重復(fù)測(cè)量分析

1、第8章重復(fù)測(cè)量分析生長(zhǎng)測(cè)量和其它時(shí)間依賴測(cè)量Carl N. Von Ende8.1. 重復(fù)測(cè)量問題有很多場(chǎng)合生態(tài)學(xué)家會(huì)對(duì)同一個(gè)體、同一試驗(yàn)單元或在同一取樣地點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量。最常見的是某個(gè)特征或者因子在不同時(shí)間被測(cè)量。比如，對(duì)不同的種群、地點(diǎn)或試驗(yàn)處理，我們可能感興趣于動(dòng)物體型大小、植物體大小、生存力(survivorship)、窩卵數(shù)、種群大小、營(yíng)養(yǎng)水平或者污染物水平如何隨時(shí)間變化。另一類型的重復(fù)測(cè)量研究包括將有機(jī)體個(gè)體置于某種試驗(yàn)處理的不同水平，測(cè)量在不同水平上的個(gè)體反應(yīng)。比如在植物生態(tài)生理學(xué)研究中，經(jīng)常將同一種植物暴露在一系列的不同CO2水平，測(cè)量光合速率（Potvin et al. 19

2、90b）。上面兩類研究都反映出了研究者們明晰的興趣對(duì)一種試驗(yàn)處理下，反應(yīng)隨時(shí)間、處理水平變化的格局或者形式。即使沒有對(duì)個(gè)體重復(fù)測(cè)量，也可以回答相同的問題。假設(shè)我們研究飲食對(duì)松鼠生長(zhǎng)的影響，具體地說，就是檢測(cè)一下三個(gè)月內(nèi)，吃橡子的松鼠生長(zhǎng)模式（growth pattern）和吃山胡桃的松鼠生長(zhǎng)模式是否不同。假定松鼠喂養(yǎng)是獨(dú)立的，試驗(yàn)開始日秤體重，之后每?jī)芍艹右淮危擦螠y(cè)量。六個(gè)測(cè)量日和兩種飼養(yǎng)策略，于是就有12種飲食×日期的組合。試驗(yàn)可以用兩種不同的方法進(jìn)行。比如我們可以在每個(gè)飲食×日期組合中測(cè)量三只松鼠。所有松鼠開始時(shí)間一樣，而且飼養(yǎng)規(guī)律化，但是每種飲食的每個(gè)測(cè)量日期都有

3、不同的松鼠被稱重。所以每只松鼠只有一次稱重的機(jī)會(huì)，試驗(yàn)將需要36只松鼠。另一種方法是，每種飲食中安排六只松鼠，所有的松鼠在每個(gè)測(cè)量日期都稱體重，所以每只松鼠要測(cè)量六次。第二種設(shè)計(jì)是一種重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)，僅需要12只松鼠。第一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以用雙因素ANOVA（飲食，日期）進(jìn)行分析，因?yàn)槊恳粋€(gè)飲食處理的任何一個(gè)日期的松鼠都與其他日期的松鼠獨(dú)立，但顯然這樣要比重復(fù)測(cè)量試驗(yàn)設(shè)計(jì)需要更多的動(dòng)物。然而用雙因子ANOVA分析第二種試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果并不合適，因?yàn)橥恢粍?dòng)物在試驗(yàn)中被重復(fù)測(cè)量多次，每只松鼠不同日期的體重并不是互相獨(dú)立的（重復(fù)間互相獨(dú)立是ANOVA中的一個(gè)基本假定）。第二種試驗(yàn)設(shè)計(jì)必須用重復(fù)測(cè)量分析（re

4、peated-measures analysis）方法，這種方法考慮動(dòng)物的重復(fù)測(cè)量和日期的相關(guān)性。過去，盡管很多生態(tài)學(xué)家從重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)試驗(yàn)中收集到了數(shù)據(jù)，但是他們經(jīng)常運(yùn)用“普通”的ANOVA對(duì)他們進(jìn)行不正確的分析，或者將數(shù)據(jù)硬“塞”到某個(gè)統(tǒng)計(jì)軟件包的重復(fù)測(cè)量分析中，不考慮某些重復(fù)測(cè)量分析中的基本假定，或者扔掉中間過程數(shù)據(jù)，用ANOVA只分析最終測(cè)量結(jié)果。隨著生態(tài)學(xué)家統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)水平的增長(zhǎng)，人們已經(jīng)不能接受前兩種數(shù)據(jù)處理方式，也不滿意最后一種方式。重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)在心理學(xué)和農(nóng)業(yè)中已經(jīng)被運(yùn)用已久（Snedecor and Cochran 1989; Winer et al. 1991），但是受到生態(tài)學(xué)家

5、特別關(guān)注也只是最近十來年的事（Gurevitch and Chester 1986; Potvin et al. 1990b）。在這一章，我將討論分析重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的各種參數(shù)方法。8.2. 統(tǒng)計(jì)學(xué)問題重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)可以用單變量或者多變量的參數(shù)方法分析。單變量分析是包括區(qū)組的ANOVA設(shè)計(jì)（隨機(jī)區(qū)組和裂區(qū)）（第4章）。MANOVA（第6章）則用于多變量分析。與MANOVA比，單變量分析計(jì)算簡(jiǎn)單，而且普遍認(rèn)為其統(tǒng)計(jì)效力強(qiáng)于MANVOVA，但是單變量分析也有更苛刻的假定。Mead（1998）討論了將時(shí)間處理為一種 “分裂單元”（split-unit）因子而重復(fù)的測(cè)量發(fā)生在相同，而不是不同的實(shí)驗(yàn)單元上的哲

6、學(xué)問題。隨著最近十年來復(fù)雜統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件的發(fā)展，MANOVA的應(yīng)用不再受到計(jì)算復(fù)雜性的限制，兩種方法都可以處理析因設(shè)計(jì)。我將簡(jiǎn)要的回顧單變量和多變量方法，突出重要的方面，然后將詳細(xì)的討論一些的例子。8.2.1. 單變量重復(fù)測(cè)量分析用于重復(fù)測(cè)量的基本單變量設(shè)計(jì)就是隨機(jī)完全區(qū)組和裂區(qū)設(shè)計(jì)了。在最簡(jiǎn)單的重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)中，我們感興趣的是不同的處理水平施加于同一個(gè)體是否有顯著影響（如之前提到的植物光合作用的例子）。這可以用隨機(jī)區(qū)組ANOVA進(jìn)行分析（第4章）。每一個(gè)體作為進(jìn)行試驗(yàn)處理的一個(gè)不同區(qū)組。這就類似于一個(gè)農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)中，不同的肥料施到每一個(gè)區(qū)組中互相毗鄰的區(qū)域。用重復(fù)測(cè)量的行話來說，處理即是重復(fù)因子。心理

