剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、1本章題頭2本章內(nèi)容3第一節(jié)4剛體5本章只討論密度分布均勻、有規(guī)則幾何本章只討論密度分布均勻、有規(guī)則幾何形狀的剛體，其質(zhì)量中心與幾何中心重合，形狀的剛體，其質(zhì)量中心與幾何中心重合，即為該剛體的質(zhì)心。即為該剛體的質(zhì)心。勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直桿勻質(zhì)細(xì)直桿6平動(dòng) 故：故： 剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)即可表示剛體的平動(dòng)，剛體平動(dòng)還原成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)即可表示剛體的平動(dòng)，剛體平動(dòng)還原成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。7 剛體各點(diǎn)都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）剛體各點(diǎn)都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。作圓周運(yùn)動(dòng)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。最簡單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置最簡單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱稱為為 剛體

2、的剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在同一時(shí)間內(nèi)，各點(diǎn)對(duì)軸的在同一時(shí)間內(nèi)，各點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)角相等，但線速度不同。轉(zhuǎn)角相等，但線速度不同。轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律：轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律：要應(yīng)用角量來描述。要應(yīng)用角量來描述。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 軸軸剛剛 體體8轉(zhuǎn)動(dòng)物理量轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體參參考考方方向向1. . 角位置角位置剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程3. 角速度角速度勻角速勻角速常量常量靜止靜止變角速變角速4. 角加速度角加速度變角加速變角加速常量 勻角加速勻角加速勻角速勻角速單位單位弧度弧度(rad)弧度弧度/秒秒(rad s-1 )弧度弧度/秒秒 (rad s-2 )22. 角位移角位移 注意：注意：定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角量的矢量方向沿軸

3、線與轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋。轉(zhuǎn)動(dòng)角量的矢量方向沿軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋。9角、線量關(guān)系 注意， 這里的角量都是用弧度(rad)( rad s-1 )( rad s-2 )定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量線量與與角量角量的基本關(guān)系的基本關(guān)系10凡例的的11剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？5.2主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的是 合外力矩合外力矩轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性量度 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的 角加速度角加速度剛體的 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律12定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

4、合力矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合力矩，是轉(zhuǎn)動(dòng)平面上各力矩之和。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合力矩，是轉(zhuǎn)動(dòng)平面上各力矩之和。切向切向任何一個(gè)力作用在剛體上，只有任何一個(gè)力作用在剛體上，只有它在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的分量，才有它在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的分量，才有剛剛體產(chǎn)生力矩。體產(chǎn)生力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的某力所產(chǎn)生的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的某力所產(chǎn)生的力矩大小大小定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體只有正、反兩個(gè)轉(zhuǎn)向定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體只有正、反兩個(gè)轉(zhuǎn)向設(shè)以反時(shí)針為正，則順時(shí)針為負(fù)。設(shè)以反時(shí)針為正，則順時(shí)針為負(fù)?？捎么鷶?shù)式（標(biāo)量式）表示?？捎么鷶?shù)式（標(biāo)量式）表示。13轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)對(duì) 應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律因因 始終都以始終都以 為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)，為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)，有切

5、、法向力和切、法向加速度，有切、法向力和切、法向加速度，但法向力沿半徑指向轉(zhuǎn)軸，力矩為零。但法向力沿半徑指向轉(zhuǎn)軸，力矩為零。故故只需考慮切向力和切向加速度只需考慮切向力和切向加速度?；貞浘€角量關(guān)系受的受的合外力合外力合內(nèi)力合內(nèi)力切向切向剛體中剛體中任一任一質(zhì)元質(zhì)元的質(zhì)量的質(zhì)量等式兩邊同乘以等式兩邊同乘以質(zhì)元質(zhì)元受的合力矩受的合力矩14推導(dǎo)結(jié)果對(duì)對(duì) 應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律因因 始終都以始終都以 為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)有切、法向力和切、法向加速度有切、法向力和切、法向加速度但法向力沿半徑指向轉(zhuǎn)軸，力矩為零但法向力沿半徑指向轉(zhuǎn)軸，力矩為零故故只需考慮切向力和切向加速度只需考慮切向

