高數(shù)典型例題

1、第一章 函數(shù)及其圖形 例1： （ ）. A. x | x>3 B. x | x<-2 C. x |-2< x 1 D. x | x1    注意，單選題的解答，有其技巧和方法，可參考本課件“應(yīng)試指南”中的文章高等數(shù)學(xué)（一）單項選擇題的解題策略與技巧，這里為說明解題相關(guān)的知識點，都采用直接法。例2：函數(shù) 的定義域為（ ）.解：由于對數(shù)函數(shù)lnx的定義域為x>0，同時由分母不能為零知lnx0，即x1。由根式內(nèi)要非負(fù)可知 即要有x>0、x1與 同時成立，從而其定義域為 ，即應(yīng)選C。例3：下列各組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的是（ ）解：A中的兩個函

2、數(shù)是不同的，因為兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，當(dāng)|x|>1時，兩函數(shù)取得不同的值。  B中的函數(shù)是相同的。因為 對一切實數(shù)x都成立，故應(yīng)選B。  C中的兩個函數(shù)是不同的。因為 的定義域為x-1，而y=x的定義域為（-，+）。  D中的兩個函數(shù)也是不同的，因為它們的定義域依次為（-，0）（0，+）和（0，+）。例4：設(shè) 解：在 令t=cosx-1，得 又因為-1cosx1，所以有-2cosx-10，即-2t0，從而有 。 例5： f(2)沒有定義。注意，求分段函數(shù)的函數(shù)值，要把自變量代到相應(yīng)區(qū)間的表達(dá)式中。例6：函數(shù) 是（ ）。A偶函數(shù) B有界函數(shù) C單調(diào)函數(shù) D周期

3、函數(shù)解：由于 ，可知函數(shù)為一個奇函數(shù)而不是偶函數(shù)，即（A）不正確。由函數(shù)在x=0，1，2點處的值分別為0，1，4/5，可知函數(shù)也不是單調(diào)函數(shù)；該函數(shù)顯然也不是一個周期函數(shù)，因此，只能考慮該函數(shù)為有界函數(shù)。 事實上，對任意的x，由 ，可得 ，從而有 。可見，對于任意的x，有。因此，所給函數(shù)是有界的，即應(yīng)選擇B。例7：若函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)是（ ）。A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) 奇偶性不確定解：因為f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y =

4、 -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f x+(-x) = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)為奇函數(shù)，故應(yīng)選 A 。例 8：函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）。A   B C   D 解： 于是， 是所給函數(shù)的反函數(shù)，即應(yīng)選C。例 9：下列函數(shù)能復(fù)合成一個函數(shù)的是（ ）。A B C D 解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)0，不在f (u)的定義域內(nèi)，不能復(fù)合。在(D)中，u=g(x)=3也不滿足f(u)的定義域 ，也不能復(fù)合。只有(C)中 的定義域內(nèi)，可以復(fù)合成一個函數(shù)，故應(yīng)選C。例 10：函數(shù) 可以看成哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成：解： ，

5、三個簡單函數(shù)復(fù)合而成。第二章 極限與連續(xù) 例1：下列數(shù)列中，收斂的數(shù)列是（ ）A. B. C. D. 解：（A）中數(shù)列為0，1，0，1，其下標(biāo)為奇數(shù)的項均為0，而下標(biāo)為偶數(shù)的項均為1，即奇偶數(shù)項分別趨于不同的常數(shù)值，從而可知該數(shù)列沒有極限，是發(fā)散的。由于 ，故（B）中數(shù)列發(fā)散。由于正弦函數(shù)是一個周期為 的周期函數(shù)，當(dāng) 時， 并不能無限趨近于一個確定的值，因而（C）中數(shù)列也發(fā)散。由于 ，故（D）中數(shù)列收斂。例2：設(shè) ，則a=( )A.0 B.1 C.3 D.1/3解：假設(shè) =0，則所給極限為 ，其分子趨于，而分母趨于有限值3，所以極限為，不是1/5，因而0。當(dāng)0時，所給極限為 ，故應(yīng)選C。一般地

6、，如果有理函數(shù) ，其中 、 分別為n的k次、l次多項式，那么，當(dāng) 時，當(dāng)k=l時，f (n)的極限為 、 的最高次項的系數(shù)之比；當(dāng)k<l時，f (n)的極限為零；當(dāng)k>l時，f (n)的極限為。對于當(dāng)x（或+，）時x的有理分式函數(shù) 的極限，也有類似的結(jié)果。例3. A. 0 B. 1 C. D.n解 利用重要極限   ，故應(yīng)選C。注：第一重要極限 的本質(zhì)是 ，這里的 可以想象為一個空的筐子，里面可以填入任意以零為極限的表達(dá)式（三個填入的內(nèi)容要相同）。類似地，第二重要極限 可以看作是 ，其中可以同時填入相同的任意趨于無窮大的表達(dá)式。例4. 求 解法 1 解法 2 解法 3 例

