2004考研數(shù)三真題及解析

1、2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(1) 若，則a =，b =.(2) 函數(shù)由關(guān)系式確定，其中函數(shù)可微，且，則.(3) 設(shè)，則.(4) 二次型的秩為.(5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布, 和分別是來自總體和的簡單隨機(jī)樣本, 則.二、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界( )(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C

2、) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 設(shè)f (x)在內(nèi)有定義，且，則( ) (A)必是的第一類間斷點(diǎn).(B) 必是的第二類間斷點(diǎn).(C) 必是的連續(xù)點(diǎn).(D) 在點(diǎn)處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). (9) 設(shè), 則 ( )(A) 是的極值點(diǎn), 但不是曲線的拐點(diǎn).(B) 不是的極值點(diǎn), 但是曲線的拐點(diǎn).(C) 是的極值點(diǎn), 且是曲線的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是曲線的拐點(diǎn).(10) 設(shè)有下列命題： 若收斂，則收斂. 若收斂，則收斂. 若，則發(fā)散. 若收斂，則，都收斂.則以下命題中正確的是( )(A) (B) (C) (D)(11) 設(shè)在上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )(A

3、) 至少存在一點(diǎn)，使得>.(B) 至少存在一點(diǎn)，使得> .(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0.(12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有( )(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), .(13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系( )(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. (14)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于( )(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解

4、答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15) (本題滿分8分)求.(16) (本題滿分8分)求，其中是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x Î a , b)，.證明：.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中價(jià)格，為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性(> 0)；(II) 推導(dǎo)(其中為收益)，并用彈性說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為. 求：(I) 所滿足的一階微分方

5、程；(II) 的表達(dá)式.(20)(本題滿分13分)設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), (I) 不能由線性表示;(II) 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; (III) 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .(I) 求的特征值和特征向量; () 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣.(22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求(I) 二維隨機(jī)變量的概率分布;(II) 與的相關(guān)系數(shù) ; (III) 的概率分布. (23) (本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,(I) 當(dāng)時(shí), 求未

6、知參數(shù)的矩估計(jì)量;(II) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; (III) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.方法1：根據(jù)結(jié)論：，(1) 若，則；(2) 若，且，則因?yàn)椋?，所?否則根據(jù)上述結(jié)論(2)給極限是0，而不是5)， 由 得a = 1. 極限化，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.方法2：由極限與無窮小的關(guān)系，有，其中，解出 上式兩端求極限，把a(bǔ) = 1代入，再求，兩端同時(shí)對(duì)取極限，得因此，a = 1，b = -4.(2)【答案】 【詳解】應(yīng)先寫出f (

7、u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)令，從而：，于是由，推知 f (u , v) =，所以 ，(3)【答案】【詳解】方法1：作積分變換，令，則所以 .(也可直接推出，因?yàn)榉e分區(qū)間對(duì)稱，被積函數(shù)是關(guān)于是奇函數(shù)，則積分值為零)方法2：先寫出的表達(dá)式即：所以 .(4)【答案】 2.【詳解】方法1：因?yàn)橛啥涡椭?，所以二次型?duì)應(yīng)的矩陣的元素是乘積項(xiàng)系數(shù)的一半，其中于是題中二次型的矩陣為, 由初等變換得從而 , 由二次型的矩陣的秩等于二次型的秩，知二次型的秩為2. 方法2：因?yàn)? 其中 . 二次型的秩=矩陣的秩=正負(fù)慣性指數(shù)之和，所以此二次型的秩為2.(5) 【答案】【詳解】本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與

8、方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算.指數(shù)分布的概率密度為，其方差.于是，由一維概率計(jì)算公式，有 =(6)【答案】.【詳解】根據(jù)公式和樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量，又和 分別是來自總體簡單隨機(jī)樣本，和都服從正態(tài)分布即是，.所以有， 對(duì)于題給式子將分子分離出來即可出現(xiàn)上式，也就不難求出結(jié)果.,故應(yīng)填 .二、選擇題(7)【答案】(A)【詳解】方法1：如果在內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)在內(nèi)有界.當(dāng)x ¹ 0 , 1 , 2時(shí)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).方法2：因?yàn)榇嬖冢鶕?jù)函數(shù)極限的局部有界性，所以存在，在區(qū)間上有界，又如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間

