第十四章 壓桿穩(wěn)定

1、第十四章 壓桿穩(wěn)定一、學(xué)時(shí)分配：共4學(xué)時(shí)二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)內(nèi)容：兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力，桿端約束的影響，壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)，臨界應(yīng)力歐拉公式的適用范圍臨界應(yīng)力總圖、直線型經(jīng)驗(yàn)公式，使用安全系數(shù)法進(jìn)行壓桿穩(wěn)定校核。難點(diǎn)內(nèi)容：穩(wěn)定平衡、臨界載荷的概念；兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力的推導(dǎo)過(guò)程；使用安全系數(shù)法進(jìn)行壓桿穩(wěn)定校核的計(jì)算步驟。（1） 計(jì)算壓桿的柔度（2） 比較與的大小，選擇臨界應(yīng)力（載荷）的計(jì)算公式（3） 計(jì)算壓桿的工作應(yīng)力（載荷），利用進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算重點(diǎn)和難點(diǎn)處理：通過(guò)工程實(shí)例和實(shí)驗(yàn)理解穩(wěn)定平衡的概念。結(jié)合彎曲變形撓曲線的推導(dǎo)過(guò)程理解兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力。在用安全系數(shù)法進(jìn)行壓桿穩(wěn)

2、定校核時(shí)，對(duì)計(jì)算步驟的每一步都反復(fù)強(qiáng)調(diào)，特別是壓桿的柔度的計(jì)算和范圍判斷。三、主要內(nèi)容：1 穩(wěn)定平衡的概念若處于平衡的構(gòu)件，當(dāng)受到一微小的干擾力后，構(gòu)件偏離原平衡位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為穩(wěn)定平衡。由穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡的壓力 的臨界值稱為臨界壓力（或臨界力），用表示。2 細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的歐拉公式兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力選取如圖所示坐標(biāo)系。距原點(diǎn)為的任意截面的撓度為，彎矩的絕對(duì)值為。若壓力取絕對(duì)值，則為正時(shí)，為正。即與的符號(hào)相反，于是有將其代入彈性撓曲線近似微分方程，則得令 則有該微分方程的通解為式中、積分常數(shù)，可由邊界條件確定壓桿為球鉸支座提供的邊界

3、條件為時(shí)， 時(shí)，將其代入通解式，可解得上式中，若，則，即壓桿各處撓度均為零，桿仍然保持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的前提相矛盾。因此，只有滿足上式的值為則有于是，壓力為上式表明，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力，在理論上是多值的。實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲壓力才是臨界壓力。若取，則，表明桿件上未受壓力已失穩(wěn)，故。因此，只有取才有實(shí)際意義，于是可得臨界壓力為 （14-1）上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力表達(dá)式。此式是由瑞士科學(xué)家歐拉（L. Euler）于1744年提出的，故也稱為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉公式。當(dāng)桿端約束不同時(shí)，顯然其臨界壓力也不同這是歐拉公式的普遍形式。式中稱為長(zhǎng)度系數(shù)（亦稱約

4、束影響系數(shù)），它表示桿端約束對(duì)臨界壓力影響，隨桿端約束而異。表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支壓桿時(shí)的長(zhǎng)度，稱為相當(dāng)長(zhǎng)度。3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來(lái)的，而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ)上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，歐拉公式才能成立，故有 柔度大于或等于權(quán)限柔度的壓桿稱為大柔度桿，也即前面提到的細(xì)長(zhǎng)桿。臨界應(yīng)力超過(guò)比例極限的壓桿穩(wěn)定問(wèn)題，屬于非線彈性失穩(wěn)問(wèn)題。對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，也有一些理論分析結(jié)果。但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式。常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。 直線公式 如果壓桿的柔度很小

5、，即屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力達(dá)到材料的屈服極限（或強(qiáng)度極限）時(shí)，壓桿由于強(qiáng)度不夠而失效，不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對(duì)于這種情況，應(yīng)按強(qiáng)度問(wèn)題處理，其臨界應(yīng)力應(yīng)力屈服極限（或強(qiáng)度極限），即 （或） 臨界應(yīng)力總圖（1），為大柔度壓桿； （2），為中柔度壓桿； （3），為小柔度壓桿4壓桿的穩(wěn)定計(jì)算安全系數(shù)法例2如圖 所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的連桿（正視圖和俯視圖）。已知連桿材料為，連桿承受軸向壓力，穩(wěn)定安全系數(shù)，試校核連桿的穩(wěn)定性。 解：柔度計(jì)算 由于連桿在不同的平面內(nèi)支承（約束）條件不相同，因此必須計(jì)算兩個(gè)方向的柔度。 如果連桿在平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為鉸支座，長(zhǎng)度系數(shù)。此時(shí)中性軸為軸，慣性半徑為柔度為 如果連桿在平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為固定端，長(zhǎng)度系數(shù)。此時(shí)中性軸為軸，慣性半徑為柔度為 由于，故壓桿在平面內(nèi)的穩(wěn)定性大于在平面內(nèi)的穩(wěn)定性。所以應(yīng)以計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力。 臨界壓力計(jì)算 對(duì)于鋼制成的壓桿，其極限柔度，?？梢?jiàn)，壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力查表14-2得，代入上式有臨界壓力為 穩(wěn)定校核 由式（14-15），有故滿足穩(wěn)定條件。 討論 由于，連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性不相等。欲使連桿在和兩平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。則必須有，即于是有本例中，由于與大致相等，因此上式表明，欲使連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等，在設(shè)計(jì)截面時(shí)，應(yīng)保持。這一