7、5. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4解：由于 ,故應(yīng)選D。例6. 解 : 注意 本題屬于“-”型，是個未定式，不能簡單地認(rèn)為它等于0或認(rèn)為是，對于此類問題一般需要將函數(shù)進(jìn)行通分，然后設(shè)法進(jìn)行化簡，進(jìn)而求出其極限值。例7. 當(dāng)x0時， 的（ ）。A. 同階無窮小量 B. 高階無窮小量 C. 低價無窮小量 D. 較低階的無窮小量   解：由于 可知 是x的同階無窮小量，所以應(yīng)選A。例8. 當(dāng) 等價的無窮小量是( )A. B. C. D. 解：由于可知 的高階無窮小量，同時 等價的無窮小量，所以選D。例9. 下列變量在給定的變化過程中是無窮大量的是( )A. B. C. D

8、. 解：由于所以應(yīng)選A.例10要使函數(shù) 在x=0處連續(xù)，f(0)應(yīng)該補充定義的數(shù)值是( )A.1/2 B.2 C.1 D.0解： 要使函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，必須有 因此要令f(0)=1.故應(yīng)選C。例11設(shè) 求k，使f(x)連續(xù)。解：由于函數(shù)f(x)在（-，0）和（0，+）兩區(qū)間內(nèi)均由初等函數(shù)表示，而且在這兩個區(qū)間內(nèi)均有定義，因此在這兩個區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。函數(shù)是否連續(xù)取決于它在x=0處是否連續(xù)。要讓f(x)在x=0處連續(xù)，必須由于 = 又由 可知 例12證明方程 在區(qū)間（1，2）內(nèi)必有一根。證：令 ，由于f（x）是初等函數(shù)，它在區(qū)間（-，+）上連續(xù)，另外f（1）=-1<1 ，f（2）=

9、13>0， f（x）在1，2上連續(xù)，故由零點存在定理知，存在 在區(qū)間（1,2）內(nèi)必有一個根.第三章 導(dǎo)數(shù)和微分  例1：討論函數(shù)例2： 例3：分段函數(shù) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？為什么？例4：  例5： 例6：  例7： 例8： 例9： 例10： 例11：證明曲線xy=1 (x>0，y>0)上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是一個常數(shù). 例12： 例13： 第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 例1：下列各函數(shù)中，在區(qū)間-1，1上滿足羅爾定理所有條件的是( )例2： 例3： 例4： 例5： 例6：下列極限中能用羅必達(dá)法則的有( ) 例7： 例8：

10、列表即(-,-2)及(0,+)為遞增區(qū)間，（-2，-1）及（-1，0）為遞減區(qū)間；當(dāng)x=-2時取極大值f(-2)=-4，當(dāng)x=0時取極小值f(0)=0例9：討論曲線 y=x4-2x3+1的凹向與拐點解：y=4x3-6x2 y=12x2-12x=12x(x-1) 當(dāng)x=0,x=1時 y=0x=0與x=1把定義域（-，+）分成三個區(qū)間，列表即(-,0)及(1,+)上凹；（0，1）下凹，兩個拐點（0，1）和（1，0） 例10： 例11： 例12： 例13：某種商品需求函數(shù)為 ，求當(dāng)P=4時的需求彈性。例14： 第五章 積 分  例1：若h(x)是g(x)的一個原函數(shù)，則下列表達(dá)式中正確的一

11、個是（ ）。 解：因為各備選答案中的右端均含有積分常數(shù)C，故只須驗證各備選答案中右端的導(dǎo)數(shù)是否等于其左端積分的被積函數(shù)。事實上，由于g(x)未必可導(dǎo)，故可知（A）、（D）不正確；由題意h(x)是g(x)的一個原函數(shù)，即h'(x)=g(x)，故（B）正確而（C）不正確，因此，應(yīng)選（B）。例2： 例3： 例4： 例5： 例6： 例7： 例8： 例9： 例10： 例11： (圖8-1) 例12： 例13： 例14： 例15： 例16： 例17： 例18： 例19： 例20： 例21： 例22： 試判斷下列廣義積分的斂散性。 例23： 試判斷下列廣義積分的斂散性。 例24： 例25： 例26：

