二次根式知識點及習題

1、二次根式知識點一：二次根式的概念 形如而（儀之0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以 aaQ是或為二次根式的前提條件，如 下，+1 ,&-1（x21） 等是二次根式，而7-2 ,7等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1 .二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當 a皂0時，石有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2 .二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當a<0時，石沒有意義。知識點三：二次根式 石（儀之0）的非負性亞（儀之0）表

2、示a的算術(shù)平方根，也就是說，3之。）是一個非負數(shù)，即 無20 （儀之0）。注：因為二次根式 石（。20）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負數(shù)（儀之。）的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 幾之0（aQ）,這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術(shù) 平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若 石=Q ,則a=0,b=0 ;若 & +W - ° ,則 a=0,b=0；若石 +3' =。，則 a=0,b=0。知識點四：二次根式（J】）】的性質(zhì)（忑）'=J （。之。） 文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù)。

3、注：二次根式的性質(zhì)公式 （而）'=以（。之0）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若 理0,則”（折，如:2二（也，2一.知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或 0,則等于a本身，即4-n二狐之°）；若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值,一 JE有息義;3、化簡時，先將它化成的異同點知識點六：1,再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。1、不同點：示一個實數(shù)表示的意義是不同的， 卜表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方

4、根的平方,a的平方的算術(shù)平方根； 在中儀之0,而 中a可以是正實數(shù)，0,負實數(shù)。7都是非負數(shù)，即因而它的運算的結(jié)果是有差別的,(4a)2 = a(a>0)值(鼻)0)-40)2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即。之。時，(&)'=以；。<0時，()無意義，而而二-日 知識點七：二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有， 2、，3、Va (a>0)、，x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有， 4、V9> VaA2> V ( x+y) A2 > VxA2+2xy+yA2等(3)最終結(jié)果分母不含根號。知

5、識點八：二次根式的乘法和除法1 .積的算數(shù)平方根的性質(zhì)Vabu，a - Vb (a>0, b>0)2 .乘法法則Va - VbuVab (a>0, b>0)二次根式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。3 .除法法則Va +/=，2+b (a>0,b>0)二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算數(shù)平方根。4 .有理化根式。如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式，也稱有理化因式。知識點九：二次根式的加法和減法1同類二次根式一般地，把幾個二次

6、根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。2合并同類二次根式把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進行合并。知識點十：二次根式的混合運算1確定運算順序2靈活運用運算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化知識點十一：分母有理化分母有理化有兩種方法I.分母是單項式如：Ja/，b=VaxVb/VbxVb=Vab/b_ 4 ax J b二，ab bii.分母是多項式要利用平方差公式如 1/A/a+A/bZaA/b/(

7、 A/a+，功(,a ，功="a4b/a b如圖/a- V51 G+ G) (Z5- G)/h na-bI注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。“二次根式”經(jīng)典練習題【典型例題】.利用二次根式的雙重非負性來解題(4a之0 (a>0),即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)。)1 .下列各式中一定是二次根式的是()。A、J-3 ; B、11x ； C、Jx? +1 ; D、dx-12 .x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。1 5 x(1) Jx2；(2) (3) Ux+1+%2 x (4)1 (5)2x 1x 4.3 -x (7)若因3=衛(wèi)13 ,則x的取值范圍x

8、 1 x 12x -1(6)若Jx(x _1) = vx<x -1，則x的取值范圍是(7)注：(書寫格式(4)由5+x>0且x+4w 0得x>5且xw 4,當x> 5且x豐4時代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義)3 .若J3m 1有意義，則m能取的最小整數(shù)值是 4 .若%/20m是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 5.當x為何整數(shù)時， J10x -1 +1有最小整數(shù)值，這個最小整數(shù)值為 6 .若 2004a 7a -2005 = a,則 a -20042=7 .若 y = Jx -3 +v3 -x +4 ,貝U x + y =8.設(shè)m、n滿足nm2 -9. 9 - m2 2,則

9、Jmn =m -39 .若 m 適合關(guān)系式，3x+5y -2-m + J2x +3y m = Jx-199+ y 199-x - y ,求 m 的值.10 .若三角形的三邊 a、b、c滿足a2 4a+4+m=3=0,則第三邊c的取值范圍是 11 .方程|4x-8| 十寸x ym =0 ,當y>0時，m的取值范圍是（）A、0cm<1B、m 之2C、m <2D、m < 2J.a（ a b）二.利用二次根式的性質(zhì) Ja2 =|a|=<0（a =0）（即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值）來-a（a : 0）解題1 .已知 xx +3x2 = x Jx +3 ,則

