非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究

1、2002年10月第39卷第5期四川大學學報(自然科學版)JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition)Oct.2002Vol.39No.5文章編號:049026756(2002)0520823207非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究潘璐1,游雄2(1.四川大學數(shù)學學院,成都610064;2.南京農(nóng)業(yè)大學理學院,南京210095)摘要:對遵循OldroydB型粘彈性動問題,提出了一種基于流線迎風Petrow2Galerkin方法和最小二乘法相結(jié)合的穩(wěn)定化有限元方法.這種方法有效地解決了以往粘彈性流體研究過程中出現(xiàn)的由于應力方程對流控制占優(yōu)引

2、起的擬振動現(xiàn)象和有限元空間組合不匹配產(chǎn)生的不穩(wěn)定現(xiàn)象.近似應力,速度和壓力分別是Pk連續(xù)的,Pk+1和Pk的(k0).假定連續(xù)問題滿足充分光滑且小的解,則由不動點定理可得近似問題解的存在性及誤差分析.關(guān)鍵詞:非線性形粘彈性流體;穩(wěn)定化有限元方法;誤差估計中國分類號:O242.21文獻標識碼:A1引言我們的研究遵循OldroydB.2之一.,此問題的模型包括質(zhì)量守恒方程、,14.采用基于2G方法)和最小二乘法相結(jié)合的穩(wěn)定化有限元方法,這種方法間組合不匹配而出現(xiàn)的不穩(wěn)定現(xiàn)象.我們在現(xiàn)有文獻基礎之上首次將有限元空間的應用推廣到了任意階,即解決了Pk2連續(xù)應力,Pk+12連續(xù)速度,Pk2連續(xù)壓力,k0

3、的情況.假定連續(xù)問題滿足充分光滑且小的解,則由不動點定理可得近似問題解的存在性及誤差分析.2問題的提出我們考慮R2中具有Lipschizian邊界的有界連通開集的流體.使用以下記號:對標量函數(shù)p,其梯度 p,( p)i記為p,i,對向量函數(shù)u,其梯度張量 u,( u)ij=ui,j,對向量函數(shù)u,其散度是標量 .u=ui,i,且令u. =ui)i=,對張量函數(shù),其散度是向量 .,( .ij,j.dxi+(u. )+(, u)-2d(u)=0,in) .d(u)+ p=f,- .-2(1-in問題P:.u=0,inu=0,on=0時,問題退化為協(xié)旋轉(zhuǎn)Maxwell問題,當=1時,問題退化成上對流

4、Maxwell方程.對這兩類方程都已有大量的文獻專門研究,因此本文中只考慮(0,1)的情況.3有限元逼近設D是可測區(qū)域,記(p,q)D=收稿日期:2002203222作者簡介:潘璐(1977-),1999級碩士研究生1pq(標量),(u,v)DD=)u.v(向量),(,DD=(:)(張量),D824四川大學學報(自然科學版)第39卷.D是相應的范數(shù),D=時可省略下標,定義空間如下:T=(ij);ij=ji;ijL();1i,jN;12X=(i);iH0();1iN;Q=qL();q=0;假設<R2是多邊形區(qū)域,我們給定了一簇正則一致部分Th,Th由三角形K構(gòu)成, =K,KTh,且存在正常

5、數(shù)v0,v1使得v0hhKv1pK.這里hK是K的直徑,K是包含于K中的最大球的直徑,記h=maxKThhK,記hmax為的直徑.設Pk(K)是K內(nèi)次數(shù)小于等于k的多項式,定義有限元空間如下:Th=TC( )4;|KPk(K)4KTh,Xh=X;|KPk+1(K)4KTh,KQh=qQ;q|Pk(K),KTh.問題(P)通常有限元離散為(Ph):求(h,uh,ph)Th×Xh×Qh,使得()+(uh. )+()-2(d(uh),)=0,Th,h,h,h, uh),()(d(uh),d()-(ph, .)=f,Xh,h,d(uh)+2(1-(q, .uh)=0,qQ(3.1)

6、(3.2)(3.3)有限元格式(3.1)-(3.3):(.1成有限元方程的解呈現(xiàn)非物理特性的擬震動.(即不滿足B2B條件)的不穩(wěn)定現(xiàn)象,.用SUPG方法解決對流控制方程,.×H1()4×H1()4,定義算子B:令(u,)=(u, ),+h()+B(u,. )( .u,).2(3.4)記h(u. ),定義算子A:u=+A(u,(u,p),(,q)(3.5)(d(u),(,d()+4(1-)(d(u),d()=(,u)-2u)+2)+2(q, .u)+6h2(- .-2(1-) .d(u)+ p, q),-2(p, .KTh-2(1-) .d(u)+ p, q)”6代替通常最小

