高分突破微專項12

1、全等三角形中的兩大輔助線技巧突破點1倍長中線倍長中線法：延長三角形一邊的中線至一點，使所延長的部分與該 中線相等，并連接該點與這條邊的一個頂點，得到兩個全等的三角形. 這種方法主要用于構(gòu)造全等三角形或證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系 .倍長中線的常用添加方法(倍長中線等中線，等量關(guān)系一大片)敘述圖示結(jié)論基本圖形:在 ABC中,AD為 BC邊上的中線.A厶倍長中線：延長AD到點E,使 ED=AD,連接 BE. /*4E© ACDEBD;根據(jù)三角形三邊的關(guān) 系得到:1AD < -(AB + AC)2 .倍長中線的變形作法一 :M為AB上一點,連接MD并延長到點N,使ND-MD, 連接CN;作法

2、二:過點C作CN / AB,與過 點D的直線父于點N,該直線與 AB交于點M. BDMCDN例1如圖，在 ABC中,AD是中線，/ BAC二/ BCA,點E在BC的延長線上,CE=AB,連接AE.求證:AE=2AD.思路分析見到中線,根據(jù)倍長中線的輔助線作法，得到相等的線段，再利用三角形全等和等量代換進行證明.自主解答1. 如圖,在厶ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是2如圖,在厶ABC中，點E,F分別在AB,AC上，點D是BC邊上的中 點,DE丄DF，則BE+CF與EF的大小關(guān)系為.3如圖,在厶ABC中,AD是BC邊上的中線，點E是AD上一點，且BE二AC,延長BE交AC于點

3、F.求證:AF=EF.4如圖,在厶ABC中,AD交BC于點D,點E是BC的中點，EF/ AD交 CA的延長線于點F,交AB于點G,已知BG=CF,求證:ADABC的角平分線.突破點2旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)是近幾年河南中考必考的內(nèi)容運用旋轉(zhuǎn)的全等變換 證明線段相等、和差倍分關(guān)系以及角相等、和差倍分關(guān)系都是近幾年 中考常見的類型. 旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)： 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角 旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等旋轉(zhuǎn)的基本圖形如圖，將/ AOB旋轉(zhuǎn)至/ A'OB',貝卩 / AOA'= / BOB'.圖形旋轉(zhuǎn)的要點的基本思路如圖將 AOB旋轉(zhuǎn)至 A

4、'OB',連接 AA',BB',則 AOA' BOB'.1找準旋轉(zhuǎn)中的變 與不變”；2找準旋轉(zhuǎn)前后的 對應(yīng)關(guān)、系”；3. 充分挖掘旋轉(zhuǎn)過程 中線段之間的關(guān)系;4. 找旋轉(zhuǎn)點，得等邊、 等角；5. 證全等或相似；6利用全等或相似得 到邊、角關(guān)系.1以等邊三角形為 背景的旋轉(zhuǎn)60°遇60 °旋轉(zhuǎn) 60°);2.以正方形為背景 的旋轉(zhuǎn)90°遇90° 旋轉(zhuǎn)90°);3將分散的條件通 過旋轉(zhuǎn)變換集中在 一塊形成合力”破 解難題(若條件是 分散的，則試試看 把圖形進行平移、 旋轉(zhuǎn)、翻折).如圖，在。

5、O的內(nèi)接四邊形 ABCD中,AB=3,AD=5, / BAD= 60°，點C為的中點則AC的長是思路分析T四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊BD形，二/ ABC+ / ADC=180，又T點 C 為 的中點，二 BC=CD.將厶ABC 繞點C旋轉(zhuǎn)至 EDC,則A,D,E三點共線,這樣就把分散的條件集中在 一塊了，旋轉(zhuǎn)變換后的圖形是等腰三角形，再利用等腰三角形三線合 一”的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出 AC的值即可(利用旋轉(zhuǎn)時，一般要滿 足兩個條件：有相等的邊，兩角之和為180°5. 如圖,點P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且點P到厶ABC三個頂點A,B,C的距離分別為1,.,，則 AB

