離散沃爾什變換(DWT

1、2. 3 離散沃爾什變換(DWT ,Discrete Walsh Transform 由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正弦、余弦函數(shù)組成,運算速度受影響。在特定問題中,往往引進不同的變換方法,以求運算簡單且變換核矩陣產(chǎn)生方便。Walsh Transform 中的變換矩陣簡單(只有1和-1,占用存儲空間少,產(chǎn)生容易,有快速算法,在需要實時處理大量數(shù)據(jù)的圖像處理問題中,應(yīng)用廣泛。2.3.1 One-D Walsh Transform 4假如,則離散2n N =( (0,1,2,1f x x N = 的Walsh T1,2,1,0 1(1(1,2,1,0 1(1(10(10(1111=N x u

2、W Nx f N u x f Nu W N u u b x b N x u b x b n i i n i n i i n i 其變換核:1 101(1(1 (,(,(1 (1n i n i i i n i b x b u n b x b u i g x u h x u = 其中 :z 的二進制數(shù)的第i +1位的值(即0或1。(i b z 例如,N =2n =8時的變換核和反變換核用矩陣形式表示為 (81 1 1 1 1 1 1 11 1 1 111 11111u=0 1 2 3 4 5 6 7 x=11 11 11 11111 1 11111121111113G=4511 1 11 11 1

3、1 1 111 11111111176例、G中元素(-1。對應(yīng)x=1, u=4, n=3, 考慮x=1=(0001二進制,u=4=(0100二進制,而11(ni n iib x b u=b(1 b2(4+b1(1 b1(4+ b2(1 b0(4=1*1+0*0+0*0=1(11(-11ni n iib x b u=實際上,上述的變換核函數(shù)是所謂Paley序的離散公式,還有所謂Walsh序和Hadamard序的核函數(shù)表示式,這三種序是可以互相轉(zhuǎn)換的,可參見本章參考文獻1(容觀澳書pp.87-88。2.3.2 Two-D離散Walsh變換4正反變換核相同,為 111100( (,(,(1m ni

4、m i j n ji jb x b u b y b vg x u y v h x u y v+=二維Walsh變換對為1100W(,(,(,( 0,1,2, 1 0,1,2,1M Nx yu v f x y g x u y vu M v N=1100(,(,(,(0,1,2, 1 0,1,2,1M Nu vf x y W u v h x u y vx M y N=這里假定了nm NM2,2= 變換核具有可分離性質(zhì)從式可知:=111111(21211(11(1,(,(,(,(,(,(njjnjmiimvbxbubxbNMvyhuxhvyguxgvyuxhvyuxg二維離散Walsh變換可由兩次變

5、換來實現(xiàn)。 變換對的矩陣形式 1211,W fG f=2WG其中是1G MM的變換核方陣;是2G NN的變換核方陣。兩者由+1或-1組成。 WT 具有能量集中性質(zhì)例、對于均勻分布的二維圖像信號1 1 111 1 1 11 1 111111f =作Walsh Transform, 可得1 0 0 00 0 0 00 0000 000W = 這說明,假如輸入的原始圖像均勻分布,那么Walsh 變換后的數(shù)據(jù)會集中于矩陣的邊角上,可見此變換可以用于圖像信息壓縮。 快速WT 運算可采用與快速傅里葉變換類似的計算,將FFT 中的ux N j2exp 變成1即可?？焖賅alsh 變換簡寫為FWT 。關(guān)于的WT 的快速算