6、力和切向加速度回憶線交量關(guān)系受的受的合外力合外力合內(nèi)力合內(nèi)力切向切向剛體中剛體中任一任一質(zhì)元質(zhì)元的質(zhì)量的質(zhì)量等式兩邊同乘以等式兩邊同乘以質(zhì)元質(zhì)元受的合力矩受的合力矩質(zhì)元質(zhì)元受的合力矩受的合力矩內(nèi)力矩正反成對(duì)出現(xiàn)，對(duì)對(duì)抵消內(nèi)力矩正反成對(duì)出現(xiàn)，對(duì)對(duì)抵消對(duì)剛體中的所有質(zhì)元求和對(duì)剛體中的所有質(zhì)元求和寫成寫成稱為稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律整個(gè)剛體所受的整個(gè)剛體所受的合外力矩合外力矩描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量慣性的物理量角角加加速速度度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量15意義剛剛 體體 定定 軸軸 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng) 定定 律律合合外外力力矩矩角角加加速速度度轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量剛體在合外力矩剛體在合外力矩 作用

7、下，所獲得的角加速度作用下，所獲得的角加速度與合外力矩的大小成正比，并與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與合外力矩的大小成正比，并與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。成反比。合外合外慣性慣性質(zhì)量質(zhì)量力力線加線加速度速度質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律與與對(duì)比對(duì)比可見可見轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量的物理量16轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡例釋其義簡例釋其義轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸可忽略質(zhì)量的硬桿若質(zhì)量呈連續(xù)分布若質(zhì)量呈連續(xù)分布用用不但取決于質(zhì)量不但取決于質(zhì)量更重要的是取決于更重要的是取決于質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸17平行移軸質(zhì)量質(zhì)量 長度長度 的勻的勻直細(xì)棒直細(xì)棒對(duì)質(zhì)心垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若轉(zhuǎn)軸在細(xì)桿的

8、一端若轉(zhuǎn)軸在細(xì)桿的一端質(zhì)心新軸新軸質(zhì)心軸質(zhì)心軸對(duì)對(duì)新新軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸新軸對(duì)心軸的平移量對(duì)心軸的平移量平行移軸定理平行移軸定理時(shí)時(shí)代入可得代入可得例如：例如：端18細(xì)圓環(huán)均勻細(xì)圓環(huán)對(duì)垂心軸均勻細(xì)圓環(huán)對(duì)垂心軸19薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的 取半徑為取半徑為 微寬為微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元20常用JLRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22J =m R123J =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直21凡例木木鐵鐵鐵鐵木木勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒 ，

9、 以一端為轉(zhuǎn)軸以一端為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量鐵鐵木木鐵鐵木木10木木鐵鐵木木鐵鐵10鐵鐵鐵鐵10 0鐵、木兩勻質(zhì)細(xì)直棒鐵、木兩勻質(zhì)細(xì)直棒10木木鐵鐵密度密度以一端為轉(zhuǎn)軸以一端為轉(zhuǎn)軸截面截面質(zhì)量質(zhì)量相等相等相等相等22轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題合外力矩合外力矩 與合角加速度與合角加速度 方向一致。方向一致。與與時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)則何時(shí)則何時(shí) ，何時(shí)何時(shí)則何時(shí)則何時(shí)恒定恒定恒定恒定。合外力矩合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成 。 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負(fù)。矩與此向相同則為正，反之為負(fù)。

10、單位單位力矩力矩轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量角加角加速度速度23例一Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣細(xì)繩纏繞輪緣輪軸無摩擦輪軸無摩擦輕繩不伸長輕繩不伸長輪繩不打滑輪繩不打滑靜靜止止釋釋放放輪輪繩繩m1轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)平平動(dòng)動(dòng)mRm1聯(lián)聯(lián)立立解解得得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)角角 線線 (1) (2) (3)若軸有摩擦力矩若軸有摩擦力矩 Mr 則則 (1) 變?yōu)樽優(yōu)?TR Mr = = J Mr 的測(cè)量，可通過調(diào)整的測(cè)量，可通過調(diào)整 m 1 的大小，到勻速下降的大小，到勻速下降時(shí)的時(shí)的 m 1 則則 Mr = = m 1 g R 24例三勻直細(xì)桿一端為軸勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放水平靜止釋放下擺到下擺到 處的處的力矩力矩角加速度角加速

11、度力臂力臂由由求求本題本題代入得：代入得：討論：在兩個(gè)特殊位置上的情況討論：在兩個(gè)特殊位置上的情況25續(xù)上勻直細(xì)桿一端為軸勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放水平靜止釋放下擺到下擺到 處的處的力矩力矩角加速度角加速度力臂力臂由由求求本題本題代入得：代入得：討論：在兩個(gè)特殊位置上的情況討論：在兩個(gè)特殊位置上的情況由由求求本題本題應(yīng)用前兩章學(xué)過的數(shù)學(xué)方法，還可繼續(xù)求應(yīng)用前兩章學(xué)過的數(shù)學(xué)方法，還可繼續(xù)求角速度角速度由由求求本題本題應(yīng)用前兩章學(xué)過的數(shù)學(xué)方法，還可繼續(xù)求應(yīng)用前兩章學(xué)過的數(shù)學(xué)方法，還可繼續(xù)求角速度角速度由由而而得得26例四制動(dòng)前制動(dòng)前0. 52制動(dòng)的制動(dòng)的阻力矩阻力矩0.50.6930.6930.