7、二乘法的“是待定正常數(shù).SUPG方法體現(xiàn)在算子B(.)中,最小二乘法體現(xiàn)在算子A(u,.)中.算子A(u,.)的引出6KTh2(- .與一般的“完全”的穩(wěn)定化方法不同,它加入了穩(wěn)定項中對穩(wěn)定性貢獻最大的一項,即用“hKTh) .d(u)+h(- .-2(1-) .d()+ q)” p,- .-2(1-u,.),B(.)后,對原問題可提出新的有限元格式.引入算子A(Ph):求(h,uh,ph)Th×Xh×Qh,使得KTA(uh,(uh,uh,f,+h,ph),(,q)+B(h,h)+(h, uh),u)=26h2 q.h(3.6)4解的存在性和誤差分析首先回憶一下有限元空間及

8、索伯列夫空間的一些性質(zhì).若(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()L2 , u, p分別是,u,p的Pk,Pk+1,Pk0(),設插值函數(shù),我們有以下插值不等式:(a)u- u hk+1|u|1,2C(b)- C hk+1|(c)p- pC hk+1|p|k+2,2;k+1,2;k+1,2;第5期潘璐等:非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究k+1,2;k+1,2.825(d)|- |+h|- |1,2C hk+1|(e)|- |0,4+h|- |1,4C h(2k+1)/2|(e)式是因為對每個KTh,我們有|- |0,4,K+hK|- |1,4,K2k

9、+1)/2Ch(K|2,2,K,這里C是與有限單元K無關(guān)的常數(shù).由Jensen不等式:令I是離散集,且rp1,我們有:(aI6|a|r)1/r(aI6|a|p)1/p,(4.7)可以得到(e).下面,我們列出要用到的反不等式.引理1令k0,是整數(shù),且Wh=,|kPk(K),KTh,令r和p是實數(shù),且1r,p+,令l0,m0是整數(shù),且lm,那么存在一個常數(shù)C+C(v0,v1,l,r,m,p,k),使得WhWl,r()Wm,p(),|m,pChl-特別的,對一致剖分,pQh,Th,我們有:h2KTm-2max0,1/r-1/p|l,r622 .d(h)D1d(h)K,(4.8)(4.9)h2KT6

10、h22 .d(h)D2hK.h引理2令m0是整數(shù),)Wm+1,2()m,q+,p<0( p+,mp>2.(),則引理3()u,H,i=-uu+und,i=1,2.這里n是的外法.ii線單位矢量.)C1(由Green公式,我們可以得到,對(u, )2×C1( )4×C1( )4有:(u. ),)=-( .u,)-(u. ),)為了證明問題(Ph)的存在性和相應的誤差估計,引入一個映射:Th×Xh×QhTh×Xh×Qh,(1,u1,p1)(2,u2,p2)=(1,u1,p1).(4.10)這里(2,u2,p2)h×X

11、h×Qh,且滿足:)=-(A(u1,(u1,u1)+2f,+2,u2,p2),(,q)+B(2,1, u1),KT6h q.2h2222,u,p)|d(u)|2+h定義范數(shù)+4(1-|(u. )|+h,u,=|KTh6(4.11)h| p|.22)/2),=min(1/4D1,1/4D2)時,D1,D2是逆不引理4.1(正則性)當h< h0=min(1/2,2(1-等式(4.8)(4.9)右端的常數(shù).映射是良定義的且有界.證明由(3.4)和Green公式可得:)=h(u. ),(u.),B(u,u,(4.12)于是)A(u,(,u,p),(,u,p)+B(u,22222)-4(

12、1-h)|2+(4(1-h)|d(u)|+|( u. )|-h| p|624KTh-6h2| ,|2-KTh222222h| p|-6h| .d(u)|+6h| p|.64KTKTKThhh)/2),=min(1/4D1,1/4D2),由逆不等式(4.10)(4.11)可得到因為h<min(1/2,2(1-826四川大學學報(自然科學版)A(u,(,u,p),(,u,p)+B(u,第39卷2(,u,p)h,u,.4h,(,由此可知有限維空間內(nèi)的映射是良定義的.(, u)可看成是 u的線形組合,令u,=1/2h,u1,).0,0)h,u,我們有|(1 u1,u1)|C|1|0,|u1|1,

