金牌數(shù)學(xué)2015年5月25日高考導(dǎo)數(shù)問題常見的分類討論(師)2

1、.金牌數(shù)學(xué)高三數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)資料在高考中導(dǎo)數(shù)問題常見的分類討論（一）熱點(diǎn)透析由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容對大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接具有重大的作用，所以自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高考后，立即得到普遍地重視，在全國各地的數(shù)學(xué)高考試卷中占有相當(dāng)重的份額，許多試題放在較后的位置，且有一定的難度.分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種解題思想，如何正確地對某一問題進(jìn)行正確地分類討論，這就要求大家平時就要有一種全局的觀點(diǎn)，同時要有不遺不漏的觀點(diǎn)。只有這樣在解題時才能做到有的放矢。下面我想通過對導(dǎo)數(shù)類題的解答的分析，來揭示如何水道渠成順理推舟進(jìn)行分類討論。（二）知識回顧1 函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間 (a， b)內(nèi)，如果f (x)0，那么函數(shù)y f(x

2、)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f (x)0，右側(cè) f (x)0 ，那么 f(x0)是極大值；如果在 x0 附近的左側(cè) f (x)0 ，那么 f(x0)是極小值(2) 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求 f (x)；求方程f (x)0 的根；檢查 f (x)在方程 f ( x)0 的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值3 函數(shù)的最值(1) 在閉區(qū)間 a， b上連續(xù)的函數(shù) f(x)在 a，b上必有最大值與最小值(2) 若函數(shù) f(x)在 a，b上單調(diào)遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小值， f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f(x)在 a

3、，b上單調(diào)遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值， f(b)為函數(shù)的最小值(3) 設(shè)函數(shù) f(x)在 a， b上連續(xù)，在 (a， b)內(nèi)可導(dǎo)，求 f(x) 在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求 f(x)在 (a， b)內(nèi)的極值；將 f(x)的各極值與f(a)， f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值（三）疑難解釋1 可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較2 f (x)0 在 (a， b)上成立是f(x)在 (a， b)上單調(diào)遞增的充分條件3 對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)， f (x0

4、) 0 是函數(shù) f(x) 在 x x0 處有極值的必要不充分條件.附件：當(dāng)堂過手訓(xùn)練（快練五分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功?。﹛2 aa _.在 x 1 處取極值，則1 若函數(shù) f(x) x 12 函數(shù) f(x) x3 ax 2 在 (1， )上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _3. 如圖是 y f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象，對于下列四個判斷： f(x)在 2， 1上是增函數(shù)； x 1 是 f(x)的極小值點(diǎn)； f(x)在 1,2 上是增函數(shù)，在2,4 上是減函數(shù)； x3 是 f(x)的極小值點(diǎn)其中正確的判斷是 _ (填序號 )4 設(shè)函數(shù) g(x)x(x2 1)，則 g(x)在區(qū)間 0,1 上的最小值為()233A

5、 1B0C 9D. 35 (2011 寧遼)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R ，f( 1) 2，對任意 x R， f (x)2，則 f( x)2 x 4 的解集為()A ( 1,1)B (1， )C( ， 1)D (， )二、高頻考點(diǎn)專題鏈接題型一 . 需對導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與定義域或給定的區(qū)間的相對位置關(guān)系討論的問題。也就是要討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，在定義域內(nèi)要討論它給定的區(qū)間左、中、右，以確認(rèn)函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性。例 1、已知函數(shù) f(x)(ax2bx c)ex 在0,1 上單調(diào)遞減且滿足f(0) 1，f(1) 0.(1) 求 a 的取值范圍；(2) 設(shè) g(x) f(x) f (x)，求

6、 g(x)在 0,1 上的最大值和最小值變式 1：設(shè)函數(shù) f xx2bln x 1 ，其中 b 0 ，求函數(shù) fx 的極值點(diǎn)。題型二需對一元二次方程兩根大小為標(biāo)準(zhǔn)分類討論的問題。由于求單調(diào)區(qū)間通常要解一元二次不等式，要寫出它的解，就必須知道它兩根的大小，否則就要對兩根大小分類討論。求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式） ，但不知導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根也落在定義域內(nèi)，但不知這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起討論。例 2、設(shè)函數(shù)（），其中當(dāng)時, 求函數(shù)的極大值和極小值.變式 2：已知函數(shù)f x2