12、5降至降至0.5時(shí)的時(shí)的制動(dòng)過程使得制動(dòng)過程使得需時(shí)需時(shí)27小實(shí)驗(yàn)長長桿桿短短鉛鉛筆筆28續(xù)上q qq q 從小傾角從小傾角 處靜止釋放處靜止釋放兩勻兩勻直細(xì)桿直細(xì)桿地面地面短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)兩者瞬時(shí)角加速度之比兩者瞬時(shí)角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)29轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體中任一質(zhì)元?jiǎng)傮w中任一質(zhì)元 的速率的速率該質(zhì)元的動(dòng)能該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JJ得得5.330力矩的功力力 的元功的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來計(jì)算若在某變力矩若在某變力矩

13、的作用下，剛體由的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 ，作的總功為作的總功為切向切向力矩的瞬時(shí)功率力矩的瞬時(shí)功率31力矩的功算例撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小總摩擦力矩總摩擦力矩 是是各微環(huán)帶摩擦元力矩各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分的積分環(huán)帶面積環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩環(huán)帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功得得粗粗 糙糙 水水 平平 面面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤平放一圓盤32剛體的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)

14、定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量稱為稱為33動(dòng)能定理例題一勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤盤緣另盤緣另固固連連一質(zhì)點(diǎn)一質(zhì)點(diǎn)水平靜水平靜止釋放止釋放通過盤心垂直通過盤心垂直盤面的水平軸盤面的水平軸圓盤下擺圓盤下擺 時(shí)質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn) 的的角速度角速度、切向、法向加速度、切向、法向加速度的大小對(duì)對(duì)系統(tǒng)系統(tǒng)外力矩的功外力矩的功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量量其中其中得得由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得得則則34動(dòng)能定理例題二外力矩作的總功外力矩作的總功從水平擺至垂直從水平擺至垂直由由得得代入得代入得本題本題利用利用的關(guān)系的關(guān)系還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速度度水平位置靜止釋

15、放水平位置靜止釋放擺至垂直位置時(shí)桿的擺至垂直位置時(shí)桿的勻直細(xì)桿勻直細(xì)桿一端為軸一端為軸35動(dòng)能定理例題三段，外力矩作正功段，外力矩作正功段，外力矩作負(fù)功段，外力矩作負(fù)功合外力矩的功合外力矩的功從水平擺至垂直從水平擺至垂直由由得得轉(zhuǎn)軸對(duì)質(zhì)心軸的位移轉(zhuǎn)軸對(duì)質(zhì)心軸的位移 代入得代入得擺至垂直位置時(shí)桿的擺至垂直位置時(shí)桿的水平位置靜止釋放水平位置靜止釋放36勢(shì)含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題機(jī)械機(jī)械外外力力非保守內(nèi)非保守內(nèi)力矩力矩力力力矩力矩動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例左例忽略忽略摩擦摩擦外外力力力矩力矩非保守內(nèi)非保守內(nèi)力矩力矩力力則則 機(jī)械能

16、守恒機(jī)械能守恒可求可求或或此外此外平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)勢(shì)平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)勢(shì)37質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量位矢位矢慣性系中某慣性系中某給定參考點(diǎn)給定參考點(diǎn)取小于取小于的轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)向質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O 的角動(dòng)量的角動(dòng)量大小大小方向方向垂直于垂直于所決定的所決定的平面，平面， 指向指向右螺旋右螺旋 叉叉乘乘的旋進(jìn)的旋進(jìn)方向方向。5.438剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量其角動(dòng)量大小其角動(dòng)量大小全部質(zhì)元的總角動(dòng)量全部質(zhì)元的總角動(dòng)量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)

17、質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)39剛體的角動(dòng)量定理回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）（微分形式）（積分形式（積分形式）合外力矩合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（微分形式）（積分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量40剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)共軸共軸剛體或平動(dòng)物體剛體或平動(dòng)物體系統(tǒng)的總合外力矩系統(tǒng)的總合外力矩 系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量例如例如對(duì)對(duì)O 的角動(dòng)的

