高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限極限

1、1.3 極限教學(xué)目的：了解數(shù)列及函數(shù)極限的概念，會(huì)用極限的分析定義證明一些簡(jiǎn)單極限；掌握極限的性質(zhì)；了解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念及其相互關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：極限的概念；極限的性質(zhì)；無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念。教學(xué)難點(diǎn)：極限的概念；數(shù)列及函數(shù)極限的性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容：1.3.1引言例計(jì)算圓的面積。設(shè)有半徑為 r 的圓，用其內(nèi)接正n邊形的面積逼近圓面積S，如圖。R從作正六邊形開始，面積記為，然后作正十二()邊形，其面積記為,再作正二十四()邊形，其面積記為，L，正邊形，其面積記為。這個(gè)過程無(wú)限進(jìn)行下去，可以得到一個(gè)數(shù)列：且當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),正多邊形無(wú)限地逼近圓，無(wú)限地接近于一個(gè)定值，這個(gè)定值定義為圓的面積S，記為。例

2、計(jì)算由拋物線，軸和直線所圍圖形（曲邊三角形）的面積。y=x2y=x2n=4n=8圖 和時(shí)的情形將區(qū)間分成個(gè)相等的小段，則每一段的長(zhǎng)度為，分點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，然后過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，這樣曲邊三角形被分成個(gè)小窄條。每個(gè)小窄條的面積都用底寬為，高為（）的小矩形面積近似表示(圖1.3.3)。將這些小矩形的面積加起來，得到的近似值：從圖形上看，隨著的增大，越來越接近，但無(wú)論多么大，始終是的近似值。為了求的精確值，Archimedes設(shè)想讓無(wú)限地增大，面積為的多邊形越來越逼近曲邊三角形，而無(wú)限地接近于一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)確定的數(shù)就定義為曲邊三角形的面積。稱為趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為。例3 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度

3、設(shè)某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)直線為一數(shù)軸，取定一時(shí)刻為測(cè)量時(shí)間的零點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻在直線上的位置為。這樣質(zhì)點(diǎn)的位置完全由某一函數(shù)確定，設(shè)該函數(shù)為。我們已經(jīng)知道勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度經(jīng)過的路程所花的時(shí)間，但對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)的速度該公式就不再適用了。因?yàn)椴煌臅r(shí)間間隔內(nèi)會(huì)有不同的比值。那么變速直線運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)如何求呢？取從時(shí)刻到時(shí)刻這樣一個(gè)時(shí)間間隔段，在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為，比值可以看成是時(shí)間內(nèi)的平均速度。如果很小，在這段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)可以近似地看成是均勻的，因而可以用來近似代替時(shí)刻的速度。越小，近似程度越高。但不論多小，這個(gè)平均速度總是近似值，而不是精確值。為了得到精確值，令趨于0，即讓無(wú)限地接近，則無(wú)限

4、地接近時(shí)刻的速度。因此我們得到上述求的過程實(shí)質(zhì)上一方面看是研究函數(shù)隨的變化過程；另一方面看是研究函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率問題，這一問題的研究，導(dǎo)致微積分學(xué)中另一重要分支微分學(xué)的產(chǎn)生，這部分內(nèi)容將在第二章詳細(xì)討論。1.3.2 數(shù)列的極限1 數(shù)列極限的定義定義 設(shè)是一給定數(shù)列，是一實(shí)常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小)，總可以找到自然數(shù),使得對(duì)于時(shí)的一切,不等式都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于,記為或如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。 “對(duì)于時(shí)的一切,不等式都成立”表示數(shù)列中從第項(xiàng)開始所有的項(xiàng)都落在中，如圖1.3.4。xa注意（）極限定義中的和有關(guān)，但并不是的函數(shù)；（）

