定積分的幾個簡單應(yīng)用

1、定積分的幾個簡單應(yīng)用一、定積分在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)管理中， 由邊際函數(shù)求總函數(shù)， 一般采用不定積分來解決， 或者求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決例 1某商場某品牌襯衫的需求函數(shù)是p650.15 q ，如果價格定在每件50 元，試計算消費(fèi)者剩余解由 p50 ， p650.15 q ，得 q10000，于是10000(650.15q50)dq0310000(15q0.1q 2 )050000，所求消費(fèi)者剩余為 50000元例 2已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為Q (t)40 12t（件天），求從第 5天到第 10 天產(chǎn)品的總產(chǎn)量解所求的總產(chǎn)量為Q101012t

2、 )dtQ (t )dt( 405510650 （件）(40t 6t 2 )5二、用定積分求極限例 1nk3求極限 limnk 1n 2nk11121n解3nnnnnnk 1n21 (12n ) nnnn上式是函數(shù) f ( x)x在 0,1的特殊積分和它是把0,1 分成 n 等分， i取i1, i的右端點構(gòu)成的積分和因為函數(shù) f (x)x在 0,1 可積，由定積分定義，nn有nklim112nlim3()nn2nnnnnk 1例 2nkn2k2求極限 lim1 n3nkxdx2 103nk22n 1 kk 2解n kk 1 n n1 ( n)k 1 n 3上式是函數(shù)f (x)x 1 x 2 在

3、 0,1 的特殊積分和它是把區(qū)間0,1 分成 n 等分， i 取 i1, i的右端點構(gòu)成的積分和 因為函數(shù) f ( x) x 1x 2 在 0,1 可積，nn由定積分定義，有n31k121 (121 n2k 2xdxx) 2lim1 n3x 1k033n0三、用定積分證明不等式定積分在不等式的證明中有著重要的應(yīng)用在不等式的證明中， 可根據(jù)函數(shù)的特點，利用定積分的性質(zhì)來證明例 1設(shè) f (x) 是閉區(qū)間 a, b 上的連續(xù)函數(shù)，且單調(diào)增加，求證：bab bf ( x) dx xf (x)dx2aa證明作輔助函數(shù)(x)xaxxtf (t )dt2f (t)dt ，aa顯然(a)0 ，且(x)1xf (t)dta xf (x)xf ( x)22ax f ( x)1 f ( )( x a)a f ( x)222x af ( x)f () ，2其中a, x 因為 f (x) 在 a, b 上單調(diào)增加，所以( x) 0 ，從而(x) 在閉區(qū)間 a,b 上單調(diào)增加，所以( x)(a)0 ，歡迎下載2取 xb 得ba b bxf ( x)dx2f (x)dx aa定積分在許多領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用