2017解析幾何大二輪復(fù)習(xí)的策略

1、解析幾何的解題思路、方法與策略高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的， 一方面是回顧已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)， 進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知識(shí)， 另一方面， 隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的不斷提高， 學(xué)生不會(huì)僅僅滿足于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)， 而是有對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步理解的需求， 如數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的思想方法、 數(shù)學(xué)知識(shí)之間本質(zhì)聯(lián)系等等， 所以高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)既要“溫故” ， 更要“知新” ， 既能引起學(xué)生的興趣， 啟發(fā)學(xué)生的思維， 又能促使學(xué)生不斷提出問題， 有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造， 進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生問題研究的能力以“圓錐曲線與方程”內(nèi)容為主的解題思想思路、方法與策略是高中平面解析幾何的核心內(nèi)容， 也是高考考查的重點(diǎn)每年的高考卷中，一般有兩道選擇或填空題以及一道解

2、答題， 主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及基本方法的靈活運(yùn)用， 而解答題注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查，重視對(duì)圓錐曲線定義的應(yīng)用， 求軌跡及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查解析幾何在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)通過以圓錐曲線為主要載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)基于解析幾何在高考中重要地位，這一板塊知識(shí)一直以來(lái)都是學(xué)生在高三復(fù)習(xí)中一塊“難啃的骨頭” 所以研究解析幾何的解題思路，方法與策略，重視一題多

3、解，一題多變，多題一解這樣三位一體的拓展型變式教學(xué)，是老師和同學(xué)們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)一起攻堅(jiān)的主題之一本文嘗試以筆者在實(shí)際高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，在教輔教參和各類考試中遇到的幾道題目來(lái)談?wù)劷馕鰩缀谓忸}思路和方法策略一、一道直線方程與面積最值問題的求解和變式例1 已知直線過點(diǎn) ，若直線交軸負(fù)半軸于A，交軸正半軸于B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）設(shè)的面積為，求的最小值并求此時(shí)直線的方程；（2）求最小值；（3）求最小值解：方法一：直線交軸負(fù)半軸，軸正半軸，設(shè)直線的方程為，（1）,當(dāng)時(shí)，即 ，即 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；方法二：設(shè)直線截距式為，過點(diǎn)，（1），；（2）；（

4、3）（3）方法三： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最小，變式1：原題條件不變，（1）求AOB的重心軌跡；（2）求AOB的周長(zhǎng)最小值解：（1）設(shè)重心坐標(biāo)為，則，該重心的軌跡為雙曲線一部分；（2）令直線AB傾斜角為，則，又，過分別作軸和軸的垂線，垂足為,則， ，令，則t>0， 周長(zhǎng) 。變式2：求的最小值（留給讀者參照變式1，自行解決）點(diǎn)評(píng)：由于三角函數(shù)具有有界性，均值不等式有放大和縮小的功能，在解析幾何中遇上求最值的問題，可構(gòu)建三角函數(shù)和均值不等式，合理地放大縮小，利用有界性，求得最值圓錐曲線的最值問題， 解法一般分為兩種: 一是幾何法， 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)處理非常巧妙; 二是代數(shù)法

5、， 將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題， 然后利用基本不等式、 函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值；二、涉及到拋物線的相關(guān)題目和證明例2 證明拋物線的焦點(diǎn)弦定值.設(shè)直線AB：，與拋物線交于兩點(diǎn)，則有如下一些結(jié)論：，；證明：方法一：設(shè).由得，. ，則. 作，假設(shè)，設(shè), ，方法二：； ； .例3 已知，為拋物線上兩點(diǎn)，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：（1），兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別為定值；（2）直線經(jīng)過一定點(diǎn)解：（1）設(shè)，易得，又，則， ， ；（2） 方法一：由對(duì)稱性，可知直線過定點(diǎn)一定在軸上，取特值，得定點(diǎn)為；設(shè)直線的方程為，把代入拋物線的方程得，則， ，滿足題意,表明

6、直線過定點(diǎn).方法二：直線的斜率，直線的方程為，整理得，即，又 ， 直線的方程為，即得直線過定點(diǎn).方法三：設(shè)，設(shè)直線方程為，將其代入拋物線的方程，得方程，只需，解得， 直線的方程為，即得直線過定點(diǎn).方法四：設(shè)直線的方程為，由，得交點(diǎn)為和，又 的方程為，同理可得，當(dāng)時(shí)， 直線方程為，即，即得直線過定點(diǎn)；當(dāng)，得，的方程為，綜上，由直線過定點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：方法一是用特殊位置找結(jié)論，再證明，方法二、三、四是處理垂直關(guān)系的通法類似地，過橢圓，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)作，分別交橢圓，雙曲線于，則直線也 經(jīng)過一定點(diǎn)變式 如圖，橢圓和圓，已知圓將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，且圓的面積為橢圓的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任

7、意直線與圓相交于點(diǎn)A、B，直線EA、EB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別是P、M（1）求橢圓的方程；（2）（i）設(shè)PM的斜率為，直線斜率為，求的值；（ii）求面積最大時(shí)直線的方程解：（1）依題意：，則，橢圓方程為；（2）（i）由題意知直線PE,ME的斜率存在且不為0，PEME不妨設(shè)直線PE的斜率為k（k>0），則PE：，由得或 用去代得，則由得或， ，則（ii）由（i）可知：，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)去等號(hào)，則直線AB：，所以直線的方程為例4 直線過拋物線的焦點(diǎn)，且，又點(diǎn)均在拋物線上，求（1）求四邊形面積的最小值；（2）求的最小值；（3）若，分別是的中點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)解：（1）設(shè)直線，不妨設(shè).由得.

