矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應(yīng)用

1、 收稿日期:2002-08-18作者簡介:譚軍,女,高級講師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作。矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應(yīng)用譚軍(福建經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院,福建福州350002摘要:矩陣的初等變換是線性代數(shù)中應(yīng)用十分廣泛的重要工具。文章證明了矩陣初等變換的兩個性質(zhì),以此為基礎(chǔ),歸納說明了矩陣的初等變換在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用,并給出了一些實例。關(guān)鍵詞:矩陣;初等變換;性質(zhì);應(yīng)用Abs t ract :The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear alge 2bra.The paper discusses

2、its properties and application.Key w ord :matrix ;elementary alternate ;properties ;application中圖分類號:O151121文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1007-9734(200204-0071-03矩陣的初等變換在線性代數(shù)課程中有著十分廣泛的應(yīng)用,也是該課程的基本工具之一。矩陣的初等行變換與初等列變換具有同等的地位和作用,只是在使用過程中有所區(qū)別。下面主要以初等行變換為例說明其性質(zhì)及其應(yīng)用。一、初等變換的性質(zhì)數(shù)域P 上的矩陣的初等行變換指以下三種變換:(1互換矩陣中i 、j 兩行,記為r i r j 。

3、(2以數(shù)k 0乘某一行中的所有元素,第i行乘k ,記作kr i 。(3把矩陣的第i 行元素的k 倍加到第j 行對應(yīng)元素上,記為r j +kr i 。類似地可以得到初等列變換的定義。矩陣的初等變換有一些重要性質(zhì),如初等變換不改變矩陣的秩,不改變行(列向量組的線性相關(guān)性等。下面兩個定理給出了它的另外兩個性質(zhì)。定理1第一種初等變換可以由第二、三種初等變換實施得到。證明:設(shè)A =(a ij m ×n 為數(shù)域P 上的m ×n 矩陣(i =1,2,m ;j =1,2,n 對矩陣A 施行第二、三種初等變換:A =a 11a 12a 1na s1a t1a t2a tna m1a m2a

4、mnr s -r t第20卷第4期2002年12月鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報Journal of Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management Vol 120No 14Dec 12002a11a12 (1a s1-a t1a t1a t2a tna m1a m2a mnr t+r sa11a12 (1a s1-a t1a s1a s2a sna m1a m2a mnr s-r t(-1r sa11a12 (1a t1a s1a s2a sna m1a m2a mnB上述矩陣B與矩陣A交換s、t兩行后得到的矩陣是相同的。定理證畢。定

5、理2設(shè)A=(a1,a2,a n是數(shù)域p上一個m×n矩陣,其中a i=(a1i,a2i,a miT(i=1, 2,n且k1a1+k2a2+k n a n=0若A經(jīng)過初等行變換變?yōu)榫仃嘊=(b1,b2,b n其中b i=(b1i,b2i,b miT(i=1,2,n,則有k1b1+k2b2+k n b n=0證明:由初等行變換的定義知道方程組x1a1+x2a2+x n a n=0與方程組x1b1+x2b2+x n b n=0同解。因此,若k1a1+k2a2+k n a n=0則有k1b1+k2b2+k n b n=0證畢。上述定理1說明只進(jìn)行兩種初等行變換就可以起到三種初等行變換的作用。定

6、理2說明求一個矩陣中列向量組的線性關(guān)系表達(dá)式可以通過初等行變換而得到。對于列變換的情形有類似結(jié)論。二、初等變換的應(yīng)用初等行變換常應(yīng)用于求矩陣的秩、逆矩陣、極大無關(guān)組等,下面歸納一些初等行變換在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用。11求矩陣的秩使用初等行變換把矩陣化為階梯形矩陣,階梯形矩陣中非零行行數(shù)即為矩陣的秩,在此過程中也可使用列變換或者兩種初等變換同時使用。21求可逆矩陣A的逆矩陣將n階矩陣A的右邊加入一個單位陣E,變成n×2n矩陣(AE,使用初等行變換把A化為單位陣,則E的位置變成A的逆矩陣,即(AE(EA-1值得注意的是在此過程中只能使用初等行變換。如欲使用列變換,則須把E置于A的下方變成