9、a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界，根據(jù)題設(shè)在上連續(xù)，故在區(qū)間上有界，所以在區(qū)間上有界，選(A).(8)【答案】 (D) 【詳解】考查極限是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.因?yàn)?= a，又，所以， 當(dāng)時(shí)，即在點(diǎn)處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，即是的第一類間斷點(diǎn)，因此，在點(diǎn)處的連續(xù)性與的取值有關(guān)，故選(D).(9) 【答案】C【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論.方法1：由于是選擇題，可以用圖形法解決, 令，則，是以直線為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上的一條拋物線，與軸相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖形如圖.點(diǎn)是極小值點(diǎn)；又在點(diǎn)左側(cè)鄰近曲線是凹的，右側(cè)鄰近

10、曲線是凸的，所以點(diǎn)是拐點(diǎn)，選C.方法2：寫出的分段表達(dá)式： ,從而, ,，所以時(shí)，單調(diào)增，所以時(shí)，單調(diào)減，所以為極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí), ，為凹函數(shù)； 當(dāng)時(shí), ，為凸函數(shù), 于是為拐點(diǎn).(10)【答案】(B)【詳解】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)命題的正確性. 是錯(cuò)誤的，如令，所以發(fā)散，而收斂.是正確的，因?yàn)榧?jí)數(shù)比級(jí)數(shù)少了前1000項(xiàng)，改變、增加或減少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性，所以這兩個(gè)級(jí)數(shù)同斂散.是正確的，因?yàn)橛?，從而有，于是正?xiàng)級(jí)數(shù)在項(xiàng)數(shù)充分大之后，通項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加，故，從而，所以發(fā)散.是錯(cuò)誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).(11)【答案】(D)【詳解】利用介值定理與極

11、限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，或應(yīng)用舉例法找出錯(cuò)誤選項(xiàng).方法1：舉例說明(D)是錯(cuò)誤的. 例：，.但在上.方法2：證明(A)、(B)、(C)正確.由已知在上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得，所以選項(xiàng)(C)正確；另外，由導(dǎo)數(shù)的定義，根據(jù)極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即，所以選項(xiàng)(A)正確. 同理，根據(jù)極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得. 所以選項(xiàng)(B)正確，故選(D).(12)【答案】(D )【詳解】方法1：矩陣等價(jià)的充分必要條件：矩陣與等價(jià),是同型矩陣且有相同的秩,故由與等價(jià)，知與有相同的秩.因此，當(dāng)時(shí), , 則有, 即, 故選(D). 方法2：矩陣等價(jià)的充分必要條件：與等價(jià)存在可逆

12、，使得. 兩邊取行列式，由矩陣乘積的行列式等于行列式的積，得. 可逆，由矩陣可逆的充分必要條件：，故，但不知具體數(shù)值.由，知時(shí)，不能確定.但有.故應(yīng)選(D).方法3：由經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)榫仃嚨某醯茸儞Q對(duì)矩陣的行列式的影響有：(1)中某兩行(列)互換得 ，則.(2)中某行(列)乘得，則.(3)中某行倍加到另一行得，則.又由與等價(jià)，由矩陣等價(jià)的定義：矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，則稱與等價(jià)，知故當(dāng)時(shí)，雖仍不等于0，但數(shù)值大、小、正負(fù)要改變，但，則，故有結(jié)論：初等變換后，矩陣的行列式的值要改變，但不改變行列式值的非零性，即若，若.故應(yīng)選(D).(13)【答案】(B)【詳解】由定理：若是的解，則是

13、對(duì)應(yīng)齊次方程組的解，及，得是的解.由齊次線性方程組有非零解的充要條件，知. 由伴隨矩陣的定義，知中至少有一個(gè)代數(shù)余子式即中有子式不為零，由的充要條件是的非零子式的最高階為,故再由上面的，得，故基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為 ，故選(B).(14)【答案】(C)【詳解】利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形的對(duì)稱性，對(duì)任何有. 或直接利用圖形求解.方法1：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，于是即有 ，可見根據(jù)分位點(diǎn)的定義有，故應(yīng)選(C).方法2：OO圖一 圖二如圖一所示題設(shè)條件.圖二顯示中間陰影部分面積，.兩端各余面積，所以，答案應(yīng)選(C).三、解答題(15)【詳解】求“”型極限的首要步驟是通分，或者同乘、除