7、學(xué)家稱其為組內(nèi)因子（within-subject factor）。區(qū)組的目的是從誤差項(xiàng)中去除區(qū)組間或者試驗(yàn)對(duì)象間的方差，使分析更加敏感。區(qū)組內(nèi)的一般假定比區(qū)組間更同質(zhì)化，所以進(jìn)行試驗(yàn)處理要施加在區(qū)組內(nèi)，或同一個(gè)試驗(yàn)對(duì)象上。當(dāng)時(shí)間是主體內(nèi)因子，每個(gè)試驗(yàn)對(duì)象都有不同時(shí)間的觀測(cè)值。裂區(qū)設(shè)計(jì)（第4章）是隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的自然擴(kuò)展。農(nóng)業(yè)中的一個(gè)典型例子是灌溉如何影響施肥處理的效果。設(shè)想我們有很多田地或者是很多實(shí)驗(yàn)區(qū)，一半灌溉，一半沒有。每個(gè)完整的實(shí)驗(yàn)區(qū)又分成很多小塊，每個(gè)小塊內(nèi)施用一種水平的肥料。灌溉（或者不灌溉）在重復(fù)測(cè)量的行話中稱為組間因子（即實(shí)驗(yàn)區(qū)間）。而肥料為組內(nèi)（裂區(qū)）因子。前面松鼠喂養(yǎng)不同食物的

8、重復(fù)觀察試驗(yàn)也可以作為一個(gè)裂區(qū)設(shè)計(jì)的例子，食物是組間因子，每只松鼠是每種食物下的 “實(shí)驗(yàn)區(qū)”或者試驗(yàn)對(duì)象，日期是組內(nèi)因子。重述一下它的生態(tài)學(xué)問題：不同的飲食條件下，松鼠體重隨時(shí)間變化的格局是否一樣。雖然隨機(jī)區(qū)組和裂區(qū)設(shè)計(jì)有別于普通的ANOVA僅在于這兩種設(shè)計(jì)假定區(qū)組內(nèi)處理水平間有某種相關(guān)性，但是許多生態(tài)學(xué)家并未很好的認(rèn)識(shí)這些設(shè)計(jì)還內(nèi)含一些關(guān)于主體內(nèi)因子水平的方差和協(xié)方差，以及它們之間關(guān)系的假定。具體而言，這些方法假定組內(nèi)內(nèi)因子水平間具有稱之為循環(huán)性（Circularity）的特征。在這些設(shè)計(jì)里，我們可以給組內(nèi)因子構(gòu)造一個(gè)方差協(xié)方差的平方矩陣（Square VarianceCovariance

9、Matrix）。組內(nèi)因子的每個(gè)水平的方差都會(huì)落在矩陣的對(duì)角線上，而不同水平間的協(xié)方差則占據(jù)了矩陣的其他位置。一個(gè)循環(huán)方差協(xié)方差矩陣具有如下特性：組內(nèi)因子任意兩個(gè)水平間差異的方差等于一個(gè)常數(shù)（Winer et al. 1991）。也就是說，如果取兩個(gè)組內(nèi)因子水平，將一個(gè)水平值減去另一個(gè)，以此得到的差值一定具有等同于任意兩個(gè)水平對(duì)的方差（Maxwell and Delaney 1990）。這種循環(huán)性的假定不如復(fù)合對(duì)稱性（Compound Symmetry）假定苛刻，后者假定所有方差都相等，所有協(xié)方差也互相一致。多年來，復(fù)合對(duì)稱性被認(rèn)為是F統(tǒng)計(jì)運(yùn)用到重復(fù)測(cè)量ANOVA中正確與否的一個(gè)條件；然而，Hu

10、ynh和Feldt (1970)證明了循環(huán)性條件即已足夠。所有具有復(fù)合對(duì)稱性的矩陣都是循環(huán)矩陣，但是不是所有的循環(huán)矩陣都具有復(fù)合對(duì)稱性。矩陣的另一個(gè)特征球形性（Sphericity）可用來評(píng)估方差協(xié)方差矩陣的循環(huán)性。正交變換得到互相獨(dú)立的（正交的）變換后變量，。這些變換后變量如果再換算（scaled）一下，使得每個(gè)變量系數(shù)的平方和等于1，這樣就得到一組正交變量（Stevens 1996）。一個(gè)變換為標(biāo)準(zhǔn)化正交形式的循環(huán)方差協(xié)方差矩陣即為球形的（Spherical）（Winer et al. 1991）。變換步驟如下：首先構(gòu)建一個(gè)矩陣，以正交對(duì)比（Orthogonal Contrasts）系數(shù)為

11、行；然后標(biāo)準(zhǔn)化這些系數(shù)（例子請(qǐng)見Winer et al. 1991，第244頁）。于是，該矩陣就能用于將方差協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為一個(gè)正交標(biāo)準(zhǔn)化的方差協(xié)方差矩陣。通過檢驗(yàn)正交標(biāo)準(zhǔn)化形式的球形性可以判斷一個(gè)方差協(xié)方差矩陣的循環(huán)性。如果變換的方差協(xié)方差矩陣是球形的，那么初始的方差協(xié)方差矩陣一定是循環(huán)的。在一個(gè)球形方差協(xié)方差矩陣中，變換后變量的方差都相等，它們間的協(xié)方差等于0。有一些關(guān)于球形性的檢測(cè)方法，最流行的一種方法是Mauchly檢驗(yàn)法（Crowder和Hand1990）。該方法中的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量W在01間變動(dòng)（公式見Winer et al. 1991）。其中方差和協(xié)方差用的是正交標(biāo)準(zhǔn)化形式。W值離0越

12、近，則離球形性越遠(yuǎn)（Winer et al. 1991）。Huynh和Mandeville（1979）的研究表明W對(duì)不符合正態(tài)性的情況很敏感，并且隨著樣本量增大這種敏感型趨勢(shì)會(huì)放大。OBrien和Kaiser（1985），Stevens（1986），Winer et al. (1991)都建議不要用W。在植物實(shí)驗(yàn)的那個(gè)例子中，如果對(duì)每個(gè)植物的CO2水平的順序是隨機(jī)的，并且從一個(gè)CO2濃度到下一個(gè)濃度，不存在光合作用的殘留效應(yīng)（carry-over effects），這樣的話，可能滿足循環(huán)性的假定。但是，如果時(shí)間是組內(nèi)因子，一般鄰近日期所測(cè)得數(shù)據(jù)間的相關(guān)性要高于其他不鄰近日期的數(shù)據(jù)，則循環(huán)性條件

13、不滿足。生態(tài)學(xué)家在很多情況下會(huì)進(jìn)行了重復(fù)測(cè)量ANOVA分析，將時(shí)間作為組內(nèi)因子，但是卻不提循環(huán)性（或球形性）假定。不能滿足假定條件的后果就是組內(nèi)因子（及其相互作用）的F-統(tǒng)計(jì)量會(huì)膨脹，因而很可能將一個(gè)不顯著的效應(yīng)檢測(cè)為具統(tǒng)計(jì)顯著性。當(dāng)此假定條件無法滿足時(shí)，有兩個(gè)選擇，（1）調(diào)整F統(tǒng)計(jì)的自由度使其更加保守；或者（2）用多元方法分析數(shù)據(jù)。下面我們將討論這些。裂區(qū)設(shè)計(jì)中，由于存在組間因子，所以還有一個(gè)假定需要考慮。組內(nèi)因子水平間差異的方差-協(xié)方差矩陣，在所有組間因子水平上必須是同質(zhì)的。這就是說，如果我們有三個(gè)組間因子水平，在每個(gè)水平上計(jì)算得到一個(gè)組內(nèi)因子水平間差異的方差-協(xié)方差矩陣，這三個(gè)矩陣必須是