8、弦長(zhǎng).又直線.同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（3）設(shè)，由（1）問所得方程得，設(shè)中點(diǎn)，則，可得，用替換，易得，則，則直線的方程為，化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，軸，直線的方程，恒過點(diǎn).綜上，直線恒過點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：實(shí)際上，第（3）問從 直線MN的方程化為（*）式較難，從得分的角度來(lái)講，可以先從時(shí)得到定點(diǎn)，再回到（*），雖不嚴(yán)密，但可節(jié)省時(shí)間變式 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，垂足為（1）求四邊形的面積的最小值；（2）求的最小值；（3）若于，且、的中點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)解：（1）方法一：（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得設(shè)

9、，則，；與相交于點(diǎn)且的斜率為，四邊形的面積當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)（）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r(shí)，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為注：當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，也可這樣求四邊形ABCD的面積的最小值：方法二：設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)方法三：判別式法，讀者自己完成（2）當(dāng)BD斜率存在時(shí)，同上，當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)的最小值為，當(dāng)BD斜率存在或等于零時(shí)，綜上，的最小值為；（3）設(shè)線段BD的中點(diǎn)為，則，則，從而，直線的方程為，即（*），顯然過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，或，適合（*）式，綜上，直線過定點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題（1）問表明，求解解析幾何的最值問題，常用到均值不等式法，二次函數(shù)法和判別式法；從以上幾例的解析可以看出：應(yīng)用焦點(diǎn)弦

10、的性質(zhì)不僅能使許多問題的解答快捷、方便，而且能夠優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高解決問題的能力凡涉及弦長(zhǎng)的問題， 常用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式); 涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題時(shí)， 常用“點(diǎn)差法” 設(shè)而不求， 將弦所在直線的斜率、 弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)， 相互轉(zhuǎn)化 同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件， 尋找量與量之間的關(guān)系，并進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，往往能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)等復(fù)雜運(yùn)算三、一道橢圓考題的證明和拓展例5 已知橢圓，以下兩個(gè)結(jié)論中說法正確的是（ ）若，為橢圓上兩個(gè)點(diǎn)，則；若橢圓兩焦點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為或（A）和都不對(duì) （B）和都對(duì) （C）不對(duì)，對(duì) （D）對(duì)，不對(duì)本題選D，現(xiàn)筆者試對(duì)第問給出不同的

11、證法：解：方法一：當(dāng)ABx軸時(shí)，ADX=BOX=45°，當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)：設(shè)，設(shè)與橢圓聯(lián)立得,又AOB中，, ,又由得，方法二（三角法）：如圖，令，則，則，代入橢圓方程，有，則，兩式相加有；方法三（特值法）：當(dāng)直線斜率為0或不存在時(shí)，當(dāng)直線、斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為 ，OAOB，直線OB方程為，；本問的一般性結(jié)論：若，為橢圓上兩個(gè)點(diǎn)且，則變式1：是否存在一定圓與直線AB相切？解：方法一：設(shè)直線的方程為，代入到橢圓方程，則，設(shè)點(diǎn)O（0,0）到直線AB的距離為，則，過O作AB的垂線，垂足為H，設(shè)，則，存在定圓與直線AB相切方法二：由例7的問結(jié)論可得，過O作AB的垂線，垂足為

12、H，則，設(shè)，存在定圓與直線AB相切拓展推廣：（1）若A、B、C、D為橢圓4個(gè)點(diǎn)，直線ACBD于坐標(biāo)原點(diǎn)O，則證明：由例6中問結(jié)論可得結(jié)論正確；（2）若A、B、C為橢圓上3個(gè)點(diǎn)，則 證明：令，則，代入橢圓得，則，同理 ，.變式2：已知雙曲線，且，（1）求的值；（2）若，求點(diǎn)的軌跡方程解：（1）當(dāng)軸時(shí)，,，；當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，設(shè)聯(lián)立雙曲線方程得，由得，則，有，作于，設(shè)，在中，又，由得，綜上，的值為（2），的軌跡方程為，即點(diǎn)評(píng)：本題從到實(shí)際復(fù)習(xí)中遇到的一個(gè)考題，嘗試了用普通的解析法，和三角代換（應(yīng)注意并非橢圓的三角參數(shù)方程），不同角度地證明了這個(gè)結(jié)論，并加以拓展和延伸，使之達(dá)到讓學(xué)生們可以一題多