10、（）A.x< 0B.xw 3 C . x>- 3 D. - 3< x<02.1. 知a<b,化簡二次根式 V-a3b的正確結(jié)果是（）A. aJab B . ajabC . ajab D. ay ab3 .若化簡| 1-x | - Jx2 8x+16的結(jié)果為2x-5則x的取值范圍是（）A x 為任意實數(shù) B、1<x< 4 C、x>1 D、x<44 .已知 a, b, c為三角形的三邊，則 %；（a+bc）2 +9（bc a）2 +Y（b+c a）2 =5 .當-3<x<5 時，化簡 .：x2+6x+9 + Vx210x + 25=

11、6、化簡 | x y| -Tx2（x < y < 0）的結(jié)果是（）A. y -2x B . y C.2xy D . - y7、已知：a +/ -2a +a2 =1,則a的取值范圍是（）。A、a=0； B、a=1； C、a = 0或 1 ； D、a 18、把（x -2） J二根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡結(jié)果是（）。x -2A、V2 x ; B、Jx -2 ; C、-v x -2 D、 v2 -x.二次根式的化簡與計算（ 二次根式的化簡是二次根式運算中的基本要求，其主要依據(jù)是二次根式的積商算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)：（J3） 2=a （a>0）,即Ya2=|a|。）1 .把

12、下列各式化成最簡二次根式: v1412-402(3)25m52422(4) x x y2 .下列各式中哪些是同類二次根式:3.計算：（1）6 727（73）2.18(4,24,a/3, 50(1) g12 , <2,27,卜)1 10(2) v12ab J9a-；4554 5 , a3b3c,a3b2c3(3)(6)ab4a 6b4.計算（1）21 1 , - 12. 50(1T9x3+-12 vy3)-(4xJ-1 +4y廬)x 3y4x y5.已知丫 x+ 2 + V18 x =10，則x等于（A. 4 B . ± 2 C . 26.已知 x = 72 -1, y = J2

13、 +1,的值。四.二次根式的分母有理化1已知：x2一已知：x二2 十二T一，求.3-1. 3 a 2+ 1的值。,求代數(shù)式3x25xy+3y2的值。*1 十 V2 + 72 十 73 + V4 + + <99 + <f100 4.已知 J15 +x 49 +x = -2，試求 v19 +x + J15 +x 的值。五.關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1.估算的一2的值（A.在1和2之間 B2.若J3的整數(shù)部分是,在2和3之間 C .在3和4之間 D .在4和5之間a,小數(shù)部分是b,則J3a -b =3 .已知9+ J13與9 J13的小數(shù)部分分別是 a和b,求ab 3a+4

14、b+8的值4 .若a, b為有理數(shù)，且 而+而+ J1=a+bV2 ,則ba =8六.二次根式的比較大小(2) 5城6和6，5(3) 177 -71515 -V13 (倒數(shù)法)(1) 1J200和 2/35二次根式提高測試題一、選擇題1,使 J3-x +有意義的x的取值范圍是(),x -12 . 一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a >0),則與這個自然數(shù)相鄰的兩個自然數(shù)的算術(shù)平方根為(A) a -1,a +1 (B) Ja -1, Ja +1 (C) Ja2 -1, Ja2 +1 (D) a21,a2+13 .若 x <0,則 |7x2-x 等于()(A) 0(B) -2x(C) 2x

15、 (D) 0 或 2x4 .若 a <0,b >0 ,則 J-a3b化簡得()(A) -a/-ab(B) -aTab(C) aJ-ab(D) a -、ab11 ， y25 .若Vy -=m，則的結(jié)果為()' yy(A) m2+2(B) m2 -2(C) 7mL+2(D) Vm -26 .已知a,b是實數(shù)，且 Ja2 -2ab+b2 =b-a,則a與b的大小關(guān)系是()(A) a <b (B) a>b(C) ab(D) ab7 .已知下列命題：,(2局=25 7(3-2 -3-1 =6 ； a2 +(3)2 =(a+3Xa 3)； Ja2 +b2 =a + b .其

16、中正確的有()(A) 0 個 (B) 1 個 (C) 2 個(D) 3 個89.：10.二、11.12.13.14.15.16.17.18.三、1 9.20 .21 .4m的值為（/人、20511315(A)（B）Z7（C）T（D）326882m二3化成最簡二次根式后的被開方數(shù)相同, 4當 a M1 時，化簡 J14a+4a2 + 2a 1 等于()2(A) 2(B) 2 -4a(C) a (D) 0化簡 J4x2 _4x +1 _(j2x _3 2 得()(A) 2 (B) -4x +4(C) -2(D) 4x-4填空題若2x +1的平方根是=5,則j4x+1 =時，式子已知：最簡二次根式 "a +b與a23的被開方數(shù)相同，則a + b =若x是V8的整數(shù)部分，y是78的小數(shù)部分，則x =, y =已知J2009 = Jx + Jy,且0<x<y,則滿足上式的整數(shù)對（x,y X若一1 <x <1 ,則，(x1 f +|x+1 =.若xy #0 ,