14、相同的，因?yàn)閷?duì)組內(nèi)因子（以及它們與組間因子相互作用）的顯著性檢驗(yàn)是基于合并方差-協(xié)方差矩陣。矩陣之間必須相等才能被合并在一起。合并的組內(nèi)因子水平間差異的方差-協(xié)方差矩陣還必須滿足循環(huán)性條件。組內(nèi)因子及其與組間因子的相互作用的顯著性檢驗(yàn)對(duì)循環(huán)性假定十分敏感，在前面討論簡(jiǎn)單組內(nèi)設(shè)計(jì)時(shí)涉及過此問題。顯著性檢驗(yàn)對(duì)第二個(gè)關(guān)于方差-協(xié)方差矩陣同質(zhì)型假定穩(wěn)健，只要樣本大小是一致的。如果樣本大小不一致，則檢驗(yàn)也難以穩(wěn)健了（Maxwell and Delaney 1990）。如果組內(nèi)或者組間影響顯著，就應(yīng)該進(jìn)行后繼的一些檢驗(yàn)。OBrien和Kaiser（1985），Maxwell和Delaney（1990），S

15、tevens（1996）都討論涉及到重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)中的追溯比較檢驗(yàn)。需要著重指出計(jì)劃（先期）中的每個(gè)對(duì)比都包含特定的誤差項(xiàng)，而不是一個(gè)整體誤差項(xiàng)，這些對(duì)比不受循環(huán)性假定限制。其例可參考OBrien和Kaiser（1985）。盡管我只描述了有單一組內(nèi)和組間因子的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)可以擴(kuò)展成有多個(gè)組內(nèi)和組間因子的試驗(yàn)。請(qǐng)參考Maxwell和Delaney（1990），Winer等（1991），Stevens（1996）以及本章8.4節(jié)的例子。8.2.2. 多變量重復(fù)測(cè)量分析重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)也可以用MANOVA（見第6章）來分析。這種方法中，組內(nèi)因子每個(gè)水平的反應(yīng)變量（Response Varia

16、ble）被處理成不同的因變量。在之前我們舉的植物例子中，每個(gè)CO2濃度下的光合速率都可以看成不同的反應(yīng)變量。所以，如果有5個(gè)CO2水平，每個(gè)植物個(gè)體的反應(yīng)就可用5個(gè)光合反應(yīng)速率來表示，每個(gè)速率對(duì)應(yīng)一個(gè)CO2濃度。MANOVA是設(shè)計(jì)用來同時(shí)分析多個(gè)相關(guān)變量反應(yīng)的一種方法。MANOVA也常被用于分析重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)，但與重復(fù)測(cè)量ANOVA不同，它不要求因變量間相關(guān)性一致。它假定方差協(xié)方差矩陣“沒有結(jié)構(gòu)”，即對(duì)方差協(xié)方差矩陣沒有特殊要求。用MANOVA分析前面松鼠的例子。因變量是6個(gè)測(cè)量日中每一次測(cè)量的體重，組間處理為飲食，目標(biāo)是檢驗(yàn)兩種飲食的平均反應(yīng)向量(Mean Response Vector)是否

17、不同（見第6章）。盡管MANOVA避免了重復(fù)測(cè)量ANOVA中要求的循環(huán)性問題，MANOVA也有它自己的局限性。松鼠例子中，我提到每種飲食可以用6只松鼠(n)來做。MANOVA中可以分析的因變量（k）的數(shù)量取決于總樣本量（對(duì)象N，subjects）和組間處理的數(shù)目（組，M，groups）（Potvin et al. 1990b）。前提條件為（N-M>k）。松鼠例子中，數(shù)據(jù)是在6個(gè)測(cè)量日期，6只松鼠和2個(gè)處理水平下測(cè)得，所以這個(gè)條件是滿足的（12-2=10>k=6）。盡管N12是滿足條件的，但檢驗(yàn)效力比較低。最好是加大樣本量或者減少測(cè)量日。檢驗(yàn)效力隨著n：k比值增加而增加（Potvin

18、 et al. 1990b）。組內(nèi)因子水平數(shù)目的限制以及相應(yīng)的低檢驗(yàn)力問題，在MANOVA使用中是始終存在的（見第6章）。Stevens（1996）對(duì)MANOVA的檢驗(yàn)力有一個(gè)很詳盡的討論，同時(shí)提到，如果懷疑檢驗(yàn)力低時(shí)，有必要用較大的值。Maxwell和Delaney（1990）在重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)中也討論了MANOVA的效力，并且給出了單組內(nèi)因子設(shè)計(jì)在不同檢驗(yàn)力下所對(duì)應(yīng)的取樣量估測(cè)表。同時(shí)，他們建議只有當(dāng)(N-M>k9)的時(shí)候才用MANOVA（Maxwell and Delaney 1990, p676）。這個(gè)限制條件要求研究人員在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的開始就考慮重復(fù)量和組內(nèi)因子水平數(shù)量，而不是等實(shí)驗(yàn)已

19、經(jīng)完成后，。Potvin等(1990b)建議用要求的最少數(shù)量且能充分描述一個(gè)反應(yīng)的組內(nèi)因子水平，增加重復(fù)量，以期分析的檢驗(yàn)力更高。在比較處理間不同水平的平均反應(yīng)曲線差別時(shí)，MANOVA分析組合了兩個(gè)來源的組內(nèi)數(shù)據(jù)差別：不僅考慮了反應(yīng)曲線形狀（shape）的差別，而且還考慮反應(yīng)曲線水平（level）的差別（Harris 1985）。還是松鼠那個(gè)例子，不過僅考慮三個(gè)測(cè)量日（圖8-1）。如果生長(zhǎng)曲線相互平行（圖8-1A），則表明兩種飲食下松鼠的生長(zhǎng)模式相似（形狀），不然則表明生長(zhǎng)曲線趨異（圖8-1B），兩者生長(zhǎng)模式不同。如果生長(zhǎng)曲線平行，且其中一條曲線顯著高于另一條（圖8-1A），那么隨時(shí)間推移，其

20、中一組松鼠將一直保持更高的體重（水平）。如果曲線是互相平行的，且?guī)缀趸ハ嘀丿B，這意味著飲食對(duì)體重沒有影響。最后一點(diǎn)，如果曲線是互相平行的，斜率顯著（即斜率>0），表明體重隨時(shí)間發(fā)生了變化，而如果曲線是水平的，則表明體重不隨時(shí)間變化。輪廓分析（Profile Analysis）能檢驗(yàn)上述多變量反應(yīng)中這三方面的顯著性，它經(jīng)常和MANOVA一起，被用于重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的分析（Harris 1985; OBrien and Kaiser 1985）。輪廓分析同時(shí)用到單邊量（ANOVA）和多變量（MANOVA）檢驗(yàn)。通過檢驗(yàn)特定假設(shè)來檢查上述三個(gè)方面。反應(yīng)曲線間形狀比較是平行性假設(shè)檢驗(yàn)（Paralle