7、axa21x R，其中 aR 。x2 1（ 1）當(dāng) a1 時，求曲線 yfx在點(diǎn) 2, f2處的切線方程；（ 2）當(dāng) a0 時，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間與極值。題型三對函數(shù) f (x)ax2bxc 是否為二次函數(shù)進(jìn)行討論或需對一元二次方程的判別式進(jìn)行討論的問題。由于許多問題通過求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或二次不等式，它們對應(yīng)的二次方程是否有解，就要對判別式討論。例 3、（ 2012 年北京高考題）已知函數(shù)f （x） =ax2+1 （a0） ,g(x)=x 3+bx(1)若曲線 y=f(x) 與曲線 y=g(x) 在它們的交點(diǎn)（1， c）處具有公共切線，求a、 b 的值；(2)當(dāng) a2=4b 時，求函數(shù)

8、f(x)+g(x) 的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-， -1 ）上的最大值，變式 3-1 、已知函數(shù) f ( x)1， g( x) bx 23x .xa( ) 若曲線 h( x)f (x)g( x) 在點(diǎn)（ 1， 0）處的切線斜率為 0，求 a,b的值；( ) 當(dāng) a3,) ，且 ab=8 時，求函數(shù)( x)g( x)-2 ， -1 上的最小值 .的單調(diào)區(qū)間，并討論函數(shù)在區(qū)間f ( x)變式 3-2 、已知：函數(shù)fxex（其中常數(shù) a 0 時，求函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 - 2,0 上的最小值典例： (14 分 )已知函數(shù)f(x) ln xax (a R).(1) 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2

9、) 當(dāng) a0 時，求函數(shù)f(x)在 1,2 上的最小值方法總結(jié)方法1 注意單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍 )時，隱含恒成立思想2 求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小3 在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較總結(jié)1 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能2 函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論3 題時要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好f (x) 0 時的情況；區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0

10、 的點(diǎn)鞏固練習(xí) (時間： 35 分鐘，滿分：57 分 )一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 )1.若函數(shù) y f(x)的導(dǎo)函數(shù)y f (x)的圖象如圖所示，則y f(x)的圖象可能為()2 設(shè) a R，若函數(shù) yex ax，x R 有大于零的極值點(diǎn)，則()A a 111Ca eD a0，函數(shù) y g(x)在 (0， )上的最小值是 2，求 a 的值拓展訓(xùn)練 (時間： 25 分鐘，滿分： 43 分 )一、選擇題 (每小題 5 分，共 15 分 )1 (2012 重慶 )設(shè)函數(shù) f(x)在 R 上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x)，且函數(shù) f(x)在 x 2 處取得極小值， 則函數(shù) y xf (x

11、)的圖象可能是()x， x 0,4 的最小值為()2 函數(shù) y xe142A 0 B.eC.e4D. e23 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，當(dāng)x0 時， f(x) xf (x)0 的解集為()A ( 4,0) (4， )B ( 4,0) (0,4)C( ， 4)(4， )D (， 4)(0,4)二、填空題 (每小題 5 分，共 15 分 )4 已知函數(shù) f(x) x3 ax2 bx c (x 2,2) 對應(yīng)的曲線 C 過坐標(biāo)原點(diǎn)， 且在 x 1處切線的斜率均為1，則f(x)的最大值和最小值之和等于_5 設(shè)函數(shù) f(x) p x1 2ln x(p是實(shí)數(shù) )，若函數(shù) f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞

12、增，則實(shí)數(shù)p 的取值范圍為 _x6 已知函數(shù)f(x) x3 3ax a 在 (0,1)內(nèi)有最小值，則a 的取值范圍是 _三、解答題.7已知函數(shù)f ( x) x3ax23bx c(b 0), 且 g( x)f ( x) 2是奇函數(shù).,（）求 a c 的值；（）求函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 .答案附件：當(dāng)堂過手訓(xùn)練（快練五分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功?。﹛2 a處取極值，則 a _.在 x 11 若函數(shù) f(x) x 1答案3解析f( x)2x2 2x x2 a x2 2x ax 1 2處取極值，所以1 是 f (x)0的根，將 x 1 代x 1 2 .因?yàn)?f(x)在 x 1入得 a 3.2 函數(shù) f(x