6、C的面積為6如圖,在正方形ABCD中，點E為BC上一點，點F為CD上一點,BE+DF二EF,則/ EAF的度數(shù)為.7. 如圖，在 ABC中，/ C=90°，點D,E,F分別在邊CA,AB,BC上，且四邊形CDEF是正方形，已知BE=2.2,EA=4.1,則厶BFE和厶AED的面積之 和為.8. 如圖,OA=OD,OA丄OD,OB=OC,OB丄OC,經(jīng)過點O的直線I分別交 AB,CD 于點 E,F.(1)試說明 OCD；1(2)若直線I平分CD,求證:OF= AB.9. 如圖,點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點,DM丄DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F.(1)當/ MDN

7、繞點D轉(zhuǎn)動時，求證:DE=DF;若AB=2,求四邊形DECF的面積.10. 如圖，等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)口到厶A1BC1的位 置,AB與A1C1相交于點D,AC與A1C1,BC1分別相交于點E,F.(1) 求證： BCFBAQ;(2) 當/C=a時，判斷四邊形A1BCE的形狀并說明理由.一線三直角模型1模型說明一線三直角是一個常見的相似模型，指的是有三個直角的頂點在同一 條直線上構(gòu)成的相似圖形，有些地區(qū)稱 三垂直模型”也有稱“K形圖” 或“M形圖” 一線三等角不僅可以是直角，也可以是銳角或鈍角本專 題主要研究一線三直角模型)2. 識別方法(1) 查找圖形中已知的直角，順著這個直角的

8、頂點尋找或者構(gòu)造模型中的一線”；(2) 構(gòu)造其他直角，構(gòu)造的直角的頂點必須在同一條直線”上，這條直線”可能在已知角的外部，也可能穿過”這個角.3. 構(gòu)造一線三直角的基本步驟做題過程中，若出現(xiàn)一直角的頂點在一條直線上的形式，就可以構(gòu)造兩 側(cè)的直角三角形，利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問題綜合性 題目往往就會把全等和相似的轉(zhuǎn)化作為出題的一種形式本質(zhì)就是找角、定線、構(gòu)相似或垂直一線三直角的基本圖形般結(jié)論一線三直角的應(yīng)用4 ACD BAE. 特殊地，當AB=AC 時, ACD BA E. 圖形中已經(jīng)存在 一線三直 角”直接應(yīng)用模型解題； 圖形中存在 一線兩直角”補 上一直角”構(gòu)造此模型； 圖形中只

9、有直線上的一個直 角補上 兩直角”構(gòu)造此模型； 圖形中只有一個直角，過該直 角頂點補上一線”再補上兩 直角”構(gòu)造此模型； 對于平面直角坐標系，在x軸 或y軸(也可以是平行于x軸或 y軸的直線)上構(gòu)造一線三直 角”是解決問題的關(guān)鍵.突破點1三角形中運用一線三直角進行相關(guān)的運算I 刪 1M圖！MRMABCraBI=90°HAEBEn351HSIDHMB3交AB于點D,若DE=，則AE的長為 思路分析 觀察題圖，有兩個直角，即/ DEB和/ C,有一條線”即直 線AC.過點D作AC的垂線，即可構(gòu)造一線三直角模型，然后結(jié)合題中 的條件用 相似+勾股”進行證明和計算.突破點2四邊形中運用一線三

10、直角求線段長如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC邊的中點，將 ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點F處連接CF,則CF的長為.思路分析 題圖中的直角有很多，與CF聯(lián)系緊密且易于構(gòu)造一線三 直角模型的直角是/ AFE,過直角頂點F作豎直的線(作矩形ABCD的 邊AD的垂線)，可構(gòu)造一線三直角模型，再結(jié)合題中的條件用 相似+勾 股”進行相關(guān)計算.突破點3 一線三直角在二次函數(shù)中的運用拋物線y=x2-4x+3與坐標軸交于A,B,C三點，點P在拋物線上,PE丄BC于點E,若 PE=2CE則點P的坐標為思路分析圖形中與點P相關(guān)的直角頂點是E,可過點E作x軸或y軸的平行線，構(gòu)造一線三直

11、角模型，然后利用相關(guān)知識進行計算.1在四邊形 ABCD 中，/ BAD二 / ACB=90 ,AB=AD,AC=4BC,若 CD 的長為5,則四邊形ABCD的面積為.2. 如圖,已知/ ABC=90 ,AD=BC,CE=BD,AE與CD相交于點M,則/ AMD二°.3如圖,在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OAB的一個頂點在原點 處，/ABO=90 ,OB=AB,已知點A(2,4),則點B的坐標為.4如圖,在平面直角坐標系中，點A(0,2 ),點B(4,0),點C在第一象限內(nèi)， 若厶ABC為等邊三角形，則點C的坐標為.5. 如圖,在平面直角坐標系中，把矩形OABC的頂點0放在原點處，