21、lism Hypothesis）；曲線水平間比較是水平性假設(shè)檢驗(yàn)（Level Hypothesis）；判斷反應(yīng)曲線的平均斜率是否不等于零是平坦性假設(shè)檢驗(yàn)（Flatness Hypothesis）。上述順序隱含著一層意思，平行性假設(shè)應(yīng)該首先檢驗(yàn)。因?yàn)槿绻€不水平，則水平性假設(shè)檢驗(yàn)就會(huì)爭(zhēng)論不休。這類似于析因設(shè)計(jì)分析中，相互作用檢驗(yàn)要先于主要影響因子的分析（Keppel 1991）。圖8-1與析因子設(shè)計(jì)分析中的交互性圖相似（Keppel 1991）。OBrien和Kaiser （1985）給出了重復(fù)測(cè)量分析中用輪廓分析所需要的大量先決條件。他們的方法在后面的例子中會(huì)繼續(xù)提到。輪廓分析還可以被用到多

22、變量分析中，而不僅重復(fù)測(cè)量（Morrison 1990）。一個(gè)生態(tài)學(xué)家常感興趣的不只是測(cè)量一個(gè)對(duì)象、或者一個(gè)實(shí)驗(yàn)單元隨時(shí)間變化的某個(gè)反應(yīng)變量。比如植物高度和葉面積之間具有某種相關(guān)，這種相關(guān)在植物競(jìng)爭(zhēng)研究中備受關(guān)注。在群落生態(tài)學(xué)研究中，一個(gè)實(shí)驗(yàn)單元（欄圈、獵物、原位生物群（mecocosm）經(jīng)常是有一批生物物種同時(shí)接受某種處理。共存于欄圈內(nèi)的物種的反應(yīng)具潛在相關(guān)性，所以采用MANOVA分析這種問題比較合適。只有一個(gè)組內(nèi)因子，但對(duì)每個(gè)對(duì)象（實(shí)驗(yàn)單元），測(cè)量不止一個(gè)反應(yīng)變量，這種設(shè)計(jì)被稱為雙重多變量設(shè)計(jì)（Doubly Multivariate）。像普通的MANOVA一樣，雙重多變量設(shè)計(jì)中可以具有任意

23、數(shù)量的組間因子。在SAS說明書中給了一個(gè)雙重變量分析的例子（SAS Institute Inc. 1989b，第2章，例9），SPSS高級(jí)統(tǒng)計(jì)說明書的命令參考章節(jié)中也有相關(guān)的例子（Norusis 1990）。圖8-1輪廓分析：假設(shè)的6周松鼠體重變化，胡桃喂養(yǎng)的松鼠（虛線），橡子喂養(yǎng)的松鼠（實(shí)線）。（A）用于反映平行性和水平效應(yīng)的曲線；（B）用于反映沒有平行性，即飲食×時(shí)間交互作用的曲線8.3. 舉例：只有一個(gè)組間和組內(nèi)因子第一個(gè)例子是裂區(qū)設(shè)計(jì) (表8-1)。假設(shè)一種植物種在溫室花盆中，用兩種營(yíng)養(yǎng)水平（低，高）處理，連續(xù)五周監(jiān)測(cè)每株植物的葉子總數(shù)。這個(gè)例子我們先用重復(fù)測(cè)量ANOVA分析

24、，然后再用MANOVA和輪廓分析發(fā)進(jìn)行分析（8.3.2）8.3.1. 重復(fù)測(cè)量ANOVA我們前面講過，裂區(qū)設(shè)計(jì)應(yīng)用到重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中，對(duì)象是“區(qū)”（plots），組內(nèi)因子是“小區(qū)”（subplots），每個(gè)對(duì)象分配給一個(gè)水平的組間處理。表8-1中，組內(nèi)因子是時(shí)間，組間因子是營(yíng)養(yǎng)水平。表中數(shù)據(jù)的模型表述如下：Xijkik(i)jijjk(i)m(ijk)式中i表示營(yíng)養(yǎng)處理對(duì)植物生長(zhǎng)的影響；k(i)是嵌入相應(yīng)營(yíng)養(yǎng)水平內(nèi)研究對(duì)象（植物k-譯者）的影響，j 是時(shí)間影響；ij是營(yíng)養(yǎng)和時(shí)間的相互作用；jk(i)是對(duì)象和時(shí)間的相互作用；m(ijk)是誤差項(xiàng)。另外m是一個(gè)虛擬的標(biāo)記，表征實(shí)驗(yàn)誤差嵌入個(gè)體觀測(cè)過程

25、中。模型中包含對(duì)象和時(shí)間的相互作用的目的是強(qiáng)調(diào)這種可能存在的相互作用，但是，對(duì)象×時(shí)間沒有重復(fù)，所以無法估計(jì)兩者的相互作用，從而成為組內(nèi)因子檢驗(yàn)和組間因子相互作用檢驗(yàn)的誤差來源之一（Winer et al. 1991）。此模型的期望均方假定營(yíng)養(yǎng)和時(shí)間是確定因子（fixed factors），對(duì)象（植物）是隨機(jī)的，如表8-2所示。表8-1 一種植物假定連續(xù)5周的生長(zhǎng)情況（每株植物葉子數(shù)目）。兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)水平：低（L），高（H）植株?duì)I養(yǎng)水平第1周第2周第3周第4周第5周1L4568102L346693L67910124L57810125L5678106H4699117H35710128H68

26、1110149H579101210H5891111如果用SAS來分析這種重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)（不是雙重多變量），則重復(fù)測(cè)量ANOVA和輪廓分析可以在一個(gè)分析中同時(shí)做（見附錄）。步驟是：選擇SAS程序：平衡設(shè)計(jì)則選擇ANOVA，非平衡設(shè)計(jì)則選擇GLM，用CLASS語句（statement）列出組間因子，用MANOVA形式寫出MODEL語句，方程左邊是描述組內(nèi)因子水平的因變量，方程右邊是組間處理，在REPEATED語句中列出組內(nèi)因子的標(biāo)記和水平數(shù)目。表8-1數(shù)據(jù)的分析結(jié)果列于表8-3。表8-2 重復(fù)測(cè)量ANOVA中期望的平方值（一個(gè)組間和一個(gè)組內(nèi)因子）a方差來源dfE（MS）組間np-1營(yíng)養(yǎng)p-1C2+q

27、S2+nqN2組內(nèi)組間p(n-1)C2+ qS2組內(nèi)np(q-1)時(shí)間q-1C2TS2npT2營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間(p-1)(q-1)C2TS2nNT2組內(nèi)對(duì)象×時(shí)間p(n-1)(q-1)C2TS2aN2：營(yíng)養(yǎng)導(dǎo)致的方差；S2：對(duì)象導(dǎo)致的方差；T2：時(shí)間導(dǎo)致的方差；C2：誤差方差注意，方差來源可分為組間影響（營(yíng)養(yǎng)）和組內(nèi)影響兩部分。后者包括組內(nèi)主要影響（時(shí)間）組內(nèi)和組間相互作用影響（營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間）。通常我們采用重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)是因?yàn)閷?duì)對(duì)像間處理的效應(yīng)隨時(shí)間變化的情況感興趣，即營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用，因此，這一項(xiàng)應(yīng)是最先檢測(cè)的處理。表8-3第6列列出的相應(yīng)F統(tǒng)計(jì)值概率（P&g

