定積分的幾個簡單應用

1、定積分的幾個簡單應用一、定積分在經(jīng)濟生活中的應用在經(jīng)濟管理中， 由邊際函數(shù)求總函數(shù)， 一般采用不定積分來解決， 或者求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決例 1某商場某品牌襯衫的需求函數(shù)是p650.15 q ，如果價格定在每件50 元，試計算消費者剩余解由 p50 ， p650.15 q ，得 q10000，于是10000(650.15q50)dq0310000(15q0.1q 2 )050000，所求消費者剩余為 50000元例 2已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為Q (t)40 12t（件天），求從第 5天到第 10 天產(chǎn)品的總產(chǎn)量解所求的總產(chǎn)量為Q101012t

2、 )dtQ (t )dt( 405510650 （件）(40t 6t 2 )5二、用定積分求極限例 1nk3求極限 limnk 1n 2nk11121n解3nnnnnnk 1n21 (12n ) nnnn上式是函數(shù) f ( x)x在 0,1的特殊積分和它是把0,1 分成 n 等分， i取i1, i的右端點構(gòu)成的積分和因為函數(shù) f (x)x在 0,1 可積，由定積分定義，nn有nklim112nlim3()nn2nnnnnk 1例 2nkn2k2求極限 lim1 n3nkxdx2 103nk22n 1 kk 2解n kk 1 n n1 ( n)k 1 n 3上式是函數(shù)f (x)x 1 x 2 在

3、 0,1 的特殊積分和它是把區(qū)間0,1 分成 n 等分， i 取 i1, i的右端點構(gòu)成的積分和 因為函數(shù) f ( x) x 1x 2 在 0,1 可積，nn由定積分定義，有n31k121 (121 n2k 2xdxx) 2lim1 n3x 1k033n0三、用定積分證明不等式定積分在不等式的證明中有著重要的應用在不等式的證明中， 可根據(jù)函數(shù)的特點，利用定積分的性質(zhì)來證明例 1設 f (x) 是閉區(qū)間 a, b 上的連續(xù)函數(shù)，且單調(diào)增加，求證：bab bf ( x) dx xf (x)dx2aa證明作輔助函數(shù)(x)xaxxtf (t )dt2f (t)dt ，aa顯然(a)0 ，且(x)1xf (t)dta xf (x)xf ( x)22ax f ( x)1 f ( )( x a)a f ( x)222x af ( x)f () ，2其中a, x 因為 f (x) 在 a, b 上單調(diào)增加，所以( x) 0 ，從而(x) 在閉區(qū)間 a,b 上單調(diào)增加，所以( x)(a)0 ，歡迎下載2取 xb 得ba b bxf ( x)dx2f (x)dx aa定積分在許多領(lǐng)域中有著重要應用