13、) x3 ax 2 在 (1， )上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _答案 3， )解析f( x) 3x2 a， f (x) 在區(qū)間 (1， )上是增函數(shù)，則 f(x)3x2a0 在(1，)上恒成立，即 a3x2在(1，)上恒成立a3.3. 如圖是 y f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象，對于下列四個判斷： f(x)在 2， 1上是增函數(shù)； x 1 是 f(x)的極小值點(diǎn)； f(x)在 1,2 上是增函數(shù)，在2,4 上是減函數(shù)； x3 是 f(x)的極小值點(diǎn)其中正確的判斷是 _ (填序號 )答案解析 f (x)在 2， 1上是小于等于0 的， f(x)在 2， 1上是減函數(shù)； f ( 1) 0 且在 x0

14、兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值為左負(fù)右正， x 1 是 f(x)的極小值點(diǎn)； 對， 不對，由于f (3) 0.4 設(shè)函數(shù) g(x)x(x2 1)，則 g(x)在區(qū)間 0,1 上的最小值為()233A 1B0C9D. 3答案C.解析g(x) x3x，由 g(x) 3x2 1 0，解得 x1 33， x2 33(舍去 )當(dāng) x 變化時， g (x)與 g( x)的變化情況如下表：x00，333133， 13g (x)0g(x)0極小值03323所以當(dāng) x3 時， g(x)有最小值 g39 .5 (2011 遼寧 )函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R ，f( 1) 2，對任意 x R， f (x)2，則 f( x)2 x

15、4 的解集為()A ( 1,1)B (1， )C( ， 1)D (， )答案B解析設(shè) m( x) f(x) (2x 4)， m (x) f(x) 20， m(x) 在 R 上是增函數(shù) m( 1) f(1) (24) 0， m(x)0 的解集為 x|x 1 ，即 f( x)2 x4 的解集為 ( 1， ).二、高頻考點(diǎn)專題鏈接題型一 . 需對導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與定義域或給定的區(qū)間的相對位置關(guān)系討論的問題。也就是要討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，在定義域內(nèi)要討論它給定的區(qū)間左、中、右，以確認(rèn)函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性。例 1、已知函數(shù) f(x)(ax2bx c)ex 在0,1 上單調(diào)遞減且滿足f(0) 1，

16、f(1) 0.(1) 求 a 的取值范圍；(2) 設(shè) g(x) f(x) f (x)，求 g(x)在 0,1 上的最大值和最小值解 (1)由 f(0) 1，f(1) 0，得 c 1，a b 1，則 f(x) ax2( a1)x 1ex，f (x) ax2 (a 1)x aex，依題意需對任意 x (0,1) ，有 f (x)0 時，因?yàn)槎魏瘮?shù)y ax2 (a 1)x a 的圖象開口向上，而f(0) a0，所以需 f (1) (a1)e0，即 0 a1.當(dāng) a 1 時，對任意 x (0,1)有 f (x) (x2 1)ex0， f(x)符合條件；當(dāng) a 0 時，對任意 x (0,1)， f (

17、x) xex0， f(x)符合條件；當(dāng) a0 ， f(x)不符合條件故 a 的取值范圍為0 a 1.(2) 因?yàn)?g(x) ( 2ax 1 a)ex，所以 g (x)( 2ax 1a)ex.(i) 當(dāng) a 0 時， g (x) ex0， g(x)在 x0 處取得最小值g(0) 1，在 x 1 處取得最大值g(1) e.(ii) 當(dāng) a 1 時，對于任意x (0,1)有 g (x) 2xex0 ，g(x) 在 x 0 處取得最大值g(0) 2，在 x 1 處取得最小值 g(1) 0.1 a(iii) 當(dāng) 0a0.1 a 1，即 0a 1g(0) 1 a，在 x 1 處取得 若2a3時， g(x)