14、以某一式以化簡.(16)【詳解】利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算.方法1：令，根據(jù)二重積分的極坐標(biāo)變換：，則：化為極坐標(biāo)：所以 ；化為極坐標(biāo)：所以 所以 區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，中被積函數(shù)為的奇函數(shù)，根據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與被積函數(shù)的奇偶性：設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)為奇函數(shù)，則，所以所以 .方法2：.(17)【詳解】令，. 因?yàn)橐阎?，所?，,又 ，所以 從而 ，由于，故有, 即也即是 因此 .(18)【詳解】(I) 由于需求量對(duì)價(jià)格的彈性> 0，所以；(II) 由，得要說明在什么范圍內(nèi)收益隨價(jià)格降低反而增加，即收益為價(jià)格的減函數(shù)，即證，換算成為，解之得：，又已知，所以，此時(shí)收益隨價(jià)格降低反而增加.

15、(19)【詳解】對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到所滿足的一階微分方程，解方程可得的表達(dá)式.(I) ，易見 ，因此滿足下述一階線性微分方程及相應(yīng)的初始條件：，.即 ，(II) 為一階線性非齊次微分方程，其對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程為：，分離變量：，兩邊積分：，用常數(shù)變易法來求非齊次方程的通解：令于是：代入：所以, 因?yàn)椋? 所以；或直接由通解公式，方程的通解為由初始條件，得. 故.(20)【詳解】可否由線性表示的問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組是否有解的問題. 因此，設(shè)可有數(shù)使得. (*)記. 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有 .當(dāng)時(shí), 是任意數(shù)時(shí)，有.可知，. 由非齊次線性方程組有解的充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的

16、秩，知方程組(*)無解, 不能由線性表示.當(dāng), 且時(shí), 由可知，, 由非齊次線性方程組有解得充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組(*)有解，由定理：設(shè)是矩陣，方程組，則，(1)有唯一解；(2)有無窮多解(3)無解：可知方程組(*)有唯一解.由同解階梯形方程求解，得：, , 此時(shí)可由唯一地線性表示, 其表示式為 當(dāng)，時(shí), 對(duì)矩陣施以初等行變換, 由，可知，,由定理：設(shè)是矩陣，方程組，則，(2)有無窮多解，知方程組(*)有無窮多解，其全部解為, , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不唯一,其表示式為(21)【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題, 可以直接用求特征值，

17、和求特征向量或?qū)⒎纸饬?，其中，則，是多項(xiàng)式，求的特征值、特征向量.【詳解】(I) 方法1： 時(shí)，故，的特征值為，對(duì)， 因?yàn)榫仃嚨闹葹?，故方程組，基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為，故有一個(gè)自由未知量.選為自由未知量，取, 解得，所以的屬于的全部特征向量為 (為任意不為零的常數(shù))對(duì)，,矩陣的秩為 故方程組，基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為，故有個(gè)自由未知量. 選為自由未知量,將他們的組值，得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當(dāng)時(shí)，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量方法2：，其中若有特征值，特征向量，則當(dāng)是多項(xiàng)式時(shí)，有特征值，其特征向量仍是. 因故，是的特征值，其對(duì)應(yīng)特征向量為.從而有，有特征值，其對(duì)應(yīng)特

18、征向量仍是.又，是實(shí)對(duì)稱陣，由可知，由實(shí)對(duì)稱矩陣的特性：，其中為特征值的重?cái)?shù)，故是的重特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足，即只需滿足，其基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為，故有個(gè)自由未知量.選為自由未知量,將他們的組值 . 得基礎(chǔ)解系為，從而知有重特征值.對(duì)應(yīng)的特征向量仍是，其全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))() 當(dāng)時(shí)，由與對(duì)角矩陣相似的充要條件：有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，知，令，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意可逆矩陣, 均有 (22)【分析】本題盡管難度不大，但考察的知識(shí)點(diǎn)很多，綜合性較強(qiáng).通過隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量或通過隨機(jī)變量定義隨機(jī)事件，可以比較好地將概率論的知識(shí)前后連貫起來，這種命題方式值得注意。先確定的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)得到，即得二維隨機(jī)變量的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計(jì)算出相關(guān)系數(shù).【詳解】(I) 由于，所以 ， ， =(或)，故的概率分布為 0 1 0 1 (II) 的概率分布分別為所以的概率分布為 0 1 0 1 由分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式，則， =, 所以=,故，從而(III)的可能取值為：