重復測量分析

1、第8章重復測量分析生長測量和其它時間依賴測量Carl N. Von Ende8.1. 重復測量問題有很多場合生態(tài)學家會對同一個體、同一試驗單元或在同一取樣地點進行重復測量。最常見的是某個特征或者因子在不同時間被測量。比如，對不同的種群、地點或試驗處理，我們可能感興趣于動物體型大小、植物體大小、生存力(survivorship)、窩卵數(shù)、種群大小、營養(yǎng)水平或者污染物水平如何隨時間變化。另一類型的重復測量研究包括將有機體個體置于某種試驗處理的不同水平，測量在不同水平上的個體反應。比如在植物生態(tài)生理學研究中，經(jīng)常將同一種植物暴露在一系列的不同CO2水平，測量光合速率（Potvin et al. 19

2、90b）。上面兩類研究都反映出了研究者們明晰的興趣對一種試驗處理下，反應隨時間、處理水平變化的格局或者形式。即使沒有對個體重復測量，也可以回答相同的問題。假設我們研究飲食對松鼠生長的影響，具體地說，就是檢測一下三個月內(nèi)，吃橡子的松鼠生長模式（growth pattern）和吃山胡桃的松鼠生長模式是否不同。假定松鼠喂養(yǎng)是獨立的，試驗開始日秤體重，之后每兩周秤一次，共六次測量。六個測量日和兩種飼養(yǎng)策略，于是就有12種飲食×日期的組合。試驗可以用兩種不同的方法進行。比如我們可以在每個飲食×日期組合中測量三只松鼠。所有松鼠開始時間一樣，而且飼養(yǎng)規(guī)律化，但是每種飲食的每個測量日期都有

3、不同的松鼠被稱重。所以每只松鼠只有一次稱重的機會，試驗將需要36只松鼠。另一種方法是，每種飲食中安排六只松鼠，所有的松鼠在每個測量日期都稱體重，所以每只松鼠要測量六次。第二種設計是一種重復測量設計，僅需要12只松鼠。第一種試驗設計可以用雙因素ANOVA（飲食，日期）進行分析，因為每一個飲食處理的任何一個日期的松鼠都與其他日期的松鼠獨立，但顯然這樣要比重復測量試驗設計需要更多的動物。然而用雙因子ANOVA分析第二種試驗設計結(jié)果并不合適，因為同一只動物在試驗中被重復測量多次，每只松鼠不同日期的體重并不是互相獨立的（重復間互相獨立是ANOVA中的一個基本假定）。第二種試驗設計必須用重復測量分析（re

4、peated-measures analysis）方法，這種方法考慮動物的重復測量和日期的相關(guān)性。過去，盡管很多生態(tài)學家從重復測量設計試驗中收集到了數(shù)據(jù)，但是他們經(jīng)常運用“普通”的ANOVA對他們進行不正確的分析，或者將數(shù)據(jù)硬“塞”到某個統(tǒng)計軟件包的重復測量分析中，不考慮某些重復測量分析中的基本假定，或者扔掉中間過程數(shù)據(jù)，用ANOVA只分析最終測量結(jié)果。隨著生態(tài)學家統(tǒng)計學知識水平的增長，人們已經(jīng)不能接受前兩種數(shù)據(jù)處理方式，也不滿意最后一種方式。重復測量設計在心理學和農(nóng)業(yè)中已經(jīng)被運用已久（Snedecor and Cochran 1989; Winer et al. 1991），但是受到生態(tài)學家

5、特別關(guān)注也只是最近十來年的事（Gurevitch and Chester 1986; Potvin et al. 1990b）。在這一章，我將討論分析重復測量數(shù)據(jù)的各種參數(shù)方法。8.2. 統(tǒng)計學問題重復測量設計可以用單變量或者多變量的參數(shù)方法分析。單變量分析是包括區(qū)組的ANOVA設計（隨機區(qū)組和裂區(qū)）（第4章）。MANOVA（第6章）則用于多變量分析。與MANOVA比，單變量分析計算簡單，而且普遍認為其統(tǒng)計效力強于MANVOVA，但是單變量分析也有更苛刻的假定。Mead（1998）討論了將時間處理為一種 “分裂單元”（split-unit）因子而重復的測量發(fā)生在相同，而不是不同的實驗單元上的哲

6、學問題。隨著最近十年來復雜統(tǒng)計學軟件的發(fā)展，MANOVA的應用不再受到計算復雜性的限制，兩種方法都可以處理析因設計。我將簡要的回顧單變量和多變量方法，突出重要的方面，然后將詳細的討論一些的例子。8.2.1. 單變量重復測量分析用于重復測量的基本單變量設計就是隨機完全區(qū)組和裂區(qū)設計了。在最簡單的重復測量設計中，我們感興趣的是不同的處理水平施加于同一個體是否有顯著影響（如之前提到的植物光合作用的例子）。這可以用隨機區(qū)組ANOVA進行分析（第4章）。每一個體作為進行試驗處理的一個不同區(qū)組。這就類似于一個農(nóng)業(yè)實驗中，不同的肥料施到每一個區(qū)組中互相毗鄰的區(qū)域。用重復測量的行話來說，處理即是重復因子。心理

7、學家稱其為組內(nèi)因子（within-subject factor）。區(qū)組的目的是從誤差項中去除區(qū)組間或者試驗對象間的方差，使分析更加敏感。區(qū)組內(nèi)的一般假定比區(qū)組間更同質(zhì)化，所以進行試驗處理要施加在區(qū)組內(nèi)，或同一個試驗對象上。當時間是主體內(nèi)因子，每個試驗對象都有不同時間的觀測值。裂區(qū)設計（第4章）是隨機區(qū)組設計的自然擴展。農(nóng)業(yè)中的一個典型例子是灌溉如何影響施肥處理的效果。設想我們有很多田地或者是很多實驗區(qū)，一半灌溉，一半沒有。每個完整的實驗區(qū)又分成很多小塊，每個小塊內(nèi)施用一種水平的肥料。灌溉（或者不灌溉）在重復測量的行話中稱為組間因子（即實驗區(qū)間）。而肥料為組內(nèi)（裂區(qū)）因子。前面松鼠喂養(yǎng)不同食物的