12、 例27： 例28： 第六章 無窮級數(shù) 例1： 例2： 例3： 例4： 例5： 例6： 根據(jù)極限形式的比較審斂法，可知（B）中級數(shù)是收斂的； 例7：  例8： 第一步，根據(jù)級數(shù)收斂必要性粗略觀察是否有 若有,則得出級數(shù)發(fā)散結(jié)論，否則進(jìn)行下一步。例9：判斷交錯級數(shù) 的斂散性，若收斂 ，指出是條件收斂還是絕對收斂。 例10： 例11： 例12： 例13： 例14： 第七章 多元函數(shù)微積分 例1下列平面方程中，過點（1，1，-1）的方程是（ ） （A） x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0解：判斷一個點是否在平面上，只需將點的坐標(biāo)代入，看看是否滿

13、足相應(yīng)的平面方程即可。易見應(yīng)選（B）。例2指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1； （2）x-2y=0； （3）x-2y+3z=0； （4）z-5=0.解：設(shè)平面方程為  Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系數(shù)為B=0，故該平面平行于oy軸（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系數(shù)C=0且D=0，故平面過oz軸； （3）方程中常數(shù)D=0，故該平面過原點； （4）方程中x的系數(shù)A=0 且y的系數(shù)B=0，故該平面垂直于oz軸（平行于xoy平面）。 例3求過點（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。解：平行于yoz平面即垂直于ox軸，故可設(shè)所求平面方程為Ax+D=0，將已知點（

14、3，2，1）的坐標(biāo)代入上式，得D=-3A，從而所求方程為x-3=0。注意：在求平面方程時，Ax+By+Cz+D=0中的四個待定常數(shù)不是完全獨立的，計算時可用其中的一個表示其余的三個，然后通過化簡得出所求結(jié)果。例4求點M（2，-3，1）分別關(guān)于xOy平面、Oy軸和原點的對稱點。解：點M關(guān)于xOy平面的對稱點是第三個分量變號，即（2，-3，-1），關(guān)于Oy軸的對稱點是第一，第三分量變號，即（-2，-3，-1），關(guān)于原點的對稱點是三個分量都變號即（-2，3，-1）。例5求平面3x+2y-z-6=0分別在三條坐標(biāo)軸上的截距。解：將平面方程化為截距式方程，得   因此該平面在Ox軸、Oy軸和O

15、z軸上的截距依次為2、3、和-6。例6求球面 的球心坐標(biāo)和半徑。解：對方程進(jìn)行配方，化為一般形式的球面方程從而球心坐標(biāo)為（3，-1，0），半徑為 。例7下列方程在空間直角坐標(biāo)系中，表示施轉(zhuǎn)拋物面的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 解： 只能x=y=z=0，它表示空間直角坐標(biāo)系中的原點。是一次方程，D=0表示過原點的一個平面。即 表示繞z軸旋轉(zhuǎn)張口朝z軸負(fù)方向的旋轉(zhuǎn)拋物面。表示雙曲拋物面（馬鞍面）故應(yīng)選（C）例8函數(shù) 的定義域是（ ）。（A） （B） （C） （D） 解:由函數(shù)的表達(dá)式知函數(shù)的定義域為 即 ，故應(yīng)選（C）。例9設(shè) （A） （B） （C） （D） 解：由題設(shè),故應(yīng)選（A

16、）。例10設(shè) 在點 處偏導(dǎo)數(shù)存在，則（A） （B） （C） （D） 解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，有 故應(yīng)選（C）。例11設(shè) 證明 證明： 于是 左 注意，本例還可以利用二元函數(shù)隱函數(shù)來解偏導(dǎo)數(shù)：   兩邊取對數(shù)代入左端即可得結(jié)論。例12設(shè) 其中f為可微函數(shù)，則 (A) (B) (C) (D) 故應(yīng)選（D）。例13設(shè) 因此， 例14設(shè) 例15設(shè)z=z(x,y)是由方程 確定的函數(shù)，求 注意：在求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，其結(jié)果中可以有變量度z的出現(xiàn)，結(jié)果表達(dá)式也常常不是惟一的，如本例用 代入兩個偏導(dǎo)還可以表示成   例16設(shè) （A） （B） （C） （D） 解1：變量之間的關(guān)系圖為故應(yīng)選（