12、把邊OA,OC分別放在x軸的正半軸、y軸的正半軸上，點D在0C邊上，把 BDC沿直線BD翻折，點C的對應(yīng)點恰好落在x軸上的點E處,已知 B(10,8),則直線BD的解析式為.6. 如圖,在四邊形 ABCD 中,AD=4,CD=3, / ABC二 / ACB= / ADC=45 ,則BD的長為.7. 如圖,在四邊形ABCD中，/ ABC= / BAD=90，/ ACD=45 ,AB=3,AD=4,則 BC 的長為.18如圖,已知拋物線y二-X2與直線AB交于A(-2,-4),B兩點，連接AO,BO,若/ AOB=90，則點B的坐標為.如圖，延長AD到點E,使ED=AD,連接CE.v AD高分突破

13、微專項J 全等三角形中的兩大輔助線技巧 1VADV4”【解析】二.是厶ABC的中線，二BD=CD,又T/ ADB= / CDE, ABD ECD, AB=EC,在厶AEC 中,AC+EC>AE,且 EC-ACvAE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD, 2<2AD<8, 1<AD<4. 2.BE+CF>EF【解析】如圖延長ED至點P,使DP=DE,連接FP,CP,t點D是BC的中點，二BD=CD,又/ EDB= / CDP,.A BDECDP,. BE=CP.t DE 丄DF,DE=DP, EF=FP.又 T在 CFP 中,CP+CF=BE

14、+CF>FP,. BE+CF>EF. 3證明:如雲(yún)邊上的中線點G,使得DG=AD,連接BG.T DC=DB.' 線, 在厶ADC和厶GDB中， ADC GDB, / CAD= / G,BG=AC.t BE=AC, BE=BG, / BED= / G, 又 T/ BED= / AEF, / AEF= / CAD, af=ef4證明:如圖，過點 C作CH / AB,交FE的延長線于點H, 貝y/ B= / eCh,/ bge=/ h.t點E是BC的中點， BE=CE.r Z& = ZECU.| RE =匚町BEGA CEH, BG=CH, 又 BG=CF, CH=CF,

15、 / F=Z H.TEF/ AD,在厶BEG和厶CEH中，/ F=Z CAD, / BGE二/ BAD,又 vz bge=2 h, / BAD= Z CAD, AD為厶ABC的角平分線.5.【解析】如圖將 ABP以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得厶ACD,過點A作AE丄CD交CD的延長線于點E,連接PD,易得厶ABPACD,AP=AD,BP=CD, Z PAD= Z BAC=60 , ADP 為 等邊三角形, AP=PD.在厶CDP中,DP=1,CD二,PC= , PD2+CD2=PC2,a CDP 是直角三角形，且Z CDP=90 ,/ CDP+Z ADP=150 ,/ ADE=

16、30 .在 RtAADE111回kS中,AE=：iAD= ,ED= AE=幺， CE=CD+DE=£+n ,AC2=3+屈, Saabc = X3返1 3薦AC2二6.45 °【解析】如圖,將厶ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至厶ADG的位置，得Z EAG=90 , ABEADG, BE=DG,AE=AG,又v BE+DF=EF, FG=EF,aAEFAGF, EAF= Z GAF, EA1F= Z EAG=45 .【解析】方法一:如圖(1),將厶BEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到厶GED的位置，易得111EG丄 AE, BEF=A GED, GE=BE=2.2

17、, Sabfe+Saaed =Saaeg= AE 1EGX2.2 4.1=4.51方法二:如圖(2),# AED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到厶GEF的位置，則iEG 丄 AE, AEDGEF, GE=AE=4.1, Sabfe+Saaed =Sagbe = BE-1EG易X2.2 4.1=4.51. AOB DOG,二 Sa oab=Saodg ,OB=OG.v OA 丄 OD,OB=OC,OB 丄OC,/ COD+ / AOB= / COD+ / DOG=18° ,OC=OG,< C，O,G三點共線,OD為厶CDG中CG邊上的中線,Ji平分CD,sa odg=saoci