28、t;F）是在假定數(shù)據(jù)滿足循環(huán)性條件下計(jì)算出來的。基于這些概率，可以發(fā)現(xiàn)營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間的相互作用具統(tǒng)計(jì)顯著性（P<0.0321），這意味著施肥植物增加新葉的速度要快于未施肥者。統(tǒng)計(jì)顯著的時(shí)間效應(yīng)（P<0.0001）表明葉平均數(shù)量隨時(shí)間增長(zhǎng)，營(yíng)養(yǎng)的單獨(dú)影響的F統(tǒng)計(jì)結(jié)果不具統(tǒng)計(jì)顯著性，由于相互作用具統(tǒng)計(jì)顯著性，這并不奇怪。表8-3 一個(gè)分割試驗(yàn)設(shè)計(jì)的重復(fù)測(cè)量ANOVA分析aA.組間方差源dfMSFP>F營(yíng)養(yǎng)116.822.60.1456誤差86.46修正的P>FB.組內(nèi)dfMSFP>FG-GH-F時(shí)間466.85158.220.00010.00010.0001營(yíng)養(yǎng)

29、×時(shí)間41.273.010.03260.06660.0353誤差（時(shí)間)320.42GreenhouseGeisser的0.5882HuynhFeldt的0.9531 a P>F是未修正的概率，G-G和H-F分別是Greenhouse-Geisser和Huynh-Fedlt修正概率，他們各自有自己的修正的值（詳見正文）。如果數(shù)據(jù)的球形性不能滿足，組內(nèi)因子（及其相互作用）的F統(tǒng)計(jì)結(jié)果膨脹。根據(jù)對(duì)球形性假定的違背情況，目前發(fā)展了很多估計(jì)子（）可根據(jù)對(duì)球形性假定的違法嚴(yán)重程度選擇用來降低F統(tǒng)計(jì)的自由度，即在臨界F統(tǒng)計(jì)量的自由度乘上。Box（1954）基于“總體”的方差協(xié)方差矩陣，最先

30、為組內(nèi)設(shè)計(jì)（無組間因子）提出了計(jì)算公式。Geisser和Greenhouse（1958）將這種方法引用到裂區(qū)設(shè)計(jì)中。然而，由于未知（因?yàn)椤翱傮w”的方差協(xié)方差矩陣未知），必須從樣本的方差協(xié)方差矩陣中估計(jì)得到。這一點(diǎn)也額外增加了問題的復(fù)雜性：我們不知道樣本數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確性如何影響的估計(jì)的，因而也無從知道其對(duì)修正的F統(tǒng)計(jì)自由度如何影響。出于這個(gè)原因，Greenhouse和Geisser（1959）建議了一種非常保守的方法，用能取到的最小值1/（k-1）來代替，其中k是組內(nèi)因子水平的數(shù)目。Collier等（1967）以及其他研究者檢驗(yàn)了用樣本方差協(xié)方差矩陣估計(jì)而引入的偏差(Crowder和Hand 19

31、90）。從樣本得到的估計(jì)值表示為“”。當(dāng)大于0.75，n(樣本量)小于2k時(shí)，很可能對(duì)自由度矯枉過正，從而使檢驗(yàn)非常保守(Crowder和Hand 1990, Winer 等. 1991）。仍從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，Huynh和Feldt（1976）提出了一個(gè)偏離較小的估計(jì)值（）（其描述見Winer 等1991），盡管有些情況下，它的估計(jì)可能過于寬松（即I類錯(cuò)誤）。SAS提供了Box的（）和HuynhFeldt的修正（）兩種調(diào)整方法，同時(shí)還給出組內(nèi)因子修正后F統(tǒng)計(jì)量的各自概率，并將這些作為重復(fù)測(cè)量ANOVA輸出結(jié)果的一部分（表8-3）。其中Box的在SAS中表示為GreenhouseGeisser的（

32、作者本人支持這種稱法）。但Maxwell和Delaney（1990）稱其為Geisser-Greenhouse的。這個(gè)值可以在0和1之間波動(dòng)，而則可能大于1。后者當(dāng)值大于1時(shí)，取值為1?；蛟叫。瑪?shù)據(jù)的球形性越差。因?yàn)椋?，一般來說，是一個(gè)更保守的修正。隨樣本增加，兩個(gè)估計(jì)值趨于一致（Maxwell和Delaney 1990）。表8-1數(shù)據(jù)分析的值在表8-3的底端。大家可以看到，的修正比大。調(diào)整的F統(tǒng)計(jì)概率位于組內(nèi)處理組合的右側(cè)兩列。F統(tǒng)計(jì)修正后，營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間的交互作用在Greenhouse-Geisser修正后，統(tǒng)計(jì)上不再顯著，而HuynhFeldt修正后依然是顯著的。修正后，時(shí)間效應(yīng)

33、的F統(tǒng)計(jì)概率都沒有變化。運(yùn)用修正程序的時(shí)候，統(tǒng)計(jì)結(jié)果間不可能有完全的一致性，尤其是在用備擇的輪廓分析時(shí)，對(duì)比更明顯（見8.8.2節(jié)中備擇推薦方法間的比較）。8.3.2. 輪廓分析 MANOVA方法分析重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)可以從同時(shí)考慮所有水平的組內(nèi)因子的數(shù)據(jù)中估計(jì)多變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。相比之下，輪廓分析的信息量更充分，因?yàn)樗治鼋M內(nèi)因子反應(yīng)的格局。輪廓分析法回答關(guān)于平行性(parallelism)、水平性(levels)和平坦性(flatness)三種假設(shè)，通過將組內(nèi)重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成一組對(duì)比（contrasts）或差值數(shù)據(jù)，然后對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行單變量（t檢驗(yàn)，ANOVA）或者多變量（Hotelling的T

34、2，MANOVA）分析。Potvin et al. (1990b)秤此方法為MANOVAR。下面我將詳細(xì)的介紹營(yíng)養(yǎng)實(shí)驗(yàn)（表8-1）的輪廓分析，先用前兩個(gè)星期的數(shù)據(jù)分析，然后用全部的數(shù)據(jù)。為進(jìn)行對(duì)照，我先對(duì)前兩周數(shù)據(jù)的總體多元統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)，然后再對(duì)其進(jìn)行輪廓分析。前兩周（兩個(gè)因變量）低和高營(yíng)養(yǎng)水平的葉子數(shù)量用Hotelling的T2 多元比較得到：F5.69, df2, 7, P=0.034。這表明在同時(shí)考慮第一周和第二周的數(shù)據(jù)時(shí)，兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)水平的葉子數(shù)量是不同的。圖8-2假定植物分別在高營(yíng)養(yǎng)（虛線）和低營(yíng)養(yǎng)（實(shí)線）條件下連續(xù)生長(zhǎng)5周。用輪廓分析來分析這兩周的數(shù)據(jù)，首先要檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)的反應(yīng)曲線形