13、2(|+h在(4.11)式中令(,q)=(2,u2,p2),并由以上得到的正則性有(2,u2,p2)h,u1,C(|1|0,|u1|1,2+|f|),映射的有界性得證.引理4.2(連續(xù)性)滿足引理1的條件時,映射在Th×Xh×Qh上是連續(xù)的.證明在下面的討論中,C和Ci,iN是與h,M,C3都無關(guān)的正常數(shù).令(2,u2,p2)=(1,u1,p1),(h0時有2,2,q2)=(1,1,q1)我們現(xiàn)在要證明的是當h(h,(2-2,u2-2,p2-q2)h,1,1,u1,1,1,p1,q1)1(,q)(,u,p)111111lim(h,1,1,u1,1,p1,q1)=0現(xiàn)有)=-

14、()+2A(f,+1,(2,2,q2),(,q)+B(1,2,1, 1),1由上式和(4.11),并由A(1,.)和B(1,.)的雙線性性質(zhì),我們可以得到A(1,(2-2,2-u2,q2-p2),(,q)+B1,-2=A(u1,(2,u2,p2),(,q)-2,p2,(,)+).+B(u1,2,1,2,u1,u1)-(1, 1),1(4.13)KT6h2 q.h記=u=u1-p=p1-q1,1-1,1, =u=p=q2-p2,2-2, 2-u2, =h(u1- =h(u). .1). 在(4.13)式中令= ,= u,q= p,由正則性2 , u, ph,1,A(u1,( , u, p)-A(

15、 , u, p)2,u2,p2),(1,(2,u2,p2),(4).+B(u1, )-B(u1, )+( u1)-( 2,2,1, u1),1, 1),1考慮(4.14)右邊各項A(u1,( , u, p)-A( , u, p)2,u2,p2),(1,(2,u2,p2),(4.14)(|Chu|1,2| |0,22|+|d(u2)|)|(4.15)這里Ch依賴于剖分Th.下面考慮項:()=()+(), u1)-( u1- 1, u1),1, 1),1, u1),1, u1)-(1, 1),111因為(1, u1)-(1, 1)=(1, (u1-1)+(1-1, 1),根據(jù)(, u)的定義,(,

16、 u)C|u|1,2,所以:(),)C u1)-( |+h| |1,2).(4.16)1, u1),1, 1),1(1,u1,1,1)(|11其中u|+(|u|1,2+|1(1,u1,1,1)=|1|0,|u1|1,|1|0,|1|1,)|1|1,當(1,1,q1)(1,u1,p1)時,10(1,u1,p1)是Th×Xh×Qh中的固定點.下面估計最后一個B:B(u1, )-B( )=-( +(1/2) .(u1- )2,1,2,2,(u2-1). 1)2+h(u1. ) )-( )2,(u1. )1. )2,(1. )右端第一項|(u. ) +(1/2) .u )Ch|u1

17、,2| |.2,(2|(4.17)第5期潘璐等:非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究827這里Ch依賴于剖分Th.對于第二項,我們可以寫成:( -(u1. ) )1. )2,(1. )2),(u1. )=( )-(u1. )u. ) ).1-u1). )2,(1. )2,(最后,的連續(xù)性可由(4.15)(4.16)(4.17)及下列等式得到|(u. ) )|C|u|0,| |0,2,2,(1. )2|1,2|(1. )|(u1. )u. ) )|C|u1|0,4|u|0,4| |1,4.2,(4.18)(4.19)引理得證.定義球Bh:令C3為給定常數(shù),3(2k+1)/2Bh=(,q)Th&

18、#215;Xh×Qh,|-|Ch,|d(-u)|C3h(2k+1)1/2,|q2p|C3h(2k+1)/2.引理4.3(不變球)假設問題(P)有一個連續(xù)解(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()2k+1,2uk+2,2,pk+1,2C0.當滿足引理4.2的條件時,且M足夠小,L0(),記M:=max存在一個非空球BhTh×Xh×Qh,使得(Bh)<Bh.證明注意到有限元空間性質(zhì)(a-e),當0<hh03)時,(=( , u, p)h,此時球Bh非空.C連續(xù)解(,u,p)滿足下面的相容關(guān)系:)A(u1,(,u,p)(

19、,q)+B(u,u1,+ q).1u),1KTh上式減去(4.11)式得到)A(u,-u1,-uu2,),)+B(2,)-B()+(,u,u1,u1)-(, u),u1).1, u1),(4.20)令 =-u=u-u2,p=p-p2.2, = -u= u-u2,p= p-p2.2,在(4.24)式中取=,=u,q=p,因為 =- +,所以A(u1,( , u, p),( , u, p)+B(u, , )=A(u1, , u, p),(- ,u- u,p- p)+B(u, ,- )+A(u1,( , u, p),(,u,p)+B(u1, ,)將(4.20)式代入上式并由正則性可得:2( , u,