8、重復觀察試驗也可以作為一個裂區(qū)設計的例子，食物是組間因子，每只松鼠是每種食物下的 “實驗區(qū)”或者試驗對象，日期是組內(nèi)因子。重述一下它的生態(tài)學問題：不同的飲食條件下，松鼠體重隨時間變化的格局是否一樣。雖然隨機區(qū)組和裂區(qū)設計有別于普通的ANOVA僅在于這兩種設計假定區(qū)組內(nèi)處理水平間有某種相關(guān)性，但是許多生態(tài)學家并未很好的認識這些設計還內(nèi)含一些關(guān)于主體內(nèi)因子水平的方差和協(xié)方差，以及它們之間關(guān)系的假定。具體而言，這些方法假定組內(nèi)內(nèi)因子水平間具有稱之為循環(huán)性（Circularity）的特征。在這些設計里，我們可以給組內(nèi)因子構(gòu)造一個方差協(xié)方差的平方矩陣（Square VarianceCovariance

9、Matrix）。組內(nèi)因子的每個水平的方差都會落在矩陣的對角線上，而不同水平間的協(xié)方差則占據(jù)了矩陣的其他位置。一個循環(huán)方差協(xié)方差矩陣具有如下特性：組內(nèi)因子任意兩個水平間差異的方差等于一個常數(shù)（Winer et al. 1991）。也就是說，如果取兩個組內(nèi)因子水平，將一個水平值減去另一個，以此得到的差值一定具有等同于任意兩個水平對的方差（Maxwell and Delaney 1990）。這種循環(huán)性的假定不如復合對稱性（Compound Symmetry）假定苛刻，后者假定所有方差都相等，所有協(xié)方差也互相一致。多年來，復合對稱性被認為是F統(tǒng)計運用到重復測量ANOVA中正確與否的一個條件；然而，Hu

10、ynh和Feldt (1970)證明了循環(huán)性條件即已足夠。所有具有復合對稱性的矩陣都是循環(huán)矩陣，但是不是所有的循環(huán)矩陣都具有復合對稱性。矩陣的另一個特征球形性（Sphericity）可用來評估方差協(xié)方差矩陣的循環(huán)性。正交變換得到互相獨立的（正交的）變換后變量，。這些變換后變量如果再換算（scaled）一下，使得每個變量系數(shù)的平方和等于1，這樣就得到一組正交變量（Stevens 1996）。一個變換為標準化正交形式的循環(huán)方差協(xié)方差矩陣即為球形的（Spherical）（Winer et al. 1991）。變換步驟如下：首先構(gòu)建一個矩陣，以正交對比（Orthogonal Contrasts）系數(shù)為

11、行；然后標準化這些系數(shù)（例子請見Winer et al. 1991，第244頁）。于是，該矩陣就能用于將方差協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為一個正交標準化的方差協(xié)方差矩陣。通過檢驗正交標準化形式的球形性可以判斷一個方差協(xié)方差矩陣的循環(huán)性。如果變換的方差協(xié)方差矩陣是球形的，那么初始的方差協(xié)方差矩陣一定是循環(huán)的。在一個球形方差協(xié)方差矩陣中，變換后變量的方差都相等，它們間的協(xié)方差等于0。有一些關(guān)于球形性的檢測方法，最流行的一種方法是Mauchly檢驗法（Crowder和Hand1990）。該方法中的檢測統(tǒng)計量W在01間變動（公式見Winer et al. 1991）。其中方差和協(xié)方差用的是正交標準化形式。W值離0越

12、近，則離球形性越遠（Winer et al. 1991）。Huynh和Mandeville（1979）的研究表明W對不符合正態(tài)性的情況很敏感，并且隨著樣本量增大這種敏感型趨勢會放大。OBrien和Kaiser（1985），Stevens（1986），Winer et al. (1991)都建議不要用W。在植物實驗的那個例子中，如果對每個植物的CO2水平的順序是隨機的，并且從一個CO2濃度到下一個濃度，不存在光合作用的殘留效應（carry-over effects），這樣的話，可能滿足循環(huán)性的假定。但是，如果時間是組內(nèi)因子，一般鄰近日期所測得數(shù)據(jù)間的相關(guān)性要高于其他不鄰近日期的數(shù)據(jù)，則循環(huán)性條件

13、不滿足。生態(tài)學家在很多情況下會進行了重復測量ANOVA分析，將時間作為組內(nèi)因子，但是卻不提循環(huán)性（或球形性）假定。不能滿足假定條件的后果就是組內(nèi)因子（及其相互作用）的F-統(tǒng)計量會膨脹，因而很可能將一個不顯著的效應檢測為具統(tǒng)計顯著性。當此假定條件無法滿足時，有兩個選擇，（1）調(diào)整F統(tǒng)計的自由度使其更加保守；或者（2）用多元方法分析數(shù)據(jù)。下面我們將討論這些。裂區(qū)設計中，由于存在組間因子，所以還有一個假定需要考慮。組內(nèi)因子水平間差異的方差-協(xié)方差矩陣，在所有組間因子水平上必須是同質(zhì)的。這就是說，如果我們有三個組間因子水平，在每個水平上計算得到一個組內(nèi)因子水平間差異的方差-協(xié)方差矩陣，這三個矩陣必須是

