高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解多元函數(shù)微分學(xué)

1、習(xí)題7-11. 指出下列各點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y軸上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2. 已知點(diǎn)M(-1，2，3)，求點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、各坐標(biāo)軸及各坐標(biāo)面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)所求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，則(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(-1，-2，-3).同理可得：點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1， 2，-3)；關(guān)于z

2、軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到點(diǎn)M關(guān)于xOy面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(-1， 2，-3).同理，M關(guān)于yOz面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1， 2，3)；M關(guān)于zOx面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(-1，-2，3).3. 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點(diǎn).解:設(shè)所求的點(diǎn)為M(0，0，z)，依題意有|MA|2=|MB|2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z=11，故所求的點(diǎn)為M(0，0，).4. 證明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三

3、角形是一個(gè)等腰三角形.解：由兩點(diǎn)距離公式可得， 所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.5. 設(shè)平面在坐標(biāo)軸上的截距分別為a=2,b=3,c=5,求這個(gè)平面的方程.解：所求平面方程為。6. 求通過x軸和點(diǎn)(4,3,1)的平面方程.解：因所求平面經(jīng)過x軸，故可設(shè)其方程為Ay+Bz =0.又點(diǎn)(4,3,1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化簡可得 y-3z =0.7. 求平行于y軸且過M1(1,0,0)，M2(0,0,1)兩點(diǎn)的平面方程.解：因所求平面平行于y軸，故可設(shè)其方程為Ax+Cz+D=0.又點(diǎn)M1和M2都在平面

4、上，于是可得關(guān)系式：A=C=D,代入方程得：DxDz+D=0.顯然D0,消去D并整理可得所求的平面方程為x+z1=0.8. 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面？解：表示以點(diǎn)（1，-2，0）為球心，半徑為的球面方程。9. 指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？(1) x2y=1；(2) x2+y2=1；(3) 2x2+3y2=1；(4) y=x2. 解：(1)表示直線、平面。(2)表示圓、圓柱面。(3)表示橢圓、橢圓柱面。 (4)表示拋物線、拋物柱面。習(xí)題7-21. 下列各函數(shù)表達(dá)式:(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求；(2) 已知求f(x,y).解

5、：（1） （2） 所以2. 求下列函數(shù)的定義域，并指出其在平面直角坐標(biāo)系中的圖形：(1) ；(2) ;(3) ；(4) 解：（1）由可得 故所求定義域?yàn)镈=(x,y)| 表示xOy平面上不包含圓周的區(qū)域。 （2）由 可得 故所求的定義域?yàn)镈=(x,y)| ，表示兩條帶形閉域。 （3）由 可得 故所求的定義域?yàn)镈=(x,y)| ，表示xOy平面上直線y=x以下且橫坐標(biāo)的部分。 （4）由 可得 故所求的定義域?yàn)镈=(x,y)| 。3. 說明下列極限不存在： (1) ；(2) .解：（1）當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有 。顯然，此時(shí)的極限值隨k的變化而變化。 因此，函數(shù)f(x,

6、y)在(0,0)處的極限不存在。（2）當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿曲線趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有 。顯然，此時(shí)的極限值隨k的變化而變化。 因此，函數(shù)f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。4. 計(jì)算下列極限：(1) ；(2);(3) ；(4) .解：（1）因初等函數(shù)在(0,1)處連續(xù)，故有（2）（3）（4）。5. 究下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) (2) 解：(1) 所以f(x,y)在(0,0)處連續(xù). (2) 該極限隨著k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)處不連續(xù).6. 下列函數(shù)在何處間斷？(1) ；(2) .解：(1)z在(x,y)| 處間斷. (2)z在(x,y)| 處間斷.習(xí)題7-31. 求下

7、列函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：(1) z=x3+3xy+y3； (2) ;(3) ； (4) (5) ； (6) 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)：(1) f(x,y)=x2xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);(2) ;求(3) ; 求； (4) , 求.解：(1) (2) 因此 (3) 因此所以. (4) 故3設(shè)，證明：(1) ;(2) ;(3) .證明：利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：(1) (2) 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：(3) 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：.4. 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),：(1) ； (

8、2) .解：(1) (2) 5. 某水泥廠生產(chǎn)A,B兩種標(biāo)號(hào)的水泥，其日產(chǎn)量分別記作x,y(單位：噸)，總成本(單位：元)為C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求當(dāng)x=4,y=3時(shí)，兩種標(biāo)號(hào)水泥的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義.解：經(jīng)濟(jì)含義:當(dāng)A,B兩種標(biāo)號(hào)的水泥日產(chǎn)量分別4噸和3噸時(shí)，如果B水泥產(chǎn)量不變，而A水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加270元；如果A水泥產(chǎn)量不變，而B水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加160元。6. 設(shè)某商品需求量Q與價(jià)格為p和收入y的關(guān)系為Q=4002p+0.03y.求當(dāng)p=25,y=5000時(shí)，需求Q對價(jià)格p和收入y的偏彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義.解：經(jīng)濟(jì)含義:

