二次函數(shù)的實際問題應用講義

1、二次函數(shù)的應用【引例】 求下列二次函數(shù)的最值：（1）求函數(shù) y = x2+2x3的最值.（2）求函數(shù)y=x2+2x 3的最值.（0 <x <3）方法歸納：如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在 處取得最大值（或最 小值）.如果自變量的取值范圍是 x1 M x M x2,分兩種情況：頂點在自變量的取值范圍內時，以a > 0為例，最大值是 ；最小值是頂點不在此范圍內，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內的增減性專題一應用之利潤最值問題【例1】某種商品的進價為每件 50元，售價為每件60元，每個月可賣出 200件；如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于 7

2、2元），設每件商品的售價上漲 x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為 y元.（1）求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少時每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？變式練習：某商品的進價為每件 20元，售價為每件 30,每個月可買出180件；如果每件商品的售價每上漲 1元，則每個月就會少賣出 10件，但每件售價不能高于 35 元，設每件商品的售價上漲 x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為 x的取值范圍 為y元。(1)求y與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)每件商品的售價定為

3、多少元時，每個月的利潤恰好是1920元？解題回顧：總利潤= * ;找出價格和銷售量之間的關系， 注意結合自變量的取值求得相應的售價.【例2】某電子商投產一種新型電子產品，每件制造成本為18元，試銷過程發(fā)現(xiàn)，每月銷量 y (萬件)與銷售單價 x (元)之間關系可以近似地看作一次函數(shù)y= 2x+100.(利潤=售價一制造成本)(1)寫出每月的利潤 z (萬元)與銷售單價 x (元)之間函數(shù)解析式；(2)當銷售單價為多少元時，廠商每月能夠獲得350萬元的利潤？當銷售單價為多少元時，廠商每月能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)根據(jù)相關部門規(guī)定，這種電子產品的銷售單價不得高于32元.如果廠商要獲得每

4、月不低于 350萬元的利潤，那么制造這種產品每月的最低制造成本需要多少萬元？解題回顧：先利用 成本不高于多少，利潤不低于多少 ”等條件求得自變量的,然后根據(jù)函數(shù)性質并結合函數(shù)圖象求最值.【例3】某科技開發(fā)公司研制出一種新型產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元.在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型 產品，公司決定商家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售;若一次購買該種產品超過 10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單 價均降低10元，但銷售單價均不低于 2600元.(1)商家一次購買這種產品多少件時，銷售單價恰好為2600元？(2)設商

5、家一次購買這種產品 x件，開發(fā)公司所獲的利潤為 y元，求y(元)與 x(件)之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍.(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當商家一次購買產品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少 元？(其它銷售條件不變)解題回顧：分段函數(shù)求最值時，要根據(jù)各段函數(shù)自變量的 求 相應的最值。專題二 應用之面積最值問題【例4】把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨?，折成一個長方形盒子(紙板的厚度忽略不計)。(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小

6、的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子。要使折成的長方形盒子的底面積為484cm2,那么剪掉的正方形的邊長為多少？折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由。(2)若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上)，將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為 550cm2,求此時長方形盒子的長、寬、高(只需求出符合 要求的一種情況)。變式練習：如圖，在邊長為24cm的正方形紙片 ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形

7、狀的包裝盒(A. B. C. D四個頂點正好重合于上底面上一點).已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x (cm).(1)若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V;(2)某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大，試問x應取何值？專題三實際應用問題例5如圖，排球運動員站在點 O處練習發(fā)球，將球從 。點正上方2 m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度 y (m)與運行的水平距離 x(m)滿足關系式 y=a(x-6)2+h.已知球網與。點的水平距離為 9m,高度為2.43m,球場的邊界距 O 點的水平距離為18m。(1)當h=2.6時，

8、求y與x的關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當h=2.6時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由；例圖上，跨度AB=5 cm,拱高OC=0.9 cm,線段DE表示大橋拱內橋長，DE / AB,如圖(1).在比例圖上，以直線 AB為x軸，拋物線的對稱軸為 y軸，以1 cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖(2).(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出自變量的取值范圍；(2)如果DE與AB的距離OM = 0.45 cm,求盧浦大橋拱內實際橋長(備用數(shù)據(jù)：22 &1.4 ,計算結果精確到1米).變式練習：如圖，小明在一次高爾夫球爭霸賽中， 從山

9、坡下。點打出一球向球洞 A點飛 去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大水平高度12米時，球移動的水平距離為 9米.已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30°,O、A兩點相距83米.(1)求出點A的坐標及直線 OA的解析式；(2)求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；(3)判斷小明這一桿能否把高爾夫球從。點直接打入球洞 A點.DL【課后測試】（1、（青羊區(qū)26）近年來，我市為了增強市民環(huán)保意識，政府決定對購買太陽能熱 水器的市民實行政府補貼。規(guī)定每購買一臺熱水器，政府補貼若干元，經調 查某商場銷售太陽能熱水器臺數(shù)y （臺）與每臺補貼款額 x （元）之間大致滿足如圖所示的

10、一次函數(shù)關系.隨著補貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增力口，但每臺彩電的收益 Z （元）會相應降低，且 Z與x之間也大致滿足如圖（1）在政府未出臺補貼措施前，該商場銷售太陽能熱水器的總收益額為多少元？（2）在政府補貼政策實施后，分別求出該商場銷售太陽能熱水器臺數(shù)y和每臺太陽能熱水器的收益z與政府補貼款額x之間的函數(shù)關系式；（3）要使該商場銷售太陽能熱水器的總收益w （元）最大，政府應將每臺補貼款額x定為多少并求出總收益 w的最大值.2、某地區(qū)準備籌辦特色小商品展銷會，芙蓉工藝廠設計一款成本為 10元/件的工藝品投放市場進行試銷。經過調查，得到如下數(shù)據(jù)：徜售單脩（元/件） W 2IJ304050的

11、1 V V每天稍售里牛） 看50J400300200100(1)已知y與x之間是一次函數(shù)關系，求出此函數(shù)關系式；(2)當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大 利潤是多少？(利潤=銷售總價-成本總價)3、政府大力支持大學生創(chuàng)業(yè)。大學畢業(yè)生小明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件30元的學生臺燈。銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看作一次函數(shù)：y =-10 x+700.(1)小明每月獲得的利潤為 w(元)，試問當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(2)如果小明想要每月獲得 3000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？4、某汽車租賃公司擁有 20輛同類汽車.據(jù)統(tǒng)計，當每輛車的日租金為 400元時, 可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元