14、相同的，因為對組內(nèi)因子（以及它們與組間因子相互作用）的顯著性檢驗是基于合并方差-協(xié)方差矩陣。矩陣之間必須相等才能被合并在一起。合并的組內(nèi)因子水平間差異的方差-協(xié)方差矩陣還必須滿足循環(huán)性條件。組內(nèi)因子及其與組間因子的相互作用的顯著性檢驗對循環(huán)性假定十分敏感，在前面討論簡單組內(nèi)設計時涉及過此問題。顯著性檢驗對第二個關(guān)于方差-協(xié)方差矩陣同質(zhì)型假定穩(wěn)健，只要樣本大小是一致的。如果樣本大小不一致，則檢驗也難以穩(wěn)健了（Maxwell and Delaney 1990）。如果組內(nèi)或者組間影響顯著，就應該進行后繼的一些檢驗。OBrien和Kaiser（1985），Maxwell和Delaney（1990），S

15、tevens（1996）都討論涉及到重復測量設計中的追溯比較檢驗。需要著重指出計劃（先期）中的每個對比都包含特定的誤差項，而不是一個整體誤差項，這些對比不受循環(huán)性假定限制。其例可參考OBrien和Kaiser（1985）。盡管我只描述了有單一組內(nèi)和組間因子的簡單實驗設計，重復測量設計可以擴展成有多個組內(nèi)和組間因子的試驗。請參考Maxwell和Delaney（1990），Winer等（1991），Stevens（1996）以及本章8.4節(jié)的例子。8.2.2. 多變量重復測量分析重復測量數(shù)據(jù)也可以用MANOVA（見第6章）來分析。這種方法中，組內(nèi)因子每個水平的反應變量（Response Varia

16、ble）被處理成不同的因變量。在之前我們舉的植物例子中，每個CO2濃度下的光合速率都可以看成不同的反應變量。所以，如果有5個CO2水平，每個植物個體的反應就可用5個光合反應速率來表示，每個速率對應一個CO2濃度。MANOVA是設計用來同時分析多個相關(guān)變量反應的一種方法。MANOVA也常被用于分析重復測量數(shù)據(jù)，但與重復測量ANOVA不同，它不要求因變量間相關(guān)性一致。它假定方差協(xié)方差矩陣“沒有結(jié)構(gòu)”，即對方差協(xié)方差矩陣沒有特殊要求。用MANOVA分析前面松鼠的例子。因變量是6個測量日中每一次測量的體重，組間處理為飲食，目標是檢驗兩種飲食的平均反應向量(Mean Response Vector)是否

17、不同（見第6章）。盡管MANOVA避免了重復測量ANOVA中要求的循環(huán)性問題，MANOVA也有它自己的局限性。松鼠例子中，我提到每種飲食可以用6只松鼠(n)來做。MANOVA中可以分析的因變量（k）的數(shù)量取決于總樣本量（對象N，subjects）和組間處理的數(shù)目（組，M，groups）（Potvin et al. 1990b）。前提條件為（N-M>k）。松鼠例子中，數(shù)據(jù)是在6個測量日期，6只松鼠和2個處理水平下測得，所以這個條件是滿足的（12-2=10>k=6）。盡管N12是滿足條件的，但檢驗效力比較低。最好是加大樣本量或者減少測量日。檢驗效力隨著n：k比值增加而增加（Potvin

18、 et al. 1990b）。組內(nèi)因子水平數(shù)目的限制以及相應的低檢驗力問題，在MANOVA使用中是始終存在的（見第6章）。Stevens（1996）對MANOVA的檢驗力有一個很詳盡的討論，同時提到，如果懷疑檢驗力低時，有必要用較大的值。Maxwell和Delaney（1990）在重復測量設計中也討論了MANOVA的效力，并且給出了單組內(nèi)因子設計在不同檢驗力下所對應的取樣量估測表。同時，他們建議只有當(N-M>k9)的時候才用MANOVA（Maxwell and Delaney 1990, p676）。這個限制條件要求研究人員在實驗設計的開始就考慮重復量和組內(nèi)因子水平數(shù)量，而不是等實驗已

19、經(jīng)完成后，。Potvin等(1990b)建議用要求的最少數(shù)量且能充分描述一個反應的組內(nèi)因子水平，增加重復量，以期分析的檢驗力更高。在比較處理間不同水平的平均反應曲線差別時，MANOVA分析組合了兩個來源的組內(nèi)數(shù)據(jù)差別：不僅考慮了反應曲線形狀（shape）的差別，而且還考慮反應曲線水平（level）的差別（Harris 1985）。還是松鼠那個例子，不過僅考慮三個測量日（圖8-1）。如果生長曲線相互平行（圖8-1A），則表明兩種飲食下松鼠的生長模式相似（形狀），不然則表明生長曲線趨異（圖8-1B），兩者生長模式不同。如果生長曲線平行，且其中一條曲線顯著高于另一條（圖8-1A），那么隨時間推移，其

20、中一組松鼠將一直保持更高的體重（水平）。如果曲線是互相平行的，且?guī)缀趸ハ嘀丿B，這意味著飲食對體重沒有影響。最后一點，如果曲線是互相平行的，斜率顯著（即斜率>0），表明體重隨時間發(fā)生了變化，而如果曲線是水平的，則表明體重不隨時間變化。輪廓分析（Profile Analysis）能檢驗上述多變量反應中這三方面的顯著性，它經(jīng)常和MANOVA一起，被用于重復測量數(shù)據(jù)的分析（Harris 1985; OBrien and Kaiser 1985）。輪廓分析同時用到單邊量（ANOVA）和多變量（MANOVA）檢驗。通過檢驗特定假設來檢查上述三個方面。反應曲線間形狀比較是平行性假設檢驗（Paralle

21、lism Hypothesis）；曲線水平間比較是水平性假設檢驗（Level Hypothesis）；判斷反應曲線的平均斜率是否不等于零是平坦性假設檢驗（Flatness Hypothesis）。上述順序隱含著一層意思，平行性假設應該首先檢驗。因為如果曲線不水平，則水平性假設檢驗就會爭論不休。這類似于析因設計分析中，相互作用檢驗要先于主要影響因子的分析（Keppel 1991）。圖8-1與析因子設計分析中的交互性圖相似（Keppel 1991）。OBrien和Kaiser （1985）給出了重復測量分析中用輪廓分析所需要的大量先決條件。他們的方法在后面的例子中會繼續(xù)提到。輪廓分析還可以被用到多