7、2n×n矩陣且只能使用列變換把A化為單位陣,同時E化為A的逆矩陣。31求一個向量組的極大無關(guān)組,并用該極大無關(guān)組表示其余向量例1已知向量組a1=(1,0,-1,a2=(0,0, 0,a3=(2,3,1,a4=(0,1,1,求其極大無關(guān)組并用極大無關(guān)組表示其余向量。解:把它們按列排成矩陣設(shè)A=(a T1,a T2,a T3,a T4=10200031-1011對A作初等行變換化為最簡形:A100-23001130000=(b T1,b T2,b T3,b T4B根據(jù)定理2,由于單位向量b T1,b T3是向量組b T1,b T2,b T3,b T4的極大無關(guān)組,從而a1,a3是向量組a

8、1,a2,a3,a4的極大無關(guān)組且有以下表示式: a2=0a1+0a3a4=-23a1+13a372鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報第20卷 應(yīng)該注意的是如果對A施行初等列變換,則可能得出錯誤的結(jié)果,因為列變換可能改變向量的位置,當(dāng)然這種問題可以采用標(biāo)注的辦法予以解決。41求線性方程組Ax=b的解求線性方程組Ax=b的解可以采用對增廣矩陣B=(Ab作初等行變換的方法,把矩陣B 化為階梯形矩陣,由A與B的秩是否相等來判斷它是否有解。一般說來,把A變?yōu)樾须A梯形矩陣(稱為高斯消元法的計算量要小一些,把A變?yōu)樾凶詈喰尉仃?稱為單純消元法的計算量要大一些。在此過程中只能對增廣矩陣B=(Ab作初等行變換,不能作初

9、等列變換。更進(jìn)一步可以求方程組Ax=b的基礎(chǔ)解系以及通解。51求解矩陣方程AX=B,其中A可逆構(gòu)造矩陣C=(AB,對C作初等行變換,把A變成單位陣E,則B變成矩陣A-1B,即矩陣方程AX=B的解X=A-1B。使用上述方法時也只能作初等行變換,不能作初等列變換。61求R m中的線性變換在一組基下的矩陣和T(r的坐標(biāo)例2已知R3中向量r=(1,0,-1T及R3的一個基a1=(1,0,1T,a2=(1,1,1T,a3=(1, 0,0T,R3中的線性變換T,使得T(a1=(2,0, 1T,T(a2=(0,1,1T,T(a3=(2,-1,1T,求T 在基a1,a2,a3下的矩陣和T(r在基a1,a2,a

10、3下的坐標(biāo)。解:構(gòu)造矩陣A=(a1,a2,a3,T(a1,T(a2,T(a3,r=11101011020201-11111-1對A作初等行變換,化為最簡形矩陣100 010 00110201-11-11-12從而線性變換T在基a1,a2,a3下的矩陣為10201-11-11向量T(r在基a 1,a2,a3下的坐標(biāo)為10201-11-11-102=3-21即T(r=3a1-2a2+a3根據(jù)線性變換的性質(zhì),上述方法還是從用初等行變換求逆矩陣的思想演化而來的,因此也只能使用初等行變換。71判斷兩個向量組是否等價有向量組a1,a2,a s與向量組b1,b2,b t,如欲判斷它們是否等價,可先構(gòu)造矩陣A=(a1,a2,a s;b1,b2,b t,對A作初等行變換化為行階梯形矩陣,利用行階梯形矩陣可以判斷b1,b2,b t是否可由a1,a2,a s線性表出;再構(gòu)造矩陣B=(b1,b2,b t;a1,a2,a s,使用同樣的方法判斷a1,a2,a s是否可由b1,b2,b t線性表出。根據(jù)上述結(jié)論可以判斷這兩個向量組是否等價。81求R m的子空間W1與W2的和與交的維數(shù)在R m中設(shè)W1=L(a1,a2,a s,W2=L(b1,b2,b t,欲計算W1+W2與W1W2的維數(shù)。先構(gòu)造矩陣A=(a1,a2,a s,b1,b2,b t,利用初等行變換求A中列向是組