17、A）注意：這里解法2經(jīng)過代入后變成了一個一元函數(shù)求導(dǎo)問題，簡潔明了。例17      證明：設(shè) 變量之間的關(guān)系為例18求函數(shù) 的極值。解：函數(shù) 的定義域為 全平面 ， 得駐點 例19某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單位分別為10萬元和9萬元，若生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本 ，又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤時兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？例20計算二重積分 解：作積分區(qū)域D的草圖，如圖7-1 (圖7-1)例21. 求 解：作積分區(qū)域D的草圖，如圖7-2(圖7-2)例22. 計算二重積分 解： 積分區(qū)域D是一個圓環(huán):內(nèi)半徑為 用極坐標(biāo)

18、系計算。注意：當(dāng)積分區(qū)域是圓及其部分，被積函數(shù)又比較容易化成極坐標(biāo)時，應(yīng)考慮使用在極坐標(biāo)系之下積分。本例關(guān)于 和關(guān)于r的積分上下限均是常數(shù)，同時被積函數(shù)可以分離，這時二重積分可化成兩個定積分的乘積。例23. 計算 其中 解法1： 即圓心在（0,a）半徑為a的圓。又 ,因此是右半半圓（如圖7-3）。(圖7-3)用極坐標(biāo)系計算。解法2：用直角坐標(biāo)系計算，先對x后對y積分右半圓的方程為 第八章 微分方程初步 例1微分方程 的階是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解：由于微分方程的階是指微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，這里最高是y"因此，所給方程是二階微分方程，故應(yīng)選（B）例

19、2方程 滿足初始條件 的特解是 ( )A. B. C. D. 解：四個選擇支中，滿足 的是（A）（B）和（C），因此可將（D）排除在外。對（A） 代入原方程，等號不成立，對（B） 代入原方程，等號成立，即 是原方程滿足 的特解。故應(yīng)選（B）例3已知微分方程 。（1）驗證 （C為任意常數(shù)）是該方程的通解；（2）求出方程滿足初始條件 的特解。解：（1）由于 ，所以 ，將兩式代入原方程，得，兩端恒等，根據(jù)微分方程解的定義知 為原方程的解。又由于原方程是一階微分方程， 中含有一個任意常數(shù)C，故 是原方程的通解。（2）將 代入通解，得C=2，因而 是原方程滿足初始條件 的特解。例4求 滿足初始條件y（0

20、）=0的特解。解：易見，所給方程為可分離變量的方程，分離變量后得 兩端積分得記 ，注意到 也是方程的解，令C為任意常數(shù)，則所給方程的通解為。由初始條件y（0）=0，代入通解中得C=1，于是所求特解為 。注意 為了運算方便，可將兩端積分后方程式中的ln|y+1|寫成ln(y+1)，只要記住最后得到的任意常數(shù)可正可負(fù)即可。另外，也可以將式中的任意常數(shù) 寫為lnC，最終C是任意常數(shù)。例5求微分方程 的通解。解：原方程可改寫成 它是一個齊次方程。令 即y=xu，從而 代入原方程得 整理得可分離變量的方程 兩端積分，得ln(u+5)=lnx+lnc，即u+5=Cx，以 代入，即得 為原方程的通解。注意

21、對于齊次方程，我們是用變量代換 將其變換為可分離變量的方程然后求解的。例6求微分方程 的通解。解法1：將原方程變形，得 為一階線性非齊次方程，用公式法求解。此處 有為所求通解。解法2：用常數(shù)變易法，方程 相應(yīng)的一階線性齊次方程為 分離變量得 兩邊積分 一階線性齊次方程通解為 用常數(shù)變易法，把C改成 設(shè)原一階線性非齊次方程的解為 那么 代入原方程積分u（x）=-cosx+c.因此，一階線性非齊次方程的通解為 .解法3：將原方程變形為 也就是 即有xy=-cosx+C，所以，原方程的通解為 . 注意：這里給出了三種解法，建議考生熟練掌握第一種解法，比較簡潔，操作性強。例7求微分方程 滿足初始條件 的特解.解：將原方程變形為 是一階線性非齊方程， ,用公式法， 因此 這是一階線性非齊方程的通解。將 代入，得c=1-e，故所求特解為 注意，這里用直接代公式的方法解方程，有興趣的考生可以參照上例，用其他兩種方法求解。例8求微分方程 滿足 的特解。解：將原方程變形為 它是一個右端不顯含x的可降階方程。令 代入原方程得 先分離變量再兩端積分，得。將初始條件 代入上式，有 .所以， ，結(jié)合條件 可得 ，先分離變量再積分，得，由 代入上式解得 。于是，原方程的特解為