13、解，一題多變，多題一解的目的，讓復(fù)習(xí)過程得以升華變式3：設(shè)橢圓的離心率，左頂點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn)()求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)到直線的距離為定值；()在（）的條件下，試求的面積的最小值()由e得ca，又b2a2c2，ba，即a2b. 由左頂點(diǎn)M(a,0)到直線1，即bxayab0的距離d，得，即，把a(bǔ)2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c. 橢圓C的方程為y21.（）證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性知x1x2，y1y2. 以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故·0，即x1x2y1

14、y20，xy0，又點(diǎn)A在橢圓C上，y1，解得|x1|y1|. 此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d1|x1|.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm，與橢圓方程聯(lián)立有消去y，得(14k2)x28kmx4m240，x1x2，x1x2.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，OAOB. ·x1x2y1y20. (1k2)x1x2km(x1x2)m20.所以(1k2)·m20. 整理得5m24(k21)， 點(diǎn)O到直線AB的距離d1.綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值. ()方法一：設(shè)直線OA的斜率為k0：當(dāng)k00時(shí)，則OA的方程為yk0x，OB的方程為yx，聯(lián)立得同理可求得故AOB

15、的面積為S·|x1|··|x2|2.令1kt(t>1)，則S22，令g(t)49()2(t>1)，4<g(t). S<1.當(dāng)k00時(shí)可求得S1，故S1，故S的最小值為.方法二 由（2）知 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，S=；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，(14k2)x28kmx4m240，5m24(k21)， 弦長(zhǎng)思路一 令則故S1，故S的最小值為. 思路二 所以 S1.在中，則 故S1，故S的最小值為.說明：一般性結(jié)論：已知橢圓，若，為橢圓上兩個(gè)點(diǎn)，且滿足，則（1）； （2）點(diǎn)O到直線AB的距離；（3）; (4) 四、一道和橢圓切線方程有關(guān)考題的證

16、明和拓展例6已知橢圓的離心率為，其四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為若為橢圓上任意一點(diǎn)，過作圓（）的切線，且直線與交于點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡；（3）定義：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為，過橢圓的左焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)分別作橢圓的切線，求證：直線，的交點(diǎn)在定直線上解：（1）由頂點(diǎn)四邊形面積，離心率，解得，橢圓的方程為； （2）設(shè)，如圖，設(shè)切點(diǎn)為，在中，由，得，即 由得，又，將式代入式，得軌跡，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為，表示兩條平行直線 （3）方法一：證明：設(shè)，當(dāng)軸時(shí)，由定義，在處橢圓的切線方程分別為和，交點(diǎn)；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線斜率為，直線的方程為，由定義，在，處橢圓的切線方程分別為和

17、，解得，直線，的交點(diǎn)在定直線上 方法二：由定義，在處橢圓的切線方程分別為和，設(shè)，則，直線BD的方程為，又直線BD過點(diǎn)，方法三：本題第（3）問也可采用伸縮變換求得該定直線：設(shè)伸縮變?yōu)?，則有，再伸縮變換回去，設(shè)且，為切線，又lBD過，得證注：本題第（3）問涉及橢圓的上一點(diǎn)的切線方程，除了可以用常規(guī)的判別式和隱函數(shù)求導(dǎo)法則解決外，亦可用直線的參數(shù)證明證明：由橢圓，設(shè)在C上，那么過過M的切線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入橢圓C得M在C上，l為橢圓在M處的切線，上述二次方程，c=0， ，又, ,，證畢點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問與例7的變式1的方法二都用到了三角形的面積不變法，應(yīng)注意體會(huì)；本題第（3）問方法二

18、求切點(diǎn)弦的方程，在圓、雙曲線、拋物線中都有類似問題五、圓錐曲線弦中點(diǎn)問題的證明和拓展例7 已知A1、A2是橢圓的左、右頂點(diǎn)，B2、F2分別為其上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F2作x軸的重線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)D，設(shè)，而橢圓C的離心率為e（1）證明：；（2）當(dāng)，且時(shí)，直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l使得為等邊三角形？若存在，寫出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）證：在中：，D在上，代入解得到，又，（2）方法一：由， 令，設(shè)中點(diǎn)為,結(jié)合直線方程聯(lián)立：（*），。，由，（1）在（*）中，.（2），化簡(jiǎn)得，代入降次消元解得（舍去）或，即方法二（對(duì)稱性）：當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)，由對(duì)稱性知必有另

19、一也滿足條件，兩式相乘整理得 設(shè)以為圓心的圓，整理得 又橢圓方程-： 由與等價(jià)知到與的距離均為，由聯(lián)立，易知為不定方程，由于可約簡(jiǎn)，不妨令：=1，則有： , , ，由+：，+2+：，由知,， 或 即或20當(dāng)垂直于軸時(shí)，設(shè)交C于P，由為等邊三角形知又 聯(lián)立解得，綜上所述：或或方法三(點(diǎn)差法)，由點(diǎn)差法,設(shè)，設(shè)直線的斜率為，則 （1），（2）由得，代入（2）得，再用“方法一”求解方法四（極坐標(biāo)方程）以B為極點(diǎn)，y軸負(fù)半軸方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，設(shè) ， ， , , ,，.，即橢圓極坐