35、狀或者斜率是否相同（圖8-2）來檢驗(yàn)平行性假設(shè)。這相當(dāng)于重復(fù)測(cè)量ANOVA中檢驗(yàn)是否有顯著營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間的相互作用。比較反應(yīng)曲線的形狀，也就等于在問“兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)水平上兩周內(nèi)葉子數(shù)目的平均改變量是否相同”；換句話說，兩組各自的均差(d)比較結(jié)果如何（表8-4）？待檢驗(yàn)的假設(shè)是H0：（N1-N2）（W1-W2），其中第一個(gè)下標(biāo)（i）表示低的或者高的營(yíng)養(yǎng)水平，第二個(gè)下標(biāo)（j）是指第一周和第二周。對(duì)前兩周來說，低營(yíng)養(yǎng)處理的d為1.2，高營(yíng)養(yǎng)處理為2.0（應(yīng)為2.2，原文計(jì)算有誤譯者）。t檢驗(yàn)結(jié)果顯示這兩組差別顯著（t3.54, df8, P=0.008）。這說明營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用影響顯著

36、，以及葉子數(shù)目在高營(yíng)養(yǎng)處理水平中增長(zhǎng)更快。表8-4每株植物葉子數(shù)目的差別（表8.1所舉的例子） 相鄰兩周的差別植株?duì)I養(yǎng)水平2-13-24-35-41L11222L12033L12124L21225L1112平均值1.21.41.22.26H13027H22328H23-149H221210H3120平均值2.0 2.2 1.0 2.0 既然營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用顯著，水平性假設(shè)和平坦性假設(shè)的檢驗(yàn)就沒什么意義了，但為了演示，下面將繼續(xù)解釋這兩種檢驗(yàn)。水平性假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)營(yíng)養(yǎng)主效應(yīng)的檢驗(yàn)。將每個(gè)對(duì)象第一周和第二周的值平均（第一周第二周）/2），然后用t檢驗(yàn)比較兩組均值。要問的問題是“反應(yīng)曲線水平

37、是否有差別”，或者說，用兩周均值比，高營(yíng)養(yǎng)的植物是否比低營(yíng)養(yǎng)植物葉子多。本例中，前兩周的營(yíng)養(yǎng)處理影響不一致（t0.66, df8, p0.53）（此處有誤譯者），這與顯著營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用結(jié)果一致。最后要檢驗(yàn)平坦性假設(shè)，或者說時(shí)間效應(yīng)。我們?cè)俅斡玫綄?duì)比變量（第一周和第二周之差），但這次是在營(yíng)養(yǎng)水平上取平均。檢驗(yàn)的問題是“對(duì)立變量的總平均是否不等于0”，這基本上就是一個(gè)配對(duì)t檢驗(yàn)（Zar 1996, 第9章），并且不考慮營(yíng)養(yǎng)處理組。用原來的反應(yīng)變量就是要檢驗(yàn)第一周和第二周間葉子數(shù)量是否增加（斜率>0），檢驗(yàn)時(shí)，每一周中所有植物個(gè)體一起取平均。本例中，時(shí)間影響在第一、二周統(tǒng)計(jì)顯著（

38、t7.97, df9, P<0.0001），所以有一個(gè)總的不等于0的斜率?？偨Y(jié)一下，對(duì)于只有一個(gè)組間因子（營(yíng)養(yǎng)）和一個(gè)組內(nèi)因子兩個(gè)水平（第一周，第二周）簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)，我們可以采用的多元分析法有：（1）Hotelling的T2檢驗(yàn)組間大體的差別，或者（2）輪廓分析（三個(gè)獨(dú)立的單變量檢驗(yàn)），分別檢驗(yàn)平行性、水平性和平坦性三種假設(shè)。由于輪廓分析是一個(gè)提供更多信息的方法，且可以在SAS（GLM程序和ANOVA程序）中進(jìn)行，下面我將用這種方法分析表8.1中所有五天的數(shù)據(jù)。輪廓分析中的時(shí)間效應(yīng)（平坦性）和營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間交互作用（平行性）是以鄰周間差（對(duì)比）為基礎(chǔ)進(jìn)行分析的。5周的數(shù)據(jù)，則周間差數(shù)

39、據(jù)為4組。這4組周間差數(shù)據(jù)可以作為4組因變量，用MANOVA進(jìn)行分析。在SAS中，這些差別（或稱對(duì)比，contrasts）是原始組內(nèi)數(shù)據(jù)的一種變換。這種變換與大多數(shù)生態(tài)學(xué)家在統(tǒng)計(jì)分析中熟知的變換不太一樣，后者常見的比如對(duì)數(shù)變換、平方根變換、反正弦變換等。我們這種差別變換，是將組內(nèi)因子的兩個(gè)水平轉(zhuǎn)換成一個(gè)。平行性假設(shè)檢驗(yàn)中，用到的周間差有（第二周第一周），（第三周第二周），（第四周第三周），（第五周第四周）（表8.3）。轉(zhuǎn)換的結(jié)果可以被REPEATED語句識(shí)別為組內(nèi)因子（見附錄）。這個(gè)分析中用到的PROFILE語句可以利用組內(nèi)因子相鄰水平間的差別來產(chǎn)生對(duì)比變量。SAS中其它可用的變換在下面的章節(jié)

40、中將陸續(xù)談到。表8.5A是MANOVA對(duì)差別的分析結(jié)果。表的第二列顯示四種不同的多變量檢驗(yàn)方法的統(tǒng)計(jì)量，第三列是與其同價(jià)的F統(tǒng)計(jì)量，最后一列是F統(tǒng)計(jì)量的概率。表中低概率（P=0.025）表明營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用影響統(tǒng)計(jì)顯著。因子輪廓分析的結(jié)果說明高營(yíng)養(yǎng)水平和低營(yíng)養(yǎng)水平的生長(zhǎng)曲線斜率不同，這與重復(fù)測(cè)量ANOVA的分析結(jié)果一致（表8.3）。（不同的多變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法在第章已經(jīng)討論）。平坦性（時(shí)間影響）假設(shè)檢驗(yàn)從兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)水平平均來看，是否葉子數(shù)目隨時(shí)間有顯著增加。這次是檢驗(yàn)四個(gè)時(shí)間差別組的總平均（全部營(yíng)養(yǎng)水平的平均）是否等于0。同樣，MANOVA中得到的統(tǒng)計(jì)顯著的F值，表明葉子數(shù)目隨時(shí)間是增

41、加的（P<0.0001）(表8.5B)。輪廓分析中組間影響（即營(yíng)養(yǎng)水平）檢驗(yàn)與重復(fù)測(cè)量ANOVA是一樣的，兩者都是比較各個(gè)組間因子水平的組內(nèi)反應(yīng)（時(shí)間）的均值差別（SAS Institute Inc. 1989b； Potvin et al. 1990b）。表8-5營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間交互作用、以及時(shí)間效應(yīng)的MANOVA分析（表8.1的數(shù)據(jù)）a統(tǒng)計(jì)方法值FNum.dfDen.dfP>FA.營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間Wilks' lambda0.144772127.3843450.025Pillai's trace0.855227887.3843450.025Hotelli

42、ng-Lawley trace5.907407417.3843450.025Roy's greatest root5.907407417.3843450.025B.TimeWilks' lambda0.00848656146.0417450.025Pillai's trace0.99151344146.0417450.025Hotelling-Lawley trace116.8333333146.0417450.025Roy's greatest root116.8333333146.0417450.025a “Num.df”，”Den.df”分別表示分子和分母