18、角動(dòng)量量對(duì)對(duì)O 的角動(dòng)的角動(dòng)量量系統(tǒng)：系統(tǒng)： 輕繩輕繩（忽略質(zhì)量（忽略質(zhì)量）總合外力矩總合外力矩由由得得同向同向而解得解得靜靜止止釋釋放放求角加速度求角加速度41主要公式歸納（微分形式）（微分形式）（積分形式）（積分形式）對(duì)對(duì)照照質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)線動(dòng)量線動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量42剛體的角動(dòng)量守恒定律由由剛體所受合外力矩剛體所受合外力矩若若則則即即 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 保持不變保持不變。 當(dāng)剛體所受的合外力矩當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)，等于零時(shí)，43角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象保持不變保持不變，角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變小則變大變大，乘積乘積變大則變大則變小變小。 用外力矩用外力

19、矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小收臂收臂大大小小44花樣滑冰中常見的例子保持不變保持不變，角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變小則變大變大，乘積乘積變大則變大則變小變小。 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小收臂收臂大大小小花花 樣樣 滑滑 冰冰收臂收臂大小張臂張臂大小先使自己先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來轉(zhuǎn)動(dòng)起來收臂收臂大小45共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)共軸系統(tǒng)若若外則則恒矢量恒矢量輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)輪輪人臺(tái)人臺(tái)初態(tài)初態(tài)全靜全靜初初人臺(tái)人臺(tái)人沿某一轉(zhuǎn)人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子向撥動(dòng)輪子輪輪末態(tài)末態(tài)人臺(tái)人臺(tái)輪輪輪輪末末人臺(tái)人臺(tái)人臺(tái)人臺(tái)初

20、初得人臺(tái)人臺(tái)輪輪輪輪導(dǎo)致人臺(tái)導(dǎo)致人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)反向轉(zhuǎn)動(dòng)46直升飛機(jī)防旋措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干 CH47)用 尾 漿（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）47回轉(zhuǎn)儀定向原理萬萬向向支支架架受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒回轉(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理使其以角速度使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn)其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向某方向若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向某方向Z則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響而不會(huì)受基座改向的影響基基

21、 座座回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）常量常量48守恒例題一A A、B B兩輪共軸兩輪共軸A A以以w wA A作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)作慣性轉(zhuǎn)動(dòng) 以以A A、B B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量初態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量得得兩輪嚙合后兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w wABAB49階段與系統(tǒng)問題下擺階段下擺階段球、棒、地球球、棒、地球系統(tǒng)，系統(tǒng)，含轉(zhuǎn)動(dòng)的含轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 。彈碰階段彈碰階段（鉛垂位置）（鉛垂位置）彈、棒系統(tǒng)，合外力矩為零彈、棒系統(tǒng)

22、，合外力矩為零角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 。而且而且 轉(zhuǎn)、平動(dòng)能守恒轉(zhuǎn)、平動(dòng)能守恒 。彈碰彈碰光滑光滑彈碰彈碰擊入階段擊入階段（鉛垂位置）（鉛垂位置）彈、棒系統(tǒng)，合外力矩彈、棒系統(tǒng)，合外力矩為零，為零，角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 。上擺階段上擺階段彈、棒、地球彈、棒、地球系統(tǒng)，系統(tǒng)，含轉(zhuǎn)動(dòng)的含轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 ?；蚧蜻x選彈、棒彈、棒系統(tǒng)，則用系統(tǒng)，則用含轉(zhuǎn)動(dòng)的含轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理動(dòng)能定理 。擊入摩擦大，動(dòng)能不守恒。擊入摩擦大，動(dòng)能不守恒。50守恒例題二彈嵌于彈嵌于棒棒子彈子彈上上擺擺最最大大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角木棒木棒聯(lián)立解得聯(lián)立解得以彈、棒為系統(tǒng)以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段擊入階段子彈擊入木棒瞬間子彈擊入木棒瞬間，

