點到直線距離公式推導(dǎo)

1、如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的思維能力思維能力是數(shù)學能力的核心而提高學生思維能力的關(guān)鍵就是逐步培養(yǎng)學生思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、廣闊性、敏捷性和批判性下面以人教社高二（上）數(shù)學教材第73節(jié)“兩條直線的位置關(guān)系”中“點到直線的距離”為例，談?wù)勅绾翁岣咚季S能力一、善于用批判的眼光來審視教材，培養(yǎng)思維的批判性和獨創(chuàng)性在引入本節(jié)教學內(nèi)容后，提出問題：在指教坐標系中，已知點的坐標和直線的方程，怎樣求點到直線的距離？生1：過點作直線的垂線，垂足為，然后先求出直線的方程，再由直線的方程與直線方程聯(lián)立，解出點的坐標，再由兩點之間的距離公式，求出線段的長，即為點到直線的距離。設(shè)點到直線的垂線段為，垂足為，由可知

2、直線的斜率為，依據(jù)點斜式可寫出直線的方程，并由與的方程求出點的坐標；由此根據(jù)兩點距離公式求出，得到點到直線的距離教材中作了這樣的解釋“這個方法雖然思路自然，但是運算較繁”，面對教材的這一解釋，在本節(jié)古今中外，凡是有杰出貢獻的科學家，他們都有一個共同的特點用辨證的、批判的眼光去觀察周圍的事物，通過自己的獨立思考，發(fā)現(xiàn)新的問題你是就此停下，按照教材去閱讀、領(lǐng)會教材給出的證明方法，還是繼續(xù)獨立地去探究，能否用上面所介紹的方法比較簡便地證明出點到直線的距離公式呢？那么就要研究上面的證法為什么運算比較繁，能否通過巧妙的變換使得運算變得簡單呢？通過研究不難發(fā)現(xiàn)，上面的證法之所以比較繁，是由于要通過解方程組

3、求出交點的坐標，然后再代入到兩點間的距離公式進行計算，且這兩個步驟運算都比較繁，要簡化運算，就要嘗試去避開這些較為復(fù)雜的運算于是，只要圍繞證明的目標，利用整體思想，直接構(gòu)造以為元的方程，這一證法還是非常簡便的證法一：因為直線的方程為， 由 （）得 （） 把方程組（）中兩式平方相加，得， 二、領(lǐng)會教材給出的證明方法的實質(zhì)，探求其他證法，培養(yǎng)思維的深刻性、敏捷性、靈活性教材中給出的證明方法的實質(zhì)體現(xiàn)了解析幾何中常用的、重要的思想化斜為直，即將不與坐標軸平行的線段長的問題轉(zhuǎn)化成與坐標軸平行的線段（或坐標軸上的線段）長的問題在學習了教材的證明方法后，為了加深對這一思想方法的理解，你也可以利用這一思想方

4、法，探求其它證明點到直線的距離公式的方法圖1證法二：如圖1，過作直線，設(shè)直線和分別交軸于點、，過M作直線于點，則就等于點P到直線的距離，記為設(shè)直線的方程為，由于點在直線上， 直線：令，得；在直線：中，令，得設(shè)直線的傾斜角為，則，且，說明：在證法二中，先將點到直線距離轉(zhuǎn)化成過點的且與平行的直線與的距離，并通過特殊位置軸上的線段的長，利用三角函數(shù)解決了問題，體現(xiàn)化斜為直的思想當然，也可以對證法二進行適當?shù)淖兓瘉碜C明點到直線的距離公式，由興趣的讀者不妨去試一試三、從其它角度入手，探求證明方法，以培養(yǎng)思維的廣闊性在解決數(shù)學問題時，要善于多角度去思考問題，這樣，不僅可能會有意想不到的收獲，而且，對培養(yǎng)同

5、學們的思維的廣闊性、解題的綜合能力也是非常有益的圖2證法三：如圖2，過點P作PQ垂直于直線于點Q，設(shè)點Q的坐標為，則由于向量是直線的一個法向量（直線的法向量是指與直線垂直的向量，詳見教材閱讀材料“直線與向量”），則向量與的夾角為或由向量的數(shù)量積得，即，又因為點在直線上，所以，所以點P到直線的距離為說明：證法三通過構(gòu)造向量的數(shù)量積輕松地證明了點到直線的距離公式，也體現(xiàn)了向量這一內(nèi)容的基礎(chǔ)性和工具性的地位上面以點到直線的距離公式的證明為例，談了提高思維能力的方法，在今后學習新知識以及解題過程中，要積極思考、勇于探索，養(yǎng)成良好的思維習慣和思維品質(zhì)，以逐步提高自己的思維能力向量與點到直線的距離公式的證

6、明點到直線距離公式是解析幾何中的一個很重要的的公式，應(yīng)用它可使很多求解面積問題得以簡化，因此很多老師和學生更多的是重視它的應(yīng)用，而對于公式本身的證明卻未引起足夠的重視，盡管教材中有“請研究一下如何用其他方法推導(dǎo)點到直線的距離公式?！碧崾菊Z，但依然不能引起廣大師生的足夠重視，筆者以為：運用教材中知識推導(dǎo)課本上的基本公式，本身就是在做一道很典型的例題。因為對于一個公式的推導(dǎo)比運用這個公式來解決一些問題對我們的思維來講更具有價值。對于點到直線距離公式的推導(dǎo)，課本上是通過構(gòu)造直角三角形利用三角形面積公式推導(dǎo)，這種證明方法的優(yōu)點是容易想到，但在構(gòu)造直角三角形需對直線的斜率進行討論，下面筆者就把自己用平面

7、向量知識推導(dǎo)點到直線距離公式的方法介紹給各位同仁，并列舉幾種其他的推導(dǎo)方法，供各位同仁參考。求證：點的距離為：.1 由向量方法推導(dǎo)點到直線的距離公式證明：由直線方程：，可得直線方向量為n=(A,B)，設(shè)過點作直線垂線，垂足為，則向量n，即，所以且又因為點在直線l上，所以就有：，又因為A,B不同時為0，即：.這樣處理，既避開了分類討論，又體現(xiàn)了平面向量的工具性。當然，解析幾何作為一個內(nèi)涵豐富的數(shù)學分支，它和其它數(shù)學知識也會有密切的聯(lián)系，下面筆者列舉另外幾種推導(dǎo)方法：2 用習題結(jié)論巧推點到直線距離公式老教材代數(shù)課本（人教版，下冊.必修）第15頁習題十五第6題：已知：，當即.上式實為柯西不等式的最簡形式，很容易證明.故略去。下面給出點到直線的距離公式的最簡推導(dǎo)。已知則點到直線的距離即為點P到直線l上任意點所連結(jié)的線段中的最短線段.設(shè)直線l上任意一點，點P到直線l的距離為，則：，時等號成立。3 用直線的參數(shù)方程推導(dǎo)點到直線距離公式證明：當時易驗證公式成立，下證時的情形：（1）B>0時,過點P作直線L的垂線，垂足為H，則直線PH的標準參數(shù)方程為：OxyPP將直線PH的參數(shù)方程代入直線L的方程得：，解之得點H對應(yīng)的參數(shù)（2）當時，直線PH的標準參數(shù)方程為：可得，MNPadb圖14 構(gòu)造引理推導(dǎo)點到直線距離公式引理：如圖