高中奧數(shù)輔導：平面圖形 立體圖形 空間向量

1、第十三講：聯(lián)賽訓練之平面圖形 立體圖形 空間向量一,基礎知識導引<一>,直線,平面之間的平行與垂直的證明方法1,運用定義證明(有時要用反證法; 2,運用平行關系證明; 3,運用垂直關系證明; 4,建立空間直角坐標系,運用空間向量證明.例如,在證明:直線直線時.可以這樣考慮(1,運用定義證明直線與所成的角為; (2,運用三垂線定理或其逆定理;(3,運用“若平面,則”; (4,運用“若且,則”;(5,建立空間直角坐標系,證明.<二>,空間中的角和距離的計算1,求異面直線所成的角(1,(平移法過P作,則與的夾角就是與的夾角;(2,證明(或,則與的夾角為(或;(3,求與所成的角

2、(,再化為異面直線與所成的角(.2,求直線與平面所成的角(1,(定義法若直線在平面內的射影是直線,則與的夾角就是與的夾角;(2,證明(或,則與的夾角為(或;(3求與的法向量所成的角,則與所成的角為或.3,求二面角(1,(直接計算在二面角的半平面內任取一點,過P作AB的垂線,交AB于C,再過P作的垂線,垂足為D,連結CD,則,故為所求的二面角.(2,(面積射影定理設二面角的大小為(,平面內一個平面圖形F的面積為,F在內的射影圖形的面積為,則.(當為鈍角時取“”.(3,(異面直線上兩點的距離公式:,其中是二面角的平面角,EA在半平面內且于點A,BF在半平面內且FBAB于B,而,.(4,(三面角的余

3、弦定理,三面角中,又二面角,則.(5,(法向量法平面的法向量與平面的法向量所成的角為,則所求的二面角為(同類或(異類.4,求兩點A,B間距離(1,構造三角形進行計算; (2,導面直線上兩點間的距離公式; (3,求.5,求點到直線的距離(1,構造三角形進行計算; (2,轉化為求兩平行紅色之間的距離.6,求點到平面的距離(1,直接計算從點到平面所引垂線段的長度; (2,轉化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (3,(體積法轉化為求一個棱錐的高,其中V為棱錐體積,S為底面面積,為底面上的高.(4,在平面上取一點A,求與平面的法向量的夾角的余弦,則點P到平面的距離為.7,求異面直線的距離(1(定

4、義法求異面直線公垂線段的長; (2(體積法轉化為求幾何體的高; (3(轉化法轉化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (4(最值法構造異面直線上兩點間距離的函數(shù),然后求函數(shù)的最小值; (5(射影法如果兩異面直線在同一平面內的射影分別是一個點P和一條直線,則與的距離等于P到的距離; (6(公式法.8,求平行的線線,線面,面面之間的距離的方法,通常是轉化為求點與線或點與面之間的距離.<三>,多面體與旋轉體1,柱體(棱柱和圓柱(1側面積(為直截面周長,為側棱或母線長(2體積(為底面積,為高2,錐體(棱錐與圓錐(1正棱錐的側面積(為底面周長,為斜高(2圓錐的側面積:(為底面周長,為母線

5、長(3錐體的體積:(為底面面積,為高.3,錐體的平行于底面的截面性質:.4,球的表面積:; 球的體積:.二,解題思想與方法導引1,空間想象能力; 2,數(shù)形結合能力; 3,平幾與立幾間的相互轉化; 4,向量法三,習題導引<一>,選擇題1,正四面體的內切球和外接球的半徑之比為A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92,由曲線,圍成的圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體的體積為;滿足,的點組成的圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體的體積為,則DA, B, C, D, 3,如右圖,底面半徑,被過A,D兩點的傾斜平面所截,截面是離心率為的橢圓,若圓柱母線截后最短處,則截面以下部分的幾何體體積是A, B

6、, C, D,4,在四面體ABCD中,設,直線AB與CD的距離為2,夾角為,則四面體ABCD的體積等于A, B, C, D,5,三個圓柱側面兩兩相切,且它們的軸也兩兩相互垂直,如果每個圓柱底面半徑都是1,那么,與這三個圓柱側面都相切的最小球的半徑是A, B, C, D,6,四面體ABCD的頂點為A,B,C,D,其6條棱的中點為,共10個點,任取4個點,則這4個點不共面的概率是A, B, C, D,<二>,填空題7,正方體的棱長為,則異面直線C與BD間的距離等于 .8,正四棱錐中,二面角為且,(,為整數(shù),則 .9,在正三棱錐中,過A作平面分別交平面PBC于DE.當截面的周長最小時,