9、 價(jià)格為25和收入為5000時(shí)，如果價(jià)格不變，而收入增加1個(gè)單位，商品的需求量將增加0.03；如果收入不變，而價(jià)格增加1個(gè)單位，商品的需求量將減少2.習(xí)題7-41. 求下列函數(shù)的全微分：(1) z=4xy3+5x2y6； (2) (3) u=ln(xyz)； (4) 解：(1) 所以 (2) 所以 (3) 所以 (4) 所以 2. 計(jì)算函數(shù)z=xy在點(diǎn)(3，1)處的全微分.解：所以 3. 求函數(shù)z=xy在點(diǎn)(2，3)處，關(guān)于x=0.1，y=0.2的全增量與全微分.解：所以4. 計(jì)算 (1.04)2.02的近似值.設(shè)函數(shù)f(x,y)=xy.x=1,y=2,x=0.04,y=0.02.f(1,3)

10、=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函數(shù)全微分近似計(jì)算公式(7-18)，得(1.05)3.021+2×0.04+0×0.02=1.08.5. 設(shè)有一個(gè)無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內(nèi)高為20 cm，內(nèi)半徑為4 cm，容器的壁與底的厚度均為0.1 cm，求容器外殼體積的近似值.解：解設(shè)圓柱的直徑和高分別用x，y表示，則其體積為.于是，將所需的混凝土量看作當(dāng)x+x=8+2×0.1，y+y=20+0.1與x=8，y=20時(shí)的兩個(gè)圓柱體的體積之差V(不考慮底部的混凝土)，因此可用近似計(jì)算公式VdV=

11、fx(x,y)x+fy(x,y)y.又，代入x=8，y=20，x=0.2，y=0.1，得到(m3).因此，大約需要55.264m3的混凝土.習(xí)題7-51. 求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：(1) 設(shè)z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求導(dǎo)數(shù)；(2) 設(shè)z=arctan(uv),而u=3x,v=4x3,求導(dǎo)數(shù);(3) 設(shè)z=xy+sint,而x=et,y=cost,求導(dǎo)數(shù)解： (1) (2) (3) 2. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))：(1) 設(shè)z=u2vuv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；(2) 設(shè)z=(3x2+y2)4x+2y，求和；(3) 設(shè)u=f(x,y,z)=

12、ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；(4) 設(shè)w=f(x，x2y，xy2z)，求,.解：(1)(2) 令.(3) 3. 應(yīng)用全微分形式的不變性，求函數(shù)的全微分.解：令而故4. 已知sinxy2z+ez=0,求和.解：兩同時(shí)對x求偏導(dǎo)，可得故兩邊同時(shí)對y求偏導(dǎo)，可得故5. 若f的導(dǎo)數(shù)存在，驗(yàn)證下列各式：(1) 設(shè)u=yf(x2y2)，則；(2) 設(shè)，則.證：(1) ,所以.(2) ,所以.6. 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))：(1) ；(2) z=ylnx；(3) z=f(xy,x2y2).解：(1)由第3題可知故.(2) 故,.(3) 故7. 求由下列方程所確定的隱函

13、數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) x2+y2+z24z=0；(2) z33xyz=1.解：(1)兩邊同時(shí)對x求偏導(dǎo)得故兩邊同時(shí)對y求偏導(dǎo)得故(2) 兩邊同時(shí)對x求偏導(dǎo)得故兩邊同時(shí)對y求偏導(dǎo)得故習(xí)題7-61. 求下列函數(shù)的極值：(1) f(x,y)=x2+y36xy+18x39y+16；(2) f(x,y)=3xyx3y3+1.解：(1) 先解方程組得駐點(diǎn)為(-6,1),(6,5).在點(diǎn)(-6，1)處，=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6，1)不是極值；在點(diǎn)(6，5)處，= AC-B2=2×30-36>0，又A>0，所以函數(shù)在(6，5)處有極小值f

14、(6，5)=-90.(2) 先解方程組得駐點(diǎn)為(0,0),(1,1).在點(diǎn)(0，0)處，=AC-B2=-9<0,所以f(0，0)不是極值；在點(diǎn)(1，1)處，=AC-B2=27>0,又A<0，所以函數(shù)在(1，1)處有極大值f(1，1)=2.2. 求函數(shù)f(x,y)=x22xy+2y在矩形區(qū)域D=(x,y)|0x3,0y2上的最大值和最小值.解：(1)先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)，解方程組得唯一駐點(diǎn)(1,1),且f(1,1)=1.(2) 再求f(x,y)在D的邊界上的最值.在邊界x =0,上, f(x,y)=2y，因此最大值為f(0,2)=4，最小值為f(0,0)=0；在邊界x =3,上