5、不一定找最小的；（）數(shù)列收斂與否，以及收斂數(shù)列的極限是什么，與數(shù)列前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，因此改變數(shù)列前有限項(xiàng)，不影響數(shù)列的收斂性及收斂數(shù)列的極限。例4 證明數(shù)列的極限為1。證明記，只要取，則時(shí)，即，由定義知例5 證明()。證明，（不妨設(shè)），要使，只要，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，故。因此，取，則時(shí)，有，即。由定義知.2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)(1) 極限的唯一性定理1.1 收斂數(shù)列的極限必唯一.證明 用反證法. 假設(shè)數(shù)列收斂到兩個(gè)不同的值，不妨設(shè)。因，所以對(duì)于，存在自然數(shù)N1，使當(dāng) n > N1 時(shí), 有，從而 (1.3.5)同理, 因故存在自然數(shù)N2，使當(dāng) n > N2 時(shí), 有 ，從而(1.3.6)

6、取，則時(shí)，不等式(1.3.5)和(1.3.6)同時(shí)成立，矛盾。因此,收斂數(shù)列的極限必唯一.(2) 數(shù)列的有界性如果存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列的所有項(xiàng)都滿足，則稱數(shù)列有界。定理1.2 收斂數(shù)列必有界。證明 設(shè)數(shù)列收斂到，由極限的定義，取，則當(dāng)時(shí)，有即 取，對(duì)所有的都有因此，數(shù)列有界，即收斂數(shù)列必有界。注意 定理的逆命題并不成立，即有界數(shù)列不一定收斂，例如，有界，但發(fā)散。有界，但卻發(fā)散。（3）收斂數(shù)列的保序性定理1.3設(shè)數(shù)列，均收斂，若，且，則存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，。證明因，根據(jù)極限定義，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有即又，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有即取，則當(dāng)時(shí)，因此，。注意定理1.3的逆命題不成立，但有下述結(jié)論：推論1若，存在自然數(shù)，當(dāng)

7、時(shí)，（），則。推論2 （收斂數(shù)列的保號(hào)性）若，且（或），則存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，（或）。推論3若，則存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，。（4）收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系設(shè)是一嚴(yán)格單調(diào)遞增的無(wú)窮數(shù)列，則數(shù)列稱為數(shù)列的子數(shù)列，簡(jiǎn)稱子列，顯然一個(gè)數(shù)列有無(wú)窮多個(gè)子列。在子列中，一般項(xiàng)是第項(xiàng)，而在原數(shù)列中是第項(xiàng)，。定理1.4 如果數(shù)列收斂于，則它的任何子列都收斂，且收斂于。證明設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任意子數(shù)列。由于，所以，時(shí)，有取，則當(dāng)時(shí)，于是，從而。根據(jù)定理1.4，若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂到不同的值或有一個(gè)子列發(fā)散，那么原數(shù)列一定發(fā)散。例如數(shù)列：的子列收斂于1，而子列收斂于0。因此原數(shù)列發(fā)散。定理1.5 對(duì)于數(shù)列，如果，則。有時(shí)利用這

8、個(gè)定理證明一些數(shù)列極限的存在性。更一般地，若，則。1.3.3 函數(shù)極限1自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù),當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值無(wú)限地趨于0。定義 設(shè)存在，當(dāng)時(shí)函數(shù)有定義，是一實(shí)常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小)，總可以找到,使得對(duì)于時(shí)的一切,不等式成立，那么就稱常數(shù)是函數(shù)當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)的極限。記為或注意如果是無(wú)限增大或的代數(shù)值無(wú)限變小，而絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)函數(shù)值無(wú)限地趨于定數(shù)，記為或。考察函數(shù)的函數(shù)值隨自變量變化的變化趨勢(shì)，見圖。從圖形上看，隨無(wú)限地增大，曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與直線的距離無(wú)限地變小，即隨無(wú)限增大，的值無(wú)限地趨于，因此，；隨無(wú)限地減小，但無(wú)限地增大，曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與直線的