18、(2)證明D F詹線1 OF= DG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DG=AB,OF= AB.:連接點D為等腰直角三角形 ABC斜邊AB的中點 CD 丄AB,CD=DA,CD 平分/ BCA, / ECD二/ DCA=45 .v DM 丄 DNU / EDN=90 , 又/ CDA=90 一 / CDE=Z FDA.在厶CDE和厶ADF中，ZDtf =CD - AD,CDE = CDEA ADF, DE=DF.(2)vA CDEA ADF,- SACDE=Sa ADF ,血1=，CD，AD=1.°AB=B明：2A=Abc是等腰三角形，將SBC三角形-ACC繞頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)口到厶AiBCi的位置,

19、AiB=AB=BC, / Ai = Z A= / C,Z AiBD= / CBCi.在厶BCF與厶BAiD中，/= NG-0ChIzXD = ZCBF? BCFA BAiD.>iz遜AD易時牆aibce是菱形- / AED= / AiBD=a,/aAdb" / C=a,Ai= a,AiBC=360 -Z Ai-/ C- / AiEC=180 - a, 捕邊形朮晞是平平行四邊I形, 又四邊邊形一ACB CE是菱形.高分突破微專項2 一線三直角模型1.10【解析】如圖,過點D作DE丄AC,交AC于點E.vZ BAD二Z ACB=90 ,AB=AD, a根據(jù)一線三直角模型，可得 AB

20、CDAE, a AE=BC,AC=DE.設(shè) BC=AE=a,則 CE=3a在RtA CDE 中,CE2+DE2=CD2,即 (3a)2+(4a)2=52，解得 a=1 負值已舍 去),a DE=AC=4a=4, S 四邊形illiiiabcd =Saabc+Saacd = BC，AC+，AC DE=- X1 >4+ >4>4=10.2.45【解析】如圖,過點A作AN丄AB,且AN=BD,連接DN,CN. AD二BC, DANCBD, aZ AND= Z CDB,DN=DC.又 Z AND+ Z NDA=90 ,aZ CDB+ Z NDA=90 ,aZ NDC=90 , C D

21、N 是等腰直角三角形,aZ NCD=4°鳥AN=DB,CE=BD, aAN=CE.又 AN / CE,a四邊形ANCE是平行四邊形,a CN / AE, aZ AMD= Z NCD=45 .3. (3,1)【解析】如圖，過點B作x軸的垂線 垂足為F,過點A作y 軸的垂線,垂足為E,兩線交于點D,則Z ADB= Z BFO=90.tZ ABO=90 ,AB=OB, a 根據(jù)一線三直角模型, 可得 ABDBOF, a AD=BF,BD=OF.設(shè)JQ 2 - litAD=BF=a,BD=OF=b. A(2,4), a AE=2,DF=4, aH 解得 a=1,b=3.A OF=3,BF=1

22、,故點 B 的坐標為(3,1).4. (5,3 )【解析】如圖，過點C作CD丄AB于點D,過點D作y軸的垂線垂足為E,過點C作CF丄ED,交ED的延長線于點F.v點A(0,2罔),點 B(4,0),a OA=2 ,OB=4. ABC 為等邊三角形,a CD二月AD.易知 DEAOB 的中位線， DE=OB=2,AE=OA二忙AE DE AD I根據(jù)一線三直角模型，可得 ADEDCF, =，解得DF=3,CF=2，二 EF=DE+DF=5,CF+OE=3，二點 C 的坐標為(5,3 ).5. y= x+3【解析】在矩形OABC中,T B(10,8),.OC=AB=8,OA=BC=10.由折疊的性

23、質(zhì)可知DE=CD,BE=BC=10.在 Rt ABE中,AE=6,二OE=OA-AE=10-6=4.根據(jù)一線三直角模型可01) AE pD 電知, DOEs EAB, 旺五，即丁 =，解得0D=3,.點D的坐標為(0,3).設(shè)直線BD的解析式為y=ax+3,將B(10,8)代入，解得a=,故直線BD的解析式為y= x+3.6. 【解析】如圖，過點C作CF丄AD于點F,過點B作BE丄AD, 交DA的延長線于點E.在 RtA CDF中,v/ADC=45 , CD= DF= CF,. CF=DF= ,AF=AD-DF=4-/ CFA= / CAB= / AEB=90 ,AC=AB, 根據(jù)一線三直角模型，可得 ACFBAE, AE=CF二耳，BE=AF=4-亍, DE=AD+AE=4+ 丁 .在 RtA BDE 中,BD=：I 詔二.7.