18、在 0,1 上單調(diào)遞增， g(x)在 x 0 處取得最小值最大值 g(1) (1 a)e.1 a11a1 a1 a 若1，即 3a1 時， g(x)在 x 2a 處取得最大值g2a 2ae 2a ，在 x 0 或 x 1 處取得最小值2a而 g(0) 1a， g(1) (1 a)e，1e 1則當(dāng) 3a e 1時， g(x)在 x 0 處取得最小值g(0) 1 a；e 1當(dāng) e 1a0） ,g(x)=x 3+bx(3)若曲線 y=f(x) 與曲線 y=g(x) 在它們的交點(diǎn)（1， c）處具有公共切線，求a、 b 的值；(4)當(dāng) a2=4b 時，求函數(shù) f(x)+g(x) 的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間

19、（-， -1 ）上的最大值，解：（ ）由1 ，c為公共切點(diǎn)可得：f ( x)ax21(a0) ，則 f (x)2ax ， k12a ，g ( x) x3bx ，則 f ( x)=3 x2b ， k23b ，2a3b ，又 f (1)a 1， g(1)1 b，a11b ，即 ab ，代入式可得：a3 b3（ 2） Q a24b ，設(shè) h(x)f ( x)g( x)x3ax21a2 x14則h ( x)3x21a2 ，令h ( x)0，解得：1a ， 2a ；Q a0 ，aa2axxx62，426原函數(shù)在， a單調(diào)遞增，在a ， a單調(diào)遞減，在a ，上單調(diào)遞增2266若 1a，即 a2 時，最大值

20、為 h(1)aa2a1a2 a6 時，最大值為 ha24；若，即1262若1a時，即 a6 時，最大值為ha162綜上所述：當(dāng) a0 ，2時，最大值為 h(1) aa22 ,時，最大值為 ha；當(dāng) a142.變式 3-1 、已知函數(shù) f ( x)x1， g( x)bx 23x .a( ) 若曲線 h( x)f (x) g( x) 在點(diǎn)（ 1， 0）處的切線斜率為0，求 a,b 的值；( ) 當(dāng) a3,) ，且 ab=8 時，求函數(shù)( x)g( x)-2 ， -1 上的最小值 .的單調(diào)區(qū)間，并討論函數(shù)在區(qū)間f ( x)解： ( ) 函數(shù) h(x) 定義域?yàn)?x|x -a ，則 h (x)f (x

21、)g (x)12bx3 ，( x a)2Q h(x)在點(diǎn)（ 1， 0）處的切線斜率為0，130,4h(1)0,ba0,a,1a, 解得3h (1)即b或0.12b30.2,b6.(1 a)2( )記(x)=g( x) ，則(x)=(x+a)(bx2 -a),+3x)(xf ( x)Q ab=8，所以 b8，(x)(xa)( 8 x23x) (x -a),aa(x)1 (24x222ax3a2 )1 (4 x3a)(6 x a) , 令( x)0 ，得 x3 a ，或 x1 a ,aa46Q 因?yàn)?a 3,， 所以3 a1 a ，314631故當(dāng) xa 時， (x)0 ，a ，或 x60 ，當(dāng)a

22、 xa 時， ( x)446函數(shù)(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(, a),(a,3 a),( 1 a,) ；單調(diào)遞減區(qū)間為( 3 a,1 a) ,3a9a14646Q a3,) ,，4,62a4 當(dāng)2 ，即 a 12 時 ,Q(x)在 -2,-1單調(diào)遞增 ,664(x)在該區(qū)間的最小值為(2)446a ，aaaa , 當(dāng)21時,即6a12 ,Q(x) 在 -2,單調(diào)遞減 , 在(1 單調(diào)遞增，6a )25 a2 ，66(x)在該區(qū)間的最小值為(a6108當(dāng)1時 , 即 3 a6 時,Q(x) 在 -2,-1 單調(diào)遞減 ,(x) 在該區(qū)間的最小值68為 (1)113a ，a825 a2 ；綜上所述，當(dāng)3a 6時，最小值為11 3a ；當(dāng) 6a12 時，最小值為a108.當(dāng) a12 時，最小值為64446a .a變式 3-2 、已知：函數(shù)fxex） . （）求函數(shù)fx的定義域及單調(diào)區(qū)間；x（其中常數(shù) a 0a（）若存在實(shí)數(shù)xa,0，使得不等式f x1成立，求 a 的取值范圍2解：（）函數(shù)f x的定義域?yàn)閤 xa， fxex x a ex 1ex x a 1.xa2x2a由 fx0 ，解得 xa1 . 由 fx0