20、 p)h,u1,A(u1,( , u, p),(- ,u- u,p- p)+B(u1, ,- ).4+B(u1,)-B(u,u1,)+( u1)-(, u), u1).1, u1),現(xiàn)在假定hh00,minh0, h0,我們令(1,u1,p1)Bh,為了證明結(jié)論,分析上面不等式的右端5項.引入記號:=- ,u=u- u,p=p- p.A項:A(u1,( , u, p),(,u,p)(4.21)C(| |+|d( u)|+|下面對|u1|作出估計:KT62h q|)(|d(u)|+|u1|+|hKT6h q|).2h(4.22)|+hu1 |CMhk+1(1+(C3hk+M),u1|=|(4.2

21、3)這里用到了索伯列夫嵌入定理:H1()<L4()和H2()<L()及不等式(d),則由上面不等式可得:k+13k2(4.24)A(u1,( , u, p),(,u,p)C1Mh(1+(Ch+M)(| |+|d( u)|+6h q|)KTh828四川大學學報(自然科學版)第39卷項:)(, u)-(|(u1|1, u1),C(|0,|d(u-u1)|+|-u1|,(4.25)1|u|1,+|-1|0,4|d(u-u1)|0,4)|-1+2/估計上式中的|1-|0,4,利用逆不等式:(見引理1,取m=1=0,r=2)|h|0,pCh|h|0,2則p| |0,4Ch-1/2| |0,2

22、Ch1/2(| |0,2)Chk(C3+Mh1/2).1-1-1-|0,2+|-由不等式(d)可得:| |0,4+| -|0,4Chk(C3+Mh1/2).1-|0,41-同理利用u的插值,得到|u1-u|1,4Chk(C3+Mh1/2).(4.26)(4.27)利用以上公式及|u1|(4.23)可得|(, u)-(u1)|1, u1),(4k+3)/2(C3M+h(2k-1/2)(C3+Mh1/2)2)(1+(C3Mhk+M)C2h+C3h(2k-1)/2(C3M+h(2k-1)/2(C3+Mh1/2)2)| u1|)B的第一項由B的定義(3.4)和連續(xù)解u的性質(zhì).u)C|(u1.)(-1,

23、4|B(u1, , |, |0,4,由不等式(d),(4.23)和4.)1/2k31/21)/(M+Chk)|B(u1,h(u1. ) |+h(C+Mh)| |).<W1,4()及H2()<L()可得:(2k+1)/23(|B(u1,u1,)-B(u,u1,)CCMh|+| u1|+| |).u1|+|然后利用(4.23)式(4k+3)/232(1+(C3hk+M)B(u1,u1,)-B(u,u1,)C5CMh+C6MC3h(2k+1)/2(| u1|+| |),(4.28)(4.29)(4.30)的線形性質(zhì),B的定義(3.4)和嵌入定理:H1()<L4(),2()BB(.,

24、u1,(4.31)| |,| u1|h1/2(u. ) |及|d(u)|都可由C( , u, p)h,u1,控制,由以上各式,最后可得,22( , u, p)hh,u1,8(4k+3)/2M(C2(C3M+h(2k-1/2(C3+Mh1/2)2)+C5C3M)(1+(C3hk+M)+C7(C1Mhk+1(1+(C3hk+M)+C3h(2k+1)/2(C3M+h(2k-1)/2)(C3+Mh1/2)2)C4Mh(2k+1)/2(1+(M+C3h)+hk(C3+Mh1/2)C6MC3h(2k+1)/2) , u, ph,u1,.這個不等式是下面這種形式的:a2c+ab.222a=( , u, p)

25、h,u1,則由2ac+a+b/4,可得ac+b/2.(4.32)去掉(4.32)式中h的高次項,利用上面的不等式,可得(2k+1)/21/21/41/2331/2( , u, p)h,u1,C8hhM(M+C)(1+(C+M)+(1+h1/2)M(1+M)+(1+h1/2)MC3+h1/2C32).取C3=/2MC h1max式右端h(2k+1)/2)2,所以(,此時因為hhmax=( , u, p)始終都在球Bh中.因為M足夠小,上不等MC之前的參數(shù)總可可以小于1.由以上證明我們可得(Bh)<Bh.定理證畢.3最后我們可以引出定理:定理4.1假設問題(P)有一個連續(xù)解(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()L20()記第5期潘璐等:非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究829k+1,2,uk+2,2,pk+1,2,M:=max)/2),且M足夠小,問題(Ph)有一個解(當剖分滿足h< h0=min(1/2,2(1-h,uh,ph)Th×Xh×Qh,滿足(2k+1)/2|-.h|+|d(u-hh)|+|p2ph|CMh(4.33)C是與M,h無關(guān)的常數(shù).且這個解在(,u,p)的鄰域內(nèi)是唯一的.證明由引理4.1,引理4.2和引理4.3和Brouwer