22、變量分析中，而不僅重復測量（Morrison 1990）。一個生態(tài)學家常感興趣的不只是測量一個對象、或者一個實驗單元隨時間變化的某個反應變量。比如植物高度和葉面積之間具有某種相關(guān)，這種相關(guān)在植物競爭研究中備受關(guān)注。在群落生態(tài)學研究中，一個實驗單元（欄圈、獵物、原位生物群（mecocosm）經(jīng)常是有一批生物物種同時接受某種處理。共存于欄圈內(nèi)的物種的反應具潛在相關(guān)性，所以采用MANOVA分析這種問題比較合適。只有一個組內(nèi)因子，但對每個對象（實驗單元），測量不止一個反應變量，這種設計被稱為雙重多變量設計（Doubly Multivariate）。像普通的MANOVA一樣，雙重多變量設計中可以具有任意

23、數(shù)量的組間因子。在SAS說明書中給了一個雙重變量分析的例子（SAS Institute Inc. 1989b，第2章，例9），SPSS高級統(tǒng)計說明書的命令參考章節(jié)中也有相關(guān)的例子（Norusis 1990）。圖8-1輪廓分析：假設的6周松鼠體重變化，胡桃喂養(yǎng)的松鼠（虛線），橡子喂養(yǎng)的松鼠（實線）。（A）用于反映平行性和水平效應的曲線；（B）用于反映沒有平行性，即飲食×時間交互作用的曲線8.3. 舉例：只有一個組間和組內(nèi)因子第一個例子是裂區(qū)設計 (表8-1)。假設一種植物種在溫室花盆中，用兩種營養(yǎng)水平（低，高）處理，連續(xù)五周監(jiān)測每株植物的葉子總數(shù)。這個例子我們先用重復測量ANOVA分析

24、，然后再用MANOVA和輪廓分析發(fā)進行分析（8.3.2）8.3.1. 重復測量ANOVA我們前面講過，裂區(qū)設計應用到重復測量數(shù)據(jù)中，對象是“區(qū)”（plots），組內(nèi)因子是“小區(qū)”（subplots），每個對象分配給一個水平的組間處理。表8-1中，組內(nèi)因子是時間，組間因子是營養(yǎng)水平。表中數(shù)據(jù)的模型表述如下：Xijkik(i)jijjk(i)m(ijk)式中i表示營養(yǎng)處理對植物生長的影響；k(i)是嵌入相應營養(yǎng)水平內(nèi)研究對象（植物k-譯者）的影響，j 是時間影響；ij是營養(yǎng)和時間的相互作用；jk(i)是對象和時間的相互作用；m(ijk)是誤差項。另外m是一個虛擬的標記，表征實驗誤差嵌入個體觀測過程

25、中。模型中包含對象和時間的相互作用的目的是強調(diào)這種可能存在的相互作用，但是，對象×時間沒有重復，所以無法估計兩者的相互作用，從而成為組內(nèi)因子檢驗和組間因子相互作用檢驗的誤差來源之一（Winer et al. 1991）。此模型的期望均方假定營養(yǎng)和時間是確定因子（fixed factors），對象（植物）是隨機的，如表8-2所示。表8-1 一種植物假定連續(xù)5周的生長情況（每株植物葉子數(shù)目）。兩個營養(yǎng)水平：低（L），高（H）植株營養(yǎng)水平第1周第2周第3周第4周第5周1L4568102L346693L67910124L57810125L5678106H4699117H35710128H68

26、1110149H579101210H5891111如果用SAS來分析這種重復測量設計（不是雙重多變量），則重復測量ANOVA和輪廓分析可以在一個分析中同時做（見附錄）。步驟是：選擇SAS程序：平衡設計則選擇ANOVA，非平衡設計則選擇GLM，用CLASS語句（statement）列出組間因子，用MANOVA形式寫出MODEL語句，方程左邊是描述組內(nèi)因子水平的因變量，方程右邊是組間處理，在REPEATED語句中列出組內(nèi)因子的標記和水平數(shù)目。表8-1數(shù)據(jù)的分析結(jié)果列于表8-3。表8-2 重復測量ANOVA中期望的平方值（一個組間和一個組內(nèi)因子）a方差來源dfE（MS）組間np-1營養(yǎng)p-1C2+q

27、S2+nqN2組內(nèi)組間p(n-1)C2+ qS2組內(nèi)np(q-1)時間q-1C2TS2npT2營養(yǎng)×時間(p-1)(q-1)C2TS2nNT2組內(nèi)對象×時間p(n-1)(q-1)C2TS2aN2：營養(yǎng)導致的方差；S2：對象導致的方差；T2：時間導致的方差；C2：誤差方差注意，方差來源可分為組間影響（營養(yǎng)）和組內(nèi)影響兩部分。后者包括組內(nèi)主要影響（時間）組內(nèi)和組間相互作用影響（營養(yǎng)×時間）。通常我們采用重復測量設計是因為對對像間處理的效應隨時間變化的情況感興趣，即營養(yǎng)×時間相互作用，因此，這一項應是最先檢測的處理。表8-3第6列列出的相應F統(tǒng)計值概率（P&g

28、t;F）是在假定數(shù)據(jù)滿足循環(huán)性條件下計算出來的。基于這些概率，可以發(fā)現(xiàn)營養(yǎng)×時間的相互作用具統(tǒng)計顯著性（P<0.0321），這意味著施肥植物增加新葉的速度要快于未施肥者。統(tǒng)計顯著的時間效應（P<0.0001）表明葉平均數(shù)量隨時間增長，營養(yǎng)的單獨影響的F統(tǒng)計結(jié)果不具統(tǒng)計顯著性，由于相互作用具統(tǒng)計顯著性，這并不奇怪。表8-3 一個分割試驗設計的重復測量ANOVA分析aA.組間方差源dfMSFP>F營養(yǎng)116.822.60.1456誤差86.46修正的P>FB.組內(nèi)dfMSFP>FG-GH-F時間466.85158.220.00010.00010.0001營養(yǎng)