43、的自由度如果我們對(duì)特定時(shí)間間隔中處理效應(yīng)是否有差別感興趣，單個(gè)的ANOVA（F檢驗(yàn)）可以針對(duì)每組對(duì)比進(jìn)行檢驗(yàn)。比如，我們可以對(duì)表8.4中每一組對(duì)比進(jìn)行營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用或時(shí)間影響的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。表8.6為這種分析結(jié)果。在每個(gè)對(duì)比變量各自的ANOVA分析中，“平均”（表中Mean）表示平坦性假設(shè)檢驗(yàn)，即是否具有顯著的時(shí)間影響；“營(yíng)養(yǎng)”（表中Nutrient）為平行性假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是否具有顯著的營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用影響。請(qǐng)注意，在4組對(duì)比同時(shí)分析時(shí)，營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間的相互作用和時(shí)間影響都是顯著的，但是在個(gè)體ANOVA中，營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用影響只有第二周第一周是顯著

44、的。這說明由于營(yíng)養(yǎng)處理導(dǎo)致的葉子數(shù)目顯著變化只出現(xiàn)在第一周和第二周間。這一個(gè)可以從對(duì)比的均值看出來（表8.3）。其他日期營(yíng)養(yǎng)水平的周間差的均值，還沒有足夠大到顯著的水平，但是當(dāng)所有一起分析時(shí)，他們對(duì)總差別仍有一定貢獻(xiàn)。表8-6 ANOVA分析組內(nèi)因子（時(shí)間）的每個(gè)對(duì)比變量（表8.1的數(shù)據(jù)）方差源dfMSFP>F對(duì)比變量：第二周第一周平均值128.9144.50.0001營(yíng)養(yǎng)12.512.50.0077殘差80.2對(duì)比變量：第三周第二周平均值132.464.80.0001營(yíng)養(yǎng)11.63.20.1114殘差80.5對(duì)比變量：第四周第三周平均值112.17.560.0251營(yíng)養(yǎng)10.10.03

45、0.8089殘差81.6對(duì)比變量：第五周第四周平均值144.140.090.0002營(yíng)養(yǎng)10.10.090.7707殘差81.1因?yàn)閷?duì)比分析單個(gè)一一進(jìn)行時(shí)，ANOVA被反復(fù)使用，所以必須根據(jù)檢驗(yàn)次數(shù)修正全實(shí)驗(yàn)的誤差率。為了保證總體的為0.05，表8.6中每組對(duì)比可用Bonnferroni修正0.05/4=0.0125。如果只對(duì)一組對(duì)比感興趣，那么不需要修正。像SAS這種統(tǒng)計(jì)軟件包會(huì)自動(dòng)地對(duì)所有對(duì)比組進(jìn)行MANOVA和ANOVA分析，但我們可以用ANOVA只檢驗(yàn)我們所感興趣的對(duì)比組。需要強(qiáng)調(diào)，組內(nèi)因子可使用不同的變換（對(duì)比），但這并不影響MANOVA的輸出結(jié)果，因?yàn)槎嘧兞拷y(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)具有不變性（in

46、variance）的特性（Morrison 1990）。使用什么樣的變換，取決于想從組內(nèi)因子中找出什么樣的格局。SAS提供了5種不同的轉(zhuǎn)換選擇：輪廓（Profile）轉(zhuǎn)換，對(duì)比（Contrast）轉(zhuǎn)換，黑爾默特（Helmert）轉(zhuǎn)換,均值（Means）轉(zhuǎn)換和多項(xiàng)式（Polynomial）轉(zhuǎn)換。前面我們敘及從時(shí)間因子相鄰兩個(gè)水平差別產(chǎn)生的輪廓轉(zhuǎn)換。對(duì)比轉(zhuǎn)換時(shí)默認(rèn)變換條件，其中一個(gè)水平的組內(nèi)因子作為對(duì)照，其它水平與其相比對(duì)。Potvin等（1990b）用了黑爾默特轉(zhuǎn)換：它將一個(gè)組內(nèi)因子水平和其后面組內(nèi)因子水平的均值進(jìn)行比較。Mean變換是將每個(gè)組內(nèi)因子水平和剩下的其它水平的均值作比較。多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換在

47、我們對(duì)組內(nèi)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)感興趣，想看它們是否符合某種特定形式時(shí)尤其有用。比如，每株植物葉子數(shù)目隨時(shí)間的變化是否符合線、平方或者立方變化趨勢(shì)呢？這種方法的基礎(chǔ)是一組階次遞增的多項(xiàng)式，就像一組獨(dú)立（正交的）的對(duì)比，這種分析經(jīng)常被稱為趨勢(shì)分析（Winer et al. 1991）。正交多項(xiàng)式使我們可以問這樣的問題：數(shù)據(jù)是否有顯著的線性（一階）、平方（二階）或立方（三階）趨勢(shì)（Gurevitch和Chester 1986; Hand和Taylor1987）？假定k是組內(nèi)因子水平的數(shù)目，那么可以得到（k1）個(gè)多項(xiàng)式，盡管很多時(shí)候我們只感興趣低階趨勢(shì)（線性或者二次）的存在。分析組內(nèi)因子時(shí)，MANOVA同時(shí)考慮

48、從數(shù)據(jù)中獲得的所有階次多項(xiàng)式。與輪廓轉(zhuǎn)換一樣，我們可以用單個(gè)ANOVA檢測(cè)特定的多項(xiàng)式。檢驗(yàn)正交多項(xiàng)式時(shí)，我們一般從高階到低階檢驗(yàn)顯著性，當(dāng)我們找到具有顯著性的某階多項(xiàng)式時(shí)，檢驗(yàn)終止。因?yàn)楦唠A多項(xiàng)式對(duì)大多數(shù)生態(tài)學(xué)數(shù)據(jù)來說都不合適，且檢驗(yàn)數(shù)量增加會(huì)增加我們犯類錯(cuò)誤的概率，所以多數(shù)情況下，選擇從立方或者平方開始分析數(shù)據(jù)的顯著性是比較合適的。表8-7 一階和二階正交多項(xiàng)式的個(gè)體ANOVA分析（表8.1的數(shù)據(jù)）方差dfMSFP>F對(duì)比變量：一階平均值1265.690 432.02 0.0001 營(yíng)養(yǎng)12.890 4.70 0.0620 殘差80.615 對(duì)比變量：二階平均值10.007 0.03

49、 0.8651 營(yíng)養(yǎng)12.064 8.86 0.0175 殘差80.232 用正交多項(xiàng)式分析表8.1植物生長(zhǎng)數(shù)據(jù)（表8.7）。多變量分析的F值與表8.5相同，表8.7只顯示了個(gè)體F檢驗(yàn)的結(jié)果。本例中我們只檢驗(yàn)了平方和線性趨勢(shì)，SAS中還提供了立方趨勢(shì)分析。因?yàn)橛袃蓚€(gè)獨(dú)立的分析，設(shè)為0.025（0.05/2）,可以看到營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用存在一個(gè)顯著的平方趨勢(shì)（P=0.0175）。記住，SAS輸出的表中，“營(yíng)養(yǎng)”表示營(yíng)養(yǎng)×時(shí)間相互作用。所以低營(yíng)養(yǎng)和高營(yíng)養(yǎng)處理在葉子數(shù)目隨時(shí)間變化的平方上差別顯著。時(shí)間（Mean）不具顯著的平方趨勢(shì)，但線性趨勢(shì)顯著（P<0.0001），表明實(shí)