23、系統(tǒng)在系統(tǒng)在鉛直位置，受合鉛直位置，受合外力矩為零外力矩為零，角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒。該瞬間之始該瞬間之始該瞬間之末該瞬間之末彈彈棒棒彈彈棒棒上擺階段上擺階段彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，用用系統(tǒng)動(dòng)能定理系統(tǒng)動(dòng)能定理，其中非保守內(nèi)力的功為零，其中非保守內(nèi)力的功為零，外力（重外力（重力）的功力）的功外外上擺末動(dòng)能上擺末動(dòng)能上擺初動(dòng)能上擺初動(dòng)能其中其中51作業(yè)作業(yè)：作業(yè)：獨(dú)立認(rèn)真完成作業(yè)！獨(dú)立認(rèn)真完成作業(yè)！52速度的平方成正比，比例系數(shù)為k （k為大于的常數(shù))。求：（1）當(dāng)0/3時(shí)飛輪的角加速度 ； 5-T1 轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t時(shí)角速度為0，此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程。

24、阻力矩M的大小與角（2）從開始制動(dòng)到0/3所經(jīng)過的時(shí)間t 。Jk920w w 02w wkJ5-T2 5-T2 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M、半徑為R，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，滑輪軸光滑。試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。221MRm M RmaTmg 對(duì)對(duì)m:2/2MRJ 對(duì)滑輪：對(duì)滑輪： JTR ，牽連方程：牽連方程： Ra 解得： )2/(Mmmga atvv 00535-T3 一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量均為m、半徑均為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為m和2m的重物，如圖所示。繩與滑輪間

25、無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑。將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為m和2m的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。受力分析如圖所示： m 2m T2 2P 1P T a T1 a 解上述解上述5個(gè)聯(lián)立方程得：個(gè)聯(lián)立方程得： T11mg / 8 2mgT12ma T2mgma T1 rT r 221mr 221mrT r T2 r a rb 545-T4 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤邊上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，角速度為w 。如果人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動(dòng)能的變化。 人在盤邊時(shí)，J人=mR2 ,設(shè)人走到盤心時(shí)盤的角速度w。 w ww w JJJ)(人人w ww wJmR

26、J2 動(dòng)能變化： 2222mRJmRw ww ww w 2)(21212 JJJJEk人人555-T5 坐在轉(zhuǎn)椅上的人手握一對(duì)啞鈴。兩臂張開時(shí)，人、啞鈴和轉(zhuǎn)椅系統(tǒng)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=2 kg m-2 在外人推動(dòng)后，此系統(tǒng)開始以n1=15 r/min 轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)人的兩臂收回，使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)?J2=0.80 kg m2 時(shí)，它的轉(zhuǎn)速是多大？兩臂收回過程中，系統(tǒng)地機(jī)械能是否守恒？什么力做功？做功多少？（軸上摩擦力忽略不計(jì)）兩臂收回過程中，系統(tǒng)沿豎直軸角動(dòng)量守恒： 221122nJnJ min/5.378.02152112rJJnn 兩臂收回時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)力（臂力）做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能不守恒。臂

27、力作的功為：JJJA70. 3)60152(2)605 .372(8 . 021212122211222 w ww w565-T6 長為2a的勻質(zhì)棒AB，以鉸鏈固定在A點(diǎn)。最初，用手拉B端使棒成水平靜止。當(dāng)放開B端，棒繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí), 去掉鉸鏈，使它成自由落體。在以后的運(yùn)動(dòng)中，他的質(zhì)心沿拋弧線運(yùn)動(dòng)，而棒則繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)著。問當(dāng)它的質(zhì)心下降距離h 時(shí)，棒轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？ 棒到豎直位置時(shí)，由機(jī)械能守恒： amgJ 221w w2)2(31amJ agJmga232 w w其中：質(zhì)心下降h 所經(jīng)時(shí)間： ght2 棒繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度：q q =w w t 所以棒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為： ahtn32122 w w

28、q q 57于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。 已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為 ，如圖所示。 求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。（已知棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）5-T7 有一質(zhì)量為m1、長為l 的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直1v和2v2131lmJ O A m2 m1 ,l 1v 2v 俯視圖 對(duì)棒和滑塊系統(tǒng)，在碰撞過程中，由于碰撞時(shí)間極短，所以棒所受的摩擦力矩滑塊的沖力矩故可認(rèn)為合外力矩為零，因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，即 ： m2v1lm2v2l w2131lm 摩擦力矩為： glmxxlmgMlf10121d 由角動(dòng)量定理： w210310lmdtMtf 由、和解得： gmmt12122vv 585-T8 一均勻細(xì)棒長 L ，質(zhì)量為 m ，可繞經(jīng)過端點(diǎn)的O 軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將棒自水平位置輕輕放開，當(dāng)棒擺至豎直位置時(shí)棒端恰與一質(zhì)量也為 m的靜止物塊相碰，物塊與地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，物塊被擊后