29、×時間41.273.010.03260.06660.0353誤差（時間)320.42GreenhouseGeisser的0.5882HuynhFeldt的0.9531 a P>F是未修正的概率，G-G和H-F分別是Greenhouse-Geisser和Huynh-Fedlt修正概率，他們各自有自己的修正的值（詳見正文）。如果數(shù)據(jù)的球形性不能滿足，組內(nèi)因子（及其相互作用）的F統(tǒng)計結(jié)果膨脹。根據(jù)對球形性假定的違背情況，目前發(fā)展了很多估計子（）可根據(jù)對球形性假定的違法嚴重程度選擇用來降低F統(tǒng)計的自由度，即在臨界F統(tǒng)計量的自由度乘上。Box（1954）基于“總體”的方差協(xié)方差矩陣，最先

30、為組內(nèi)設計（無組間因子）提出了計算公式。Geisser和Greenhouse（1958）將這種方法引用到裂區(qū)設計中。然而，由于未知（因為“總體”的方差協(xié)方差矩陣未知），必須從樣本的方差協(xié)方差矩陣中估計得到。這一點也額外增加了問題的復雜性：我們不知道樣本數(shù)據(jù)的不準確性如何影響的估計的，因而也無從知道其對修正的F統(tǒng)計自由度如何影響。出于這個原因，Greenhouse和Geisser（1959）建議了一種非常保守的方法，用能取到的最小值1/（k-1）來代替，其中k是組內(nèi)因子水平的數(shù)目。Collier等（1967）以及其他研究者檢驗了用樣本方差協(xié)方差矩陣估計而引入的偏差(Crowder和Hand 19

31、90）。從樣本得到的估計值表示為“”。當大于0.75，n(樣本量)小于2k時，很可能對自由度矯枉過正，從而使檢驗非常保守(Crowder和Hand 1990, Winer 等. 1991）。仍從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，Huynh和Feldt（1976）提出了一個偏離較小的估計值（）（其描述見Winer 等1991），盡管有些情況下，它的估計可能過于寬松（即I類錯誤）。SAS提供了Box的（）和HuynhFeldt的修正（）兩種調(diào)整方法，同時還給出組內(nèi)因子修正后F統(tǒng)計量的各自概率，并將這些作為重復測量ANOVA輸出結(jié)果的一部分（表8-3）。其中Box的在SAS中表示為GreenhouseGeisser的（

32、作者本人支持這種稱法）。但Maxwell和Delaney（1990）稱其為Geisser-Greenhouse的。這個值可以在0和1之間波動，而則可能大于1。后者當值大于1時，取值為1?；蛟叫。瑪?shù)據(jù)的球形性越差。因為， ，一般來說，是一個更保守的修正。隨樣本增加，兩個估計值趨于一致（Maxwell和Delaney 1990）。表8-1數(shù)據(jù)分析的值在表8-3的底端。大家可以看到，的修正比大。調(diào)整的F統(tǒng)計概率位于組內(nèi)處理組合的右側(cè)兩列。F統(tǒng)計修正后，營養(yǎng)×時間的交互作用在Greenhouse-Geisser修正后，統(tǒng)計上不再顯著，而HuynhFeldt修正后依然是顯著的。修正后，時間效應

33、的F統(tǒng)計概率都沒有變化。運用修正程序的時候，統(tǒng)計結(jié)果間不可能有完全的一致性，尤其是在用備擇的輪廓分析時，對比更明顯（見8.8.2節(jié)中備擇推薦方法間的比較）。8.3.2. 輪廓分析 MANOVA方法分析重復測量數(shù)據(jù)可以從同時考慮所有水平的組內(nèi)因子的數(shù)據(jù)中估計多變量檢驗統(tǒng)計量。相比之下，輪廓分析的信息量更充分，因為它分析組內(nèi)因子反應的格局。輪廓分析法回答關(guān)于平行性(parallelism)、水平性(levels)和平坦性(flatness)三種假設，通過將組內(nèi)重復測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成一組對比（contrasts）或差值數(shù)據(jù)，然后對這組數(shù)據(jù)進行單變量（t檢驗，ANOVA）或者多變量（Hotelling的T

34、2，MANOVA）分析。Potvin et al. (1990b)秤此方法為MANOVAR。下面我將詳細的介紹營養(yǎng)實驗（表8-1）的輪廓分析，先用前兩個星期的數(shù)據(jù)分析，然后用全部的數(shù)據(jù)。為進行對照，我先對前兩周數(shù)據(jù)的總體多元統(tǒng)計量進行估計，然后再對其進行輪廓分析。前兩周（兩個因變量）低和高營養(yǎng)水平的葉子數(shù)量用Hotelling的T2 多元比較得到：F5.69, df2, 7, P=0.034。這表明在同時考慮第一周和第二周的數(shù)據(jù)時，兩個營養(yǎng)水平的葉子數(shù)量是不同的。圖8-2假定植物分別在高營養(yǎng)（虛線）和低營養(yǎng)（實線）條件下連續(xù)生長5周。用輪廓分析來分析這兩周的數(shù)據(jù)，首先要檢驗兩組數(shù)據(jù)的反應曲線形

35、狀或者斜率是否相同（圖8-2）來檢驗平行性假設。這相當于重復測量ANOVA中檢驗是否有顯著營養(yǎng)×時間的相互作用。比較反應曲線的形狀，也就等于在問“兩個營養(yǎng)水平上兩周內(nèi)葉子數(shù)目的平均改變量是否相同”；換句話說，兩組各自的均差(d)比較結(jié)果如何（表8-4）？待檢驗的假設是H0：（N1-N2）（W1-W2），其中第一個下標（i）表示低的或者高的營養(yǎng)水平，第二個下標（j）是指第一周和第二周。對前兩周來說，低營養(yǎng)處理的d為1.2，高營養(yǎng)處理為2.0（應為2.2，原文計算有誤譯者）。t檢驗結(jié)果顯示這兩組差別顯著（t3.54, df8, P=0.008）。這說明營養(yǎng)×時間相互作用影響顯著

