高考立體幾何試題傳統(tǒng)證法的轉(zhuǎn)化思路

1、高考立體幾何試題傳統(tǒng)證法的轉(zhuǎn)化思路四川 張繼海來源：2009 年上半年試題與研究由于立體幾何在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力等方面有著獨(dú)到的作用，因而它成為歷屆高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容（高考試卷中對(duì)空間想象能力的考查集中體現(xiàn)在立體幾何試題上）縱觀近幾年全國及各省市自主所命的試題，立體幾何題多具有雙重功能，既可用傳統(tǒng)方法解答，也可用向量方法解答，且往往是一題多問，第一問一般是線面的平行或垂直等位置關(guān)系，第二至三問是計(jì)算空間的角和距離問題在立體幾何中引入空間向量后，雖然一些問題可以用向量為工具來解決，但往往增大了建系、計(jì)算的過程和難度，削弱了對(duì)空間想象與邏輯推理能力的要求事實(shí)上，高考立體幾何試題的傳

2、統(tǒng)證法依然是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)必不可缺少的考查內(nèi)容之一線面的平行與垂直的判定和性質(zhì)：平行垂直直線a 與直線b（1）同平行于直線c的兩直線平行（2）ab = b，aa，aÌb Þ ab （3）ab = b，aa，ab Þ ab（4）aa，ba Þ ab（5）兩平行平面都和第三個(gè)平面相交，則交線平行（1）ab，bc Þ ac（2）aa，bÌa Þ ab（3）三垂線定理、逆定理（4）aa，ba Þ ab直線a（b）與平面a（b、）（1）aËa，bÌa，ab Þ aa（2）ab，aÌ

3、b Þ aa（3）aËa，ab，ab Þ aa（1）m、nÌa，mn=B，am，an Þ aa（2）ab，ba Þ aa（3）ab，ab Þ aa（4）ab，ab = b，ab，ab Þ aa （5）ab，b，bg = a Þ aa平面a與平面b（1）若a 內(nèi)的兩條相交直線a、b都平行于b，則ab（2）aa，ba Þ ab（3）平行于同一平面的兩平面平行（1）lb，lÌa Þ ab（2）ab，ag Þ bg根據(jù)上述線面的平行與垂直的判定和性質(zhì)，可知：“線線平行 線面

4、平行 面面平行”，“線線垂直 線面垂直 面面垂直”是立幾中所表現(xiàn)出的線面的平行與垂直關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的基本思路，掌握了這種轉(zhuǎn)化思路，也就掌握了用傳統(tǒng)方法解答立體幾何問題的鑰匙若是單純的判斷題，通常是結(jié)合圖形（或另作，或想象）將三種語言（文字、符號(hào)、圖形）互譯互助，利用判定定理或性質(zhì)定理解決；若是線面平行、垂直關(guān)系的證明問題，基本思路是：由“已知”用性質(zhì)推“可知”，看“欲證”想“要證”用判斷，并借助圖形直觀，添加必要的輔助線（面）；若是角、距離的計(jì)算問題，首先是在原有圖形上千方百計(jì)地找到（或作出）符合相關(guān)定義的角、距離，然后加以論證，最后是計(jì)算角或距離的大小EBADCECDBA例1 （08·

5、;重慶理19）如圖，在ABC中，B = 90°，AC = 7.5，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，使AD:DB = AE:EC = 2，DE = 3現(xiàn)將ABC沿DE折成直二角角，求：（1）異面直線AD與BC的距離；（2）二面角AECB的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）思路分析 （1）因?yàn)榕cAD、BC既垂直又相交的直線是異面直線AD與BC的公垂線，兩交點(diǎn)間的線段長是其距離，所以圖文結(jié)合，仔細(xì)領(lǐng)會(huì)題意，不難發(fā)現(xiàn)BD就是異面直線AD與BC的距離（2）在折疊后的圖中，由于AD底面DBCE，所以利用三垂線定理或逆定理作出二面角AECB的平面角，然后加以論證和計(jì)算解 （1） AD:DB = AE:EC，