50、驗(yàn)中葉子數(shù)目增加大體是一種線性趨勢(shì)。8.4. 多個(gè)組內(nèi)因子生態(tài)實(shí)驗(yàn)或數(shù)據(jù)收集過程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，同一個(gè)個(gè)體的重復(fù)觀測(cè)又被析因分類（classified factorially），或同一個(gè)體在多組不同條件下進(jìn)行觀測(cè)。在植物生長(zhǎng)試驗(yàn)中（表8.1），我們可能會(huì)將試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行到下一年，看看第二年里，高營(yíng)養(yǎng)條件是否繼續(xù)比低營(yíng)養(yǎng)條件產(chǎn)生更多的葉子（表8.8）。這就是一個(gè)兩個(gè)組內(nèi)因子（周和年）的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。組內(nèi)因子處理如下：（1）在年間平均，檢驗(yàn)是否有顯著的周效應(yīng)；（2）周間平均，檢驗(yàn)是否有顯著的年效應(yīng)；（3）用一個(gè)合適對(duì)比，檢驗(yàn)是否有顯著的周×年相互作用，換句話說，在營(yíng)養(yǎng)水平間平均，植物

51、生長(zhǎng)是否有年間差異？組間因子（營(yíng)養(yǎng)）與其中每一個(gè)容斥（cross-classified），所以需要檢測(cè)營(yíng)養(yǎng)處理與每個(gè)組內(nèi)因子（周、年），以及組內(nèi)因子相互作用（周×年）的相互作用。實(shí)際上，這是一個(gè)須最先檢測(cè)的三因子相互作用（營(yíng)養(yǎng)×年×周）。需要強(qiáng)調(diào)的是這種多于一個(gè)組內(nèi)因子的設(shè)計(jì)既可以用重復(fù)測(cè)量ANOVA(Winer等 1991),又可以用輪廓分析（MANOVA）（OBrien和Kaiser 1985）來分析。乍一看，這種分析很復(fù)雜，事實(shí)上，只要我們順著組間因子和組內(nèi)因子走就并不復(fù)雜（表8.9）。在SAS程序MODEL語句中，如將兩年數(shù)據(jù)合并，將每一周數(shù)據(jù)看成一個(gè)因變

52、量，總共10個(gè)（附錄B）。和前面一樣，每個(gè)組內(nèi)因子水平數(shù)目列在REPEATED語句中。表8.9中，我僅列出了輪廓分析（MANOVA）結(jié)果，并將SAS的輸出結(jié)果壓縮。在組內(nèi)因子影響中，三向相互作用（營(yíng)養(yǎng)×年×周）統(tǒng)計(jì)顯著，這意味著第一年里高營(yíng)養(yǎng)植物比低營(yíng)養(yǎng)植物產(chǎn)葉多，但第二年里不存在這種差別，所以營(yíng)養(yǎng)處理不同年份有不同影響。與第一年數(shù)據(jù)分析結(jié)果一樣，營(yíng)養(yǎng)主效應(yīng)不顯著。ANOVA和正交多項(xiàng)式分析結(jié)果一樣。在OBrien和Kaiser（1985）書中有具體的兩組間因子和兩組內(nèi)因子的例子。表8-8 表.1中的植物繼續(xù)生長(zhǎng)一年a植株?duì)I養(yǎng)水平第一年第二年12345123451L4568

53、10445792L346693468103L6791012346794L57810123468105L5678105567106H4699114457107H35710125568118H681110144467109H57910123457910H5891111557911a在低營(yíng)養(yǎng)和高營(yíng)養(yǎng)兩種條件下，在第一年和第二年分別連續(xù)測(cè)量了五周植物的葉子數(shù)目。每年春天，植物葉子數(shù)目增加需要5到周的時(shí)間，包括第一周的葉子萌動(dòng)。到了冬天，葉子凋零。8.5. 重復(fù)測(cè)量的其他生態(tài)學(xué)例子前面我們一直關(guān)注的是時(shí)間為組內(nèi)因子的重復(fù)測(cè)量分析。生態(tài)學(xué)研究中其他重復(fù)測(cè)量的情況還有像生物個(gè)體或者試驗(yàn)單元處在幾個(gè)不同條件下

54、，測(cè)定其某種反應(yīng)。Potvin等（1990b）用的一個(gè)例子是，同一株植物暴露在不同的CO2濃度條件（組內(nèi)因子）下，比較各自的光合速率。該例包含兩個(gè)組間因子：植物來自兩個(gè)不同種群；另外在光合速率測(cè)量前，部分植物經(jīng)過冷處理。調(diào)查植物和食草昆蟲相互關(guān)系的研究人員會(huì)對(duì)來自不同種群的同一種昆蟲在不同植物種（或種群）上的適合度情況這樣的問題感興趣。研究的一個(gè)典型做法是：在不同植物種或不同植物種群（組內(nèi)因子）的葉子上飼養(yǎng)來自不同昆蟲種群（組間因子）的同一批卵中孵化出來的姊妹個(gè)體。Horton等（1991）對(duì)這種數(shù)據(jù)作了很詳細(xì)的分析，表明用重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)來分析的話，會(huì)增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)效力。一批卵在這里被看作為一個(gè)區(qū)組或

55、對(duì)象，每個(gè)昆蟲種群都有多個(gè)重復(fù)試驗(yàn)的卵。在有些蛙類中，雌雄體色不同，而且很多會(huì)在不同顏色背景下變色。King和King（1991）研究了雌雄林蛙（Rana Sylvatica）（組間因子）顏色的差別，并且同一個(gè)體被暴露在不同的顏色背景下（組內(nèi)因子）。因?yàn)槭窃谌齻€(gè)反應(yīng)變量下分析顏色，所以這是一個(gè)雙重多變量設(shè)計(jì)。表8-9輪廓分析（MANOVA）結(jié)果（表8.8中的數(shù)據(jù)）aA.組間方差源MSdfFP>F營(yíng)養(yǎng)13.6913.830.0861殘差3.588B.組內(nèi)方差源FNum.dfDen.dfP>F年（Y）14.47180.0052 周（W）135.14450.0001 年×周14.34450.0060 營(yíng)養(yǎng)×年0.97180.3530 營(yíng)養(yǎng)×周0.52450.7301 N×Y×W5.66450.0425 a所有的處理組合的四種MANOVA檢驗(yàn)條件，得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是一樣的。“Num.df”，”Den.df”分別表示分子和分母的自由度8.6. 重復(fù)測(cè)量ANOVA和輪廓分析的替代方法隨因變量數(shù)量增加和樣本減小，MANOVA的效力會(huì)下降。MANOVA效力低的一個(gè)原因是對(duì)方差-協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)缺乏限制（Crowder和Hand 1990）。在一些情況下