36、，以及葉子數(shù)目在高營養(yǎng)處理水平中增長更快。表8-4每株植物葉子數(shù)目的差別（表8.1所舉的例子） 相鄰兩周的差別植株營養(yǎng)水平2-13-24-35-41L11222L12033L12124L21225L1112平均值1.21.41.22.26H13027H22328H23-149H221210H3120平均值2.0 2.2 1.0 2.0 既然營養(yǎng)×時間相互作用顯著，水平性假設和平坦性假設的檢驗就沒什么意義了，但為了演示，下面將繼續(xù)解釋這兩種檢驗。水平性假設檢驗對營養(yǎng)主效應的檢驗。將每個對象第一周和第二周的值平均（第一周第二周）/2），然后用t檢驗比較兩組均值。要問的問題是“反應曲線水平

37、是否有差別”，或者說，用兩周均值比，高營養(yǎng)的植物是否比低營養(yǎng)植物葉子多。本例中，前兩周的營養(yǎng)處理影響不一致（t0.66, df8, p0.53）（此處有誤譯者），這與顯著營養(yǎng)×時間相互作用結(jié)果一致。最后要檢驗平坦性假設，或者說時間效應。我們再次用到對比變量（第一周和第二周之差），但這次是在營養(yǎng)水平上取平均。檢驗的問題是“對立變量的總平均是否不等于0”，這基本上就是一個配對t檢驗（Zar 1996, 第9章），并且不考慮營養(yǎng)處理組。用原來的反應變量就是要檢驗第一周和第二周間葉子數(shù)量是否增加（斜率>0），檢驗時，每一周中所有植物個體一起取平均。本例中，時間影響在第一、二周統(tǒng)計顯著（

38、t7.97, df9, P<0.0001），所以有一個總的不等于0的斜率?？偨Y(jié)一下，對于只有一個組間因子（營養(yǎng)）和一個組內(nèi)因子兩個水平（第一周，第二周）簡單的設計，我們可以采用的多元分析法有：（1）Hotelling的T2檢驗組間大體的差別，或者（2）輪廓分析（三個獨立的單變量檢驗），分別檢驗平行性、水平性和平坦性三種假設。由于輪廓分析是一個提供更多信息的方法，且可以在SAS（GLM程序和ANOVA程序）中進行，下面我將用這種方法分析表8.1中所有五天的數(shù)據(jù)。輪廓分析中的時間效應（平坦性）和營養(yǎng)×時間交互作用（平行性）是以鄰周間差（對比）為基礎進行分析的。5周的數(shù)據(jù)，則周間差數(shù)

39、據(jù)為4組。這4組周間差數(shù)據(jù)可以作為4組因變量，用MANOVA進行分析。在SAS中，這些差別（或稱對比，contrasts）是原始組內(nèi)數(shù)據(jù)的一種變換。這種變換與大多數(shù)生態(tài)學家在統(tǒng)計分析中熟知的變換不太一樣，后者常見的比如對數(shù)變換、平方根變換、反正弦變換等。我們這種差別變換，是將組內(nèi)因子的兩個水平轉(zhuǎn)換成一個。平行性假設檢驗中，用到的周間差有（第二周第一周），（第三周第二周），（第四周第三周），（第五周第四周）（表8.3）。轉(zhuǎn)換的結(jié)果可以被REPEATED語句識別為組內(nèi)因子（見附錄）。這個分析中用到的PROFILE語句可以利用組內(nèi)因子相鄰水平間的差別來產(chǎn)生對比變量。SAS中其它可用的變換在下面的章節(jié)

40、中將陸續(xù)談到。表8.5A是MANOVA對差別的分析結(jié)果。表的第二列顯示四種不同的多變量檢驗方法的統(tǒng)計量，第三列是與其同價的F統(tǒng)計量，最后一列是F統(tǒng)計量的概率。表中低概率（P=0.025）表明營養(yǎng)×時間相互作用影響統(tǒng)計顯著。因子輪廓分析的結(jié)果說明高營養(yǎng)水平和低營養(yǎng)水平的生長曲線斜率不同，這與重復測量ANOVA的分析結(jié)果一致（表8.3）。（不同的多變量檢驗統(tǒng)計方法在第章已經(jīng)討論）。平坦性（時間影響）假設檢驗從兩個營養(yǎng)水平平均來看，是否葉子數(shù)目隨時間有顯著增加。這次是檢驗四個時間差別組的總平均（全部營養(yǎng)水平的平均）是否等于0。同樣，MANOVA中得到的統(tǒng)計顯著的F值，表明葉子數(shù)目隨時間是增

41、加的（P<0.0001）(表8.5B)。輪廓分析中組間影響（即營養(yǎng)水平）檢驗與重復測量ANOVA是一樣的，兩者都是比較各個組間因子水平的組內(nèi)反應（時間）的均值差別（SAS Institute Inc. 1989b； Potvin et al. 1990b）。表8-5營養(yǎng)×時間交互作用、以及時間效應的MANOVA分析（表8.1的數(shù)據(jù)）a統(tǒng)計方法值FNum.dfDen.dfP>FA.營養(yǎng)×時間Wilks' lambda0.144772127.3843450.025Pillai's trace0.855227887.3843450.025Hotelli

42、ng-Lawley trace5.907407417.3843450.025Roy's greatest root5.907407417.3843450.025B.TimeWilks' lambda0.00848656146.0417450.025Pillai's trace0.99151344146.0417450.025Hotelling-Lawley trace116.8333333146.0417450.025Roy's greatest root116.8333333146.0417450.025a “Num.df”，”Den.df”分別表示分子和分母