6、BEBC又因B = 90°， ADDE因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，從而ADDB注意到DBBC，所以DB為異面直線AD與BC的公垂線如圖，由AD:DB = AE:EC = 2，得 DE:BC = AD:AB = 2:3又DE = 3， BC = 4.5，AB2 = AC2BC2 = 36進(jìn)而 BD = 2，即異面直線AD與BC的距離為2（2）如圖，過D作DFCE，交CE的延長線于F，連結(jié)AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂線定理知AFFC，故AFD為二面角AECB的平面角BADCEF在底面DBCE中，DEF =BCE，BD = 2，CE = 2.5，得，從而

7、在RtDFE中，DE = 3，DF = DE·sinDEF = DE·sinBCE = 2.4在RtAFD中，AD = 4，因此所求二面角AECB的大小為說明：1現(xiàn)行教材及考綱中對(duì)異面直線的距離要求較低，在圖中往往有現(xiàn)成的距離（不需要另作），只要根據(jù)題意加以說明（證明）它滿足異面直線的距離所要求的兩個(gè)條件：既垂直又相交即可2作二面角的平面角時(shí)，通常需要確定出（或找到）一個(gè)半平面的一條垂線，借助于三垂線定理或逆定理去作角（先作出），后證明3要善于熟練應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系例2 （08·安徽理18）如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC =

8、 45°，OA底面ABCD，OA = 2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)（1）證明：直線MN平面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大?。?（3）求點(diǎn)B到平面OCD的距離思路分析 （1）要證直線MN平面OCD，只需在平面OCD內(nèi)找到（若無現(xiàn)成的則需另作）一條直線，證明它與MN平行（這條思路本題不太容易）；或者證明直線MN所在的某個(gè)平面（常常需要另作）平面OCD，注意到題設(shè)中有兩個(gè)中點(diǎn)，于是再取AD或OB的中點(diǎn)（如下圖），則問題立即解決MACNBDOMACNBDOEFMACNBDOMACNBDO（2）異面直線所成的角需要轉(zhuǎn)化成兩條相交直線所成的銳角或直角所以平行移動(dòng)AB或MD，使

9、它們相交，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)ABCD，而CDMD = D，所以MDC就是異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角）連結(jié)CM，在CDM中，不難得出DM =，CM2 = 3，而CD = 1，AC2 = 2，進(jìn)而由余弦定理，得，得MDC = 60°所以AB與MD所成的角為60°（3）由于ABCD，CD Ì 平面OCD，AB Ë 平面OCD，所以AB平面OCD，點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，設(shè)為h則 OD2 = OA2 + AD2 = 5，AC2 = 1 + 12×1×1×cos45° = 2，OC2 = 4 + 2= 6，于

10、是 在OCD中，有， 由 VAOCD = VOACD 得 ，所以 說明：1充分利用“線線、線面、面面平行（垂直）的轉(zhuǎn)化關(guān)系”進(jìn)行分析，是順利解答高考立體幾何試題的重要思路2第（3）小題，若注意到OA底面ABCD這一已知，則有以下求解方法： AB平面OCD， 點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等連結(jié)OP，過點(diǎn)A作AQOP于點(diǎn)Q APCD，OACD， CD平面OAP， AQCD又 AQOP， AQ平面OCD，線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離A1B1BACC1 ，AP = PD，所以，即點(diǎn)B到平面OCD的距離為例3 （08·湖北理18）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC側(cè)

11、面A1ABB1（1）求證：ABBC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為q，二面角A1BCA的大小為j，試判斷q 與j 的大小關(guān)系，并予以證明思路分析（1）圖文結(jié)合、理解題意要證ABBC，通常是證AB垂于BC所在的某個(gè)平面或BC垂于AB所在的某個(gè)平面，于是轉(zhuǎn)化為只需證明BC垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線為了轉(zhuǎn)化并利用已知條件“平面A1BC側(cè)面A1ABB1”，所以過點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作ADA1B于D，得到AD平面A1BC，進(jìn)而ADBCA1B1BACDC1根據(jù)ABCA1B1C1是直三棱柱，得側(cè)棱AA1底面ABC，有AA1BC，而ADAA1 = A，所以BC平面AA1D，故BCAB（2）連結(jié)CD，則由（1）知ACD是直線AC與平面A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面角，即 ACD =q，ABA1=j于是在RtADC中，；在RtADB中，由ABC是直角三角形，AC是斜邊知