7、,P到截面ADE的距離為 .10,空間四個球,它們的半徑分別是2,2,3,3.每個球都與其他三個球外切.另一個小球與這四個球都相切,則這個小球的半徑等于 .11,三個的正方形都被連接兩條鄰邊的中點的直線分成A,B兩B片 , 如圖 , 把這六片粘在一個正六邊形的外面 , 然后折成多面體 , 則這個 多面體的體積為 .12,直三棱柱中,平面平面,且=,則AC與平面所成的角的取值范圍是 .<三>,解答題C113, 如圖 , 直三棱柱 中 , , 連接 , , ,若,求證:S14,如圖,設是一個高為3,底面邊長為2的正四棱錐,K是棱SC的中點,過AK作平面與線段SB,SD分別交于M,N(M

8、,N可以是線段的端點.試求四棱錐的體積V的最大值與最小值.15,有一個的長方體盒子,另有一個的長方體盒子,其中均為正整數(shù)(,并且前者的體積是后者一半,求的最大值.四,解題導引1,B 設棱長為,外接球的半徑為R,內切球的半徑為,則解得,有:R=1:3.2,C 設,則過A的兩個截面都是圓環(huán),面積分別是和,于是.3,B 在橢圓中,又,得,所求的體積4,B 過C作,以為底面,BC為側棱作棱柱,則所求四面體的體積等于上述棱柱體積的,而的面積,AB與CD的公垂線MN就是棱柱的高,于是=,因此.5,A 三個圓柱的軸為三條兩兩垂直的異面直線,而異面直線的距離都為2,則所求球的半徑為.6,D .7, 設E是上的

9、點,過E作EH于H,所以EH面ABCD,過H在面ABCD內作HF,連接EF,所以EFBD,令,所以EF=.8,5 因各側面為全等的等腰三角形.在內作高AE,則CE也是的高,故.設則,=.,得.9, ; 將三棱錐的側棱PA剪開,當?shù)闹荛L最小時,其展開圖如圖AP 的周長即是展開圖中線段 的長 . 易證 ,又PA=2AB=,故,.中,DE上的高.于是; 從P向底面作高PO.則PO=.于是.又,得.設P到截面的距離O為 , 則 , 于是 . 10, 設半徑為3的球心為A,B,半徑為2的球心為C,D.則易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.設小球中心為O,半徑為,則O在四面體ABCD內且A

10、O=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中點E,連結CE,DE,則CEAB,DEAB,故平面CDE為線段AB的垂直平分面,所以O在平面CDE內,又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平分面內,故O在等腰底邊CD上的高EF上(F為CD中點,易算出ED=EC=,得為等邊三角形.于是EF=.而=.OE=,代入OE+OF=EF=2得,解得.11,864 將幾何體補成一個棱長為12的正方體,幾何體的體積為正方體體積的一半,為.12, 作AD于D,易證AD平面,所以.設,則,故.易證BC平面,故,從而,即,于是,又,得.13,證明:設D,分別為AB,的中點.連結CD,及,.因為,所以四邊形為平行四邊形,得/

11、.因AC=BC,于是.又D, 分別為AB,的中點,故CDAB,而在平面ABC(或內的射影為AB(或,得CD,又已知,所以平面B,從而,又/,所以.又,得平面CD,從而得證.H114, 解 : 為了建立 V 與原四棱錐 的關系 . 我們先引用 下面的事實:(如圖設分別在三棱錐的側棱SA,SB,SC上,又與的體積分別是和V,則.事實上,設C,在平面SAB的射影分別是H,.則,又,所以.下面回到原題.設,因的體積為.于是由上面的事實有.得=,于是,而由,得.則,(.又得.所以(1當時,V為減函數(shù),(2當時,V為增函數(shù).所以得,又,得.15,解:由題意,得.(1當時,由,則,矛盾!(2當時,矛盾!(3當時,則,即.所以的最大值為130;(4當時,則,即.所以的最大值