43、的自由度如果我們對特定時間間隔中處理效應是否有差別感興趣，單個的ANOVA（F檢驗）可以針對每組對比進行檢驗。比如，我們可以對表8.4中每一組對比進行營養(yǎng)×時間相互作用或時間影響的顯著性進行檢驗。表8.6為這種分析結(jié)果。在每個對比變量各自的ANOVA分析中，“平均”（表中Mean）表示平坦性假設檢驗，即是否具有顯著的時間影響；“營養(yǎng)”（表中Nutrient）為平行性假設檢驗，檢驗是否具有顯著的營養(yǎng)×時間相互作用影響。請注意，在4組對比同時分析時，營養(yǎng)×時間的相互作用和時間影響都是顯著的，但是在個體ANOVA中，營養(yǎng)×時間相互作用影響只有第二周第一周是顯著

44、的。這說明由于營養(yǎng)處理導致的葉子數(shù)目顯著變化只出現(xiàn)在第一周和第二周間。這一個可以從對比的均值看出來（表8.3）。其他日期營養(yǎng)水平的周間差的均值，還沒有足夠大到顯著的水平，但是當所有一起分析時，他們對總差別仍有一定貢獻。表8-6 ANOVA分析組內(nèi)因子（時間）的每個對比變量（表8.1的數(shù)據(jù)）方差源dfMSFP>F對比變量：第二周第一周平均值128.9144.50.0001營養(yǎng)12.512.50.0077殘差80.2對比變量：第三周第二周平均值132.464.80.0001營養(yǎng)11.63.20.1114殘差80.5對比變量：第四周第三周平均值112.17.560.0251營養(yǎng)10.10.03

45、0.8089殘差81.6對比變量：第五周第四周平均值144.140.090.0002營養(yǎng)10.10.090.7707殘差81.1因為對比分析單個一一進行時，ANOVA被反復使用，所以必須根據(jù)檢驗次數(shù)修正全實驗的誤差率。為了保證總體的為0.05，表8.6中每組對比可用Bonnferroni修正0.05/4=0.0125。如果只對一組對比感興趣，那么不需要修正。像SAS這種統(tǒng)計軟件包會自動地對所有對比組進行MANOVA和ANOVA分析，但我們可以用ANOVA只檢驗我們所感興趣的對比組。需要強調(diào)，組內(nèi)因子可使用不同的變換（對比），但這并不影響MANOVA的輸出結(jié)果，因為多變量統(tǒng)計檢驗具有不變性（in

46、variance）的特性（Morrison 1990）。使用什么樣的變換，取決于想從組內(nèi)因子中找出什么樣的格局。SAS提供了5種不同的轉(zhuǎn)換選擇：輪廓（Profile）轉(zhuǎn)換，對比（Contrast）轉(zhuǎn)換，黑爾默特（Helmert）轉(zhuǎn)換,均值（Means）轉(zhuǎn)換和多項式（Polynomial）轉(zhuǎn)換。前面我們敘及從時間因子相鄰兩個水平差別產(chǎn)生的輪廓轉(zhuǎn)換。對比轉(zhuǎn)換時默認變換條件，其中一個水平的組內(nèi)因子作為對照，其它水平與其相比對。Potvin等（1990b）用了黑爾默特轉(zhuǎn)換：它將一個組內(nèi)因子水平和其后面組內(nèi)因子水平的均值進行比較。Mean變換是將每個組內(nèi)因子水平和剩下的其它水平的均值作比較。多項式轉(zhuǎn)換在

47、我們對組內(nèi)數(shù)據(jù)的趨勢感興趣，想看它們是否符合某種特定形式時尤其有用。比如，每株植物葉子數(shù)目隨時間的變化是否符合線、平方或者立方變化趨勢呢？這種方法的基礎是一組階次遞增的多項式，就像一組獨立（正交的）的對比，這種分析經(jīng)常被稱為趨勢分析（Winer et al. 1991）。正交多項式使我們可以問這樣的問題：數(shù)據(jù)是否有顯著的線性（一階）、平方（二階）或立方（三階）趨勢（Gurevitch和Chester 1986; Hand和Taylor1987）？假定k是組內(nèi)因子水平的數(shù)目，那么可以得到（k1）個多項式，盡管很多時候我們只感興趣低階趨勢（線性或者二次）的存在。分析組內(nèi)因子時，MANOVA同時考慮

48、從數(shù)據(jù)中獲得的所有階次多項式。與輪廓轉(zhuǎn)換一樣，我們可以用單個ANOVA檢測特定的多項式。檢驗正交多項式時，我們一般從高階到低階檢驗顯著性，當我們找到具有顯著性的某階多項式時，檢驗終止。因為高階多項式對大多數(shù)生態(tài)學數(shù)據(jù)來說都不合適，且檢驗數(shù)量增加會增加我們犯類錯誤的概率，所以多數(shù)情況下，選擇從立方或者平方開始分析數(shù)據(jù)的顯著性是比較合適的。表8-7 一階和二階正交多項式的個體ANOVA分析（表8.1的數(shù)據(jù)）方差dfMSFP>F對比變量：一階平均值1265.690 432.02 0.0001 營養(yǎng)12.890 4.70 0.0620 殘差80.615 對比變量：二階平均值10.007 0.03

49、 0.8651 營養(yǎng)12.064 8.86 0.0175 殘差80.232 用正交多項式分析表8.1植物生長數(shù)據(jù)（表8.7）。多變量分析的F值與表8.5相同，表8.7只顯示了個體F檢驗的結(jié)果。本例中我們只檢驗了平方和線性趨勢，SAS中還提供了立方趨勢分析。因為有兩個獨立的分析，設為0.025（0.05/2）,可以看到營養(yǎng)×時間相互作用存在一個顯著的平方趨勢（P=0.0175）。記住，SAS輸出的表中，“營養(yǎng)”表示營養(yǎng)×時間相互作用。所以低營養(yǎng)和高營養(yǎng)處理在葉子數(shù)目隨時間變化的平方上差別顯著。時間（Mean）不具顯著的平方趨勢，但線性趨勢顯著（P<0.0001），表明實