15、, f(x,y)= -4y+9，因此最大值為f(3,0)=9，最小值為f(3,2)=1；在邊界y =0,上, f(x,y)= x2，因此最大值為f(3,0)=9，最小值為f(0,0)=0；在邊界y =2,上, f(x,y)= x24x+4，因此最大值為f(3,2)=1，最小值為f(2,2)=0；(3) 比較上述得到的函數(shù)值，從而得到f(3,0)=9為最大值，f(0,0)=0為最小值.3. 求函數(shù)f(x,y)=3x2+3y2x3在區(qū)域D:x2+y216上的最小值.解：(1)先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)，解方程組得駐點(diǎn)(0,0), (2,0)，且f(0,0)=0， f(2,0)=4.(2) 再求f(x,y

16、)在D的邊界上的最值.在邊界x2+y2=16上，f(x,y)=48x3, 因此最大值為f(0,4)=48，最小值為f(4,0)=-16；(3) 比較上述得到的函數(shù)值，從而得到f(0,4)=48為最大值，f(4,0)=-16為最小值.4. 求下列函數(shù)的條件極值：(1) z=xy，x+y=1；(2) u=x2y+2z， x2+y2+z2=1. 解：(1) 作拉格朗日函數(shù)L(x,y,)=xy+(x+y1).寫出方程組得到,因此，z=xy在處取得最大值.(2) 作拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,)= x2y+2z +(x2+y2+z21).寫出方程組得到,.因此，u=x2y+2z在處取得最小值-3.5.

17、要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長方體水箱，如何設(shè)計(jì)才能使用料最??？解設(shè)長方體的三棱長分別為x，y，z，則問題就是在約束條件xyz=8下求函數(shù)S=2(xy+yz+xz)的最大值.構(gòu)成輔助函數(shù)F(x，y，z)= 2(xy+yz+xz)+(xyz8)，解方程組得,這是唯一可能的極值點(diǎn).因?yàn)橛蓡栴}本身可知最小值一定存在，所以最小值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得.即：體積為8m3的有蓋長方體水箱中,以棱長為2的正方體的表面積為最小，最小表面積6. 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為x件和y件，總成本函數(shù)為C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元),要求每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的總量為42件，問甲、

18、乙兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為多少時(shí)，成本最低？解：問題是在約束條件x+y=42(x>0，y>0)下，函數(shù)C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元)的條件極值問題.令由得x=25,y=17.根據(jù)問題本身的意義及駐點(diǎn)的唯一性知，當(dāng)投入兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為25件和17件時(shí)，可使成本最低.7. 某公司通過電視和報(bào)紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬元)與電視廣告費(fèi)x(單位:萬元)和報(bào)紙廣告費(fèi)y(單位:萬元)之間的關(guān)系為R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2，(1) 若廣告費(fèi)用不設(shè)限，求最佳廣告策略.(2) 若廣告費(fèi)用總預(yù)算是2萬元，分別用求條件極值和無條件極值的方法求

19、最佳廣告策略. 解：(1)得唯一駐點(diǎn)(1.5,1).由此可知，當(dāng)電視廣告費(fèi)為1.5萬元，報(bào)紙廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，廣告策略最佳。(2) 問題是在約束條件x+y=2(x>0，y>0)下，函數(shù)R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2的條件極值問題.令由解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，當(dāng)電視廣告費(fèi)為0.75萬元，報(bào)紙廣告費(fèi)為1.25萬元時(shí)，廣告策略最佳。由x+y=2，可得y =2-x,代入R得 R(x,y)=-4 x2+6x+39令.因此y=1.25.復(fù)習(xí)題7（A）1. 設(shè)，且已知y=1時(shí)，z=x則,. 解：由y=1時(shí)，z=x，得令，.2. 設(shè)，則 1 , 0 .解

20、：3. 設(shè),則 .解：令而故4. 設(shè),其中f,g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 .解：所以0.5. 若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)處函數(shù) ( D ) A有極限 B連續(xù)C可微 D以上三項(xiàng)都不成立解：因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在，不能推出極限存在，所以ABC三項(xiàng)不一定正確. 6. 偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)的( D ) A充分條件 B必要條件C充要條件 D即非充分也非必要條件解：同5.7. 設(shè)函數(shù)f(x,y)=1x2+y2,則下列結(jié)論正確的是( D ) A點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn) B點(diǎn)(0,0)是f(x,y)

21、的極大值點(diǎn)C點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的駐點(diǎn) Df(0,0)不是f(x,y)的極值8. 求下列極限：(1) ；(2) .解：(1) 因?yàn)樗?(2) =09. 設(shè)u=e3xy，而x2+y=t2,xy=t+2,求.解：由x2+y=t2,xy=t+2,可得所以.因此，.令故10. 設(shè)z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所確定,求解：兩邊同時(shí)對x求偏導(dǎo)，得.11. 設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足，又,試證.證：則所以.12. 求函數(shù)f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的極值.解：先解方程組得駐點(diǎn)為(0,1).在點(diǎn)(0，1)處,=AC-B2=6×1-0>0,又A>0,所以函數(shù)在(0，1)處有極小值f(0，1)=0.（B）1. 設(shè)z=ex+f(x2y)，且已知y=0時(shí)，z=x2,則 .解：令所以2. 設(shè)f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則 . 解：故因此.3.