圖象的對(duì)稱軸為_；若函數(shù)滿足：，則的圖象的對(duì)稱軸為_；若函數(shù)滿足：，則的圖象的對(duì)稱軸為_經(jīng)典精講考點(diǎn)2：二次函數(shù)的對(duì)稱性<教師備案> 二次函數(shù)是一類很特殊的軸對(duì)稱函數(shù)，對(duì)于二次函數(shù)來說，只需要兩個(gè)特殊點(diǎn)的函

6、數(shù)值相等就可得到它的對(duì)稱軸，這是因?yàn)樗膶?duì)稱性+單調(diào)性決定的對(duì)于一般的軸對(duì)稱函數(shù)，并沒有這樣的性質(zhì)【鋪墊】函數(shù)對(duì)任意的均有，那么、的大小關(guān)系是（）A BC D【解析】 C【例2】 二次函數(shù)，若，則等于（ ）A B C D二次函數(shù)，若，則等于（ ）A B C D設(shè)且，則（ ）A B C D【解析】 D C B考點(diǎn)3：軸對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)【鋪墊】若函數(shù)在上為減函數(shù)，且對(duì)任意的，有，則（ ）A B C D【解析】 D【例3】 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且恒成立，則當(dāng)時(shí)， 已知為定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng) 時(shí)，_設(shè)函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)都有，如果方程有且只有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么這三根之和等于 【拓展】已

7、知函數(shù)滿足；時(shí)，為增函數(shù)；， 且，則與的大小關(guān)系是 二、中心對(duì)稱對(duì)稱中心：每個(gè)點(diǎn)繞著對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)后還在圖象上奇函數(shù)中兩自變量的中點(diǎn)是中間的，兩函數(shù)值中點(diǎn)是，有若將對(duì)稱中心移到點(diǎn)，可同理，從出發(fā)，向左向右距離相等，使其自變量對(duì)稱，則它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的中點(diǎn)應(yīng)為，所以當(dāng)自變量關(guān)于對(duì)稱時(shí)，函數(shù)值關(guān)于對(duì)稱 例：，則關(guān)于中心對(duì)稱當(dāng)描述對(duì)稱性時(shí)一定要注意，自變量的和是一個(gè)常數(shù)時(shí)，所表達(dá)的一定是對(duì)稱性，因?yàn)閷?duì)稱性就是往兩邊走例：，則是中心對(duì)稱的，對(duì)稱中心為 ，則關(guān)于中心對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)睛一般的中心對(duì)稱： 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 若函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱【練習(xí)2】若函數(shù)滿足：，則的圖象的對(duì)稱中心為_；若函數(shù)

8、滿足：，則的圖象的對(duì)稱中心為_；若函數(shù)滿足：，則的圖象的對(duì)稱中心為_經(jīng)典精講考點(diǎn)4：中心對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)【例4】 已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，且恒成立，則當(dāng)時(shí)， 已知當(dāng)時(shí)，且恒成立，則當(dāng)時(shí)，_已知是定義在上的函數(shù)且為奇函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）A函數(shù)不是奇函數(shù) BC函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱已知為定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）A B函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C D函數(shù)為奇函數(shù) D； D【拓展】若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，有，則下列說法一定的是（ ）A是奇函數(shù)B是偶函數(shù)C是奇函數(shù)D是偶函數(shù)【解析】 C；考點(diǎn)5：含絕對(duì)值的函數(shù)的對(duì)稱性這里研究三種常見的含絕對(duì)值的函數(shù)：

9、，：絕對(duì)值的幾何意義是數(shù)軸上坐標(biāo)為的兩點(diǎn)之間的距離，從這個(gè)角度去理解：絕對(duì)值中的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)為，表示到這兩個(gè)零點(diǎn)的距離之和，兩零點(diǎn)應(yīng)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，故函數(shù)的對(duì)稱軸為且此函數(shù)的最小值為同樣的，對(duì)，表示的是距離之差，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值一直為，且為最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值一直為，且為最小值，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減知識(shí)點(diǎn)睛的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的最小值為；的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的最小值為；的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)的值域?yàn)?lt;教師備案> 對(duì)上面結(jié)論的證明：方法一：可以由函數(shù)圖象的對(duì)稱性獲得方法二：代數(shù)證明經(jīng)典精講【例5】 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（ ）A3 B2 C1 D設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)的最大值為，則_用表示，兩數(shù)中的最小值若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（ ）A B C D【解析】 A 或； D【拓展】要使得函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸，的值為_【解析】 或2或4若的圖象的對(duì)稱軸為，則的圖象的對(duì)稱軸為_；的圖象的對(duì)稱軸為_；的圖象的對(duì)稱軸為_與是關(guān)于軸對(duì)稱的，故有對(duì)稱軸；向右平移一個(gè)單位得到，故的對(duì)稱軸為因?yàn)?，從而，故，記，則有，即有對(duì)稱軸，即有對(duì)稱軸實(shí)戰(zhàn)演練【演練1】對(duì)于二次函數(shù)，及任意的有( )AB C D【解析】 B【演練2】若二次函數(shù)的對(duì)稱軸為且其圖象過點(diǎn)，則的值為（ ）A B3 C2 D1【解析】 A【演練3】若函數(shù)滿足，且時(shí)，則時(shí)，_【