50、驗中葉子數(shù)目增加大體是一種線性趨勢。8.4. 多個組內(nèi)因子生態(tài)實驗或數(shù)據(jù)收集過程中，經(jīng)常會遇到這樣的情況，同一個個體的重復觀測又被析因分類（classified factorially），或同一個體在多組不同條件下進行觀測。在植物生長試驗中（表8.1），我們可能會將試驗繼續(xù)進行到下一年，看看第二年里，高營養(yǎng)條件是否繼續(xù)比低營養(yǎng)條件產(chǎn)生更多的葉子（表8.8）。這就是一個兩個組內(nèi)因子（周和年）的試驗設計。組內(nèi)因子處理如下：（1）在年間平均，檢驗是否有顯著的周效應；（2）周間平均，檢驗是否有顯著的年效應；（3）用一個合適對比，檢驗是否有顯著的周×年相互作用，換句話說，在營養(yǎng)水平間平均，植物

51、生長是否有年間差異？組間因子（營養(yǎng)）與其中每一個容斥（cross-classified），所以需要檢測營養(yǎng)處理與每個組內(nèi)因子（周、年），以及組內(nèi)因子相互作用（周×年）的相互作用。實際上，這是一個須最先檢測的三因子相互作用（營養(yǎng)×年×周）。需要強調(diào)的是這種多于一個組內(nèi)因子的設計既可以用重復測量ANOVA(Winer等 1991),又可以用輪廓分析（MANOVA）（OBrien和Kaiser 1985）來分析。乍一看，這種分析很復雜，事實上，只要我們順著組間因子和組內(nèi)因子走就并不復雜（表8.9）。在SAS程序MODEL語句中，如將兩年數(shù)據(jù)合并，將每一周數(shù)據(jù)看成一個因變

52、量，總共10個（附錄B）。和前面一樣，每個組內(nèi)因子水平數(shù)目列在REPEATED語句中。表8.9中，我僅列出了輪廓分析（MANOVA）結(jié)果，并將SAS的輸出結(jié)果壓縮。在組內(nèi)因子影響中，三向相互作用（營養(yǎng)×年×周）統(tǒng)計顯著，這意味著第一年里高營養(yǎng)植物比低營養(yǎng)植物產(chǎn)葉多，但第二年里不存在這種差別，所以營養(yǎng)處理不同年份有不同影響。與第一年數(shù)據(jù)分析結(jié)果一樣，營養(yǎng)主效應不顯著。ANOVA和正交多項式分析結(jié)果一樣。在OBrien和Kaiser（1985）書中有具體的兩組間因子和兩組內(nèi)因子的例子。表8-8 表.1中的植物繼續(xù)生長一年a植株營養(yǎng)水平第一年第二年12345123451L4568

53、10445792L346693468103L6791012346794L57810123468105L5678105567106H4699114457107H35710125568118H681110144467109H57910123457910H5891111557911a在低營養(yǎng)和高營養(yǎng)兩種條件下，在第一年和第二年分別連續(xù)測量了五周植物的葉子數(shù)目。每年春天，植物葉子數(shù)目增加需要5到周的時間，包括第一周的葉子萌動。到了冬天，葉子凋零。8.5. 重復測量的其他生態(tài)學例子前面我們一直關(guān)注的是時間為組內(nèi)因子的重復測量分析。生態(tài)學研究中其他重復測量的情況還有像生物個體或者試驗單元處在幾個不同條件下

54、，測定其某種反應。Potvin等（1990b）用的一個例子是，同一株植物暴露在不同的CO2濃度條件（組內(nèi)因子）下，比較各自的光合速率。該例包含兩個組間因子：植物來自兩個不同種群；另外在光合速率測量前，部分植物經(jīng)過冷處理。調(diào)查植物和食草昆蟲相互關(guān)系的研究人員會對來自不同種群的同一種昆蟲在不同植物種（或種群）上的適合度情況這樣的問題感興趣。研究的一個典型做法是：在不同植物種或不同植物種群（組內(nèi)因子）的葉子上飼養(yǎng)來自不同昆蟲種群（組間因子）的同一批卵中孵化出來的姊妹個體。Horton等（1991）對這種數(shù)據(jù)作了很詳細的分析，表明用重復測量設計來分析的話，會增強統(tǒng)計效力。一批卵在這里被看作為一個區(qū)組或

55、對象，每個昆蟲種群都有多個重復試驗的卵。在有些蛙類中，雌雄體色不同，而且很多會在不同顏色背景下變色。King和King（1991）研究了雌雄林蛙（Rana Sylvatica）（組間因子）顏色的差別，并且同一個體被暴露在不同的顏色背景下（組內(nèi)因子）。因為是在三個反應變量下分析顏色，所以這是一個雙重多變量設計。表8-9輪廓分析（MANOVA）結(jié)果（表8.8中的數(shù)據(jù)）aA.組間方差源MSdfFP>F營養(yǎng)13.6913.830.0861殘差3.588B.組內(nèi)方差源FNum.dfDen.dfP>F年（Y）14.47180.0052 周（W）135.14450.0001 年×周14.34450.0060 營養(yǎng)×年0.97180.3530 營養(yǎng)×周0.52450.7301 N×Y×W5.66450.0425 a所有的處理組合的四種MANOVA檢驗條件，得到的統(tǒng)計結(jié)果是一樣的?！癗um.df”，”Den.df”分別表示分子和分母的自由度8.6. 重復測量ANOVA和輪廓分析的替代方法隨因變量數(shù)量增加和樣本減小，MANOVA的效力會下降。MANOVA效力低的一個原因是對方差-協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)缺乏限制（Crowder和Hand 1990）。在一些情況下