9、距離無(wú)限地變小，即的值無(wú)限地趨于，因此，。但不存在。幾何意義：對(duì)于給定一個(gè)，作直線與，則總存在，在區(qū)間外，函數(shù)的圖形總介于直線與之間，圖1.3.8.圖1.3.8 例6證明。證明時(shí)，要使，只要，即，取，則當(dāng)時(shí)，有，即 ，因此 。2自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù)，時(shí)函數(shù)沒有定義，時(shí)，函數(shù)。從圖1.3.9看出，當(dāng)無(wú)限地趨近1但總不等于1時(shí)，曲線上的點(diǎn)無(wú)限地趨近，即函數(shù)值無(wú)限地趨近2。我們說2是函數(shù)，當(dāng)趨近于1時(shí)的極限。無(wú)限地趨近1時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于2的意思是：當(dāng)與1充分靠近，即當(dāng)充分小時(shí)，與2可以接近到任何預(yù)先要求的程度，即可以小于預(yù)先給定的任何小正數(shù)，無(wú)論它多么小。定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，（無(wú)

10、論多么?。?，（），當(dāng)時(shí)，恒有，則稱時(shí)，以為極限，記為或（）幾何意義：對(duì)于給定一個(gè)，作直線與，則總存在，當(dāng)時(shí)，的圖形總介于直線與之間，圖1.3.10。例7證明(為常數(shù)，)。證明，要使，只要即可。因此，取，當(dāng)，恒有，因此，。例8證明證明時(shí)，要使，只要即可。因此，取，當(dāng)，恒有，因此，。定義（單側(cè)極限）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，（），當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為時(shí)，的右極限，記為或（），的右極限也記為。類似地定義的左極限，記為或（），的左極限也記為。容易證明時(shí)，極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在且相等。注意，當(dāng)在點(diǎn)的左、右極限有一個(gè)不存在時(shí)，極限不存在。即使左、右極限都存在，但不相等時(shí)，也不存在。例9證明不存

11、在。證明， 左極限和右極限都存在但不相等，因此，不存在。3 函數(shù)極限的性質(zhì) 函數(shù)極限的許多性質(zhì)及證明都與數(shù)列極限的類似，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì)，統(tǒng)一掌握，并注意區(qū)別它們的不同之處。(1) 極限的唯一性定理1.6 若存在，則極限唯一.與數(shù)列極限唯一性的證明類似，請(qǐng)讀者自己完成.(2)局部有界性定理1.7 若存在，則，當(dāng)時(shí)，有界。證明 設(shè)，由極限的定義，取，則，時(shí)，有，即 取，則，因此，時(shí)，有界。(3) 局部保序性定理1.8若，且，則，時(shí)，。證明由已知，取。因，根據(jù)極限定義，時(shí)，有即又，對(duì)于，時(shí)，有即取，則時(shí)，因此。推論1若，且，時(shí)， ，則。推論2 （局部保號(hào)性）若，且（或），則，時(shí)，（或）。推論3 若，則，時(shí)，。1.3.4無(wú)窮小與無(wú)窮大1 無(wú)窮小定義自變量的某個(gè)變化過程中，極限為0的函數(shù)稱為自變量在這一變化過程中的無(wú)窮小。例如，則是時(shí)的無(wú)窮小；，故是時(shí)的無(wú)窮?。?，是時(shí)的無(wú)窮小。無(wú)窮小是自變量的某個(gè)變化過程中，極限為0的函數(shù)，0是唯一一個(gè)為常數(shù)的無(wú)窮小。由于與等價(jià)，根據(jù)無(wú)窮小的定義，給出無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系。定理1.9在自變量的同一變化過程中，的極限為的充分必要條件是，其中是無(wú)窮小。證明由極限的定義及無(wú)窮小的定義很容易得到，請(qǐng)讀者自己完成。2 無(wú)窮大定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義(或，時(shí)有定義)。如果（無(wú)論多么大），（）（或