利用構造思想解一元二次方程競賽專題(無答案)

1、利用構造思想解一元二次方程競賽專題（無答案）A、5B、7C、9D、112 / 10利用構造思想解一元二次方程競賽題構造一元二次方程解題是數學解題技巧之一，運用這一方法解題能化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果，現(xiàn) 結合全國各類數學競賽，予以說明。一、利用方程根的定義構造一元二次方程22當題設條件具備axi+bxi+c=0和ax2+bx2+c = 0（a¥0,xi=x2）時，則可利用方程根的定義，構造以x1，x22為根的一元二次方程 ax +bx+c = °來解題。22a b例 1、已知 a、b滿足 a -2a 1=0, b -2b 1=0,則+= b a練習1:已知

2、71;2 +a 1=0, B2+P -1 =0,則"+"十P的值為（）A、2B、-2C、-1D、0練習2：已知a #b,2bf"1, b 一3b=1,試求”a2的值。（全國初中數學聯(lián)賽）b一一 2練習3:設a +1 =3a,21b +1 =3b,且a #b則代數式 a利用構造思想解一元二次方程競賽專題(無答案)5 / 10練習6：如果a, b都是質數，且練習7：若實數a, b滿足等式:22b 1a -1 .練習4：若實數a、b滿足a 8a+5=0, b 8b+5=0,則代數式 一；十=二的值為（）a -1 b -1A、-20Bk 2C 2 或-20D、2 或 20

3、22b a練習5：若a,b為實數，且a +3a+1=0, b +3b+1=0,求5+的值。22b aa 13a+m=0 b 13b + m = 0 求一十一的值。a b22b aa =73a, b =73b,則代數式一十一的值為（ a b23232323A、B、7C、2 或 一了D、2 或22a例 2、若 ab，1,且有5a +2001a+9=0及9b +2001"5 = 0,則 b 的值是()A、520012001C、- 5 D - 9（全國初中數學聯(lián)賽）2 c22 c上 八練習1：已知p 2p5=0, 5q +2p1=0,其中p、q為實數，求的值。練習22:設實數S, t分別滿足

4、19s+99s+1=0,t2+99t+19 = 0,并且st#1 ,st 4s 1求1的值。1n為實數,則m：:22練習 3：已知 3m 2m5=0, 5n +2n -3=0,其中 m、練習 4 ：已知實數 a#b,且滿足(a + 1f = 3 33(+ 1) 3(b+1) = 33(b+1)2 ,則 b +a 的值為 。（全國初中數學聯(lián)賽）利用構造思想解兀二次方程競賽專題（無答案）7 / 10練習5:A、7、v -42。已知數學x、y滿足工=3 x x11342c 44y +y =3 ,則r + y的值為（x練習6:練習7:A、35B、7 ,132D、（全國初中數學聯(lián)賽）已知已知B、362a

5、 -1=0 ，b4 -2b2-1=0,.2. 2.ab b - 1. 2003） 的值。_ 22_+3a =b -3b =1,C、-35D、-366, 3.a b 1則3的值（b利用構造思想解一元二次方程競賽專題(無答案)二、利用韋達定理的逆定理構造一元二次方程2當題設條件具備 Xi+X2=p, X1X2 =q，則可利用韋達定理逆定理構造一元二次方程x -px + q=0來解題，即2X、x2可看作方程x PX+q=O的兩實根。一22 ，一22例 1：已知 X、y 是正整數，并且 Xy +x +y =23, x y +Xy =120 ,則 x + y =2222練習1：已知x和y是正整數，并且滿

6、足條件xy + x + y=71, xy + xy =880,求x + y的值。(x2 3x)(x y) =40例2:(初中數學競賽)解方程組« 2x 4x y =14x xy y = 111x y = 2練習1：解方程組x2y+xy2=30 練習2：解方程組(x + 2)(y + 3)=12x y =2練習3:方程組22 實數解的組數是 xy-z =1a2 - bc -8a 7=0例3：（數學競賽）設實數 a, b, c滿足 2 2求a的取值范圍。b2 c2 bc-6a 6 = 0222練習1：若實數a, b , c滿足a bc6a+3=0和b +c+bc 2a 1 = 0 ,求a

7、的取范圍。練習2：已知實數a、b滿足a2+ab+b2 =1,且t=aba2b2,求t的取值范圍。（ti杯全國初中數學競賽）.,22_2, 八 ,練習3：（湖南省初中數學競賽）如果 a、b、c為互不相等的實數，且滿足關系式b +c =2a +16a + 14與,2bc = a 4a 5 ,那么a的取值范圍是 22“432 234練習：4：（初中數學競賽）已知x, y均為實數，且滿足xy+x + y=17 ,x y + xy =66,求x改yXy x+y + 的值。三、利用主元法構造一元二次方程對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關于某個字母的一元二次方程成功的構造是建立在敏銳的觀察、恰當的變

8、形、廣泛的聯(lián)想的基礎之上的；成功的構造能收到明快簡捷、出奇制勝 的效果。22例1：（安徽省初中數學競賽）求方程 x +xy+y 3x3丫+3 = 0的實數解。2 222練習1：（江蘇省初中數學競賽）求方程 x y +9x +y -12xy = 9的非負整數解。例2：已知實數a、b、c滿足a+b+c = 2, abc=4,（1）求a、b、c最大者的最小值；（2）求同+|b +|c的最小值。練習1：（全國初中數學聯(lián)賽）已知實數a、b、c均為實數，且滿足 a + b + c = 0, abc=2,求a + b + c的最小值。四、利用一次式平方構造一元二次方程整體代值當題目給出形如-b 二、b2 -

9、4acx二一2a 一的式子時,可以考慮構造一元二次方程2ax +bx + c = 0去解題，此種方法在求代數式值中有廣泛的應用。例 1 ：若 x =-，,則 Jx3 +4x2 +x+9 ; 2 ；3.5-3練習1：設x = 2，則代數式x(x+1)(x+2)(x+3)的值為12 / 10練習2：(全國初中數學聯(lián)賽)當11994x -2 時，32001(4x -1997x-1994)的值為(。2001。2001A、1B、-1C、2D、-2例2：設a = J7 -1,則代數式3a3 +12a2 6a -12的值為2.l3-2x -4x練習1 ：已知x = V3 -1 ,那么 2x 2x 1五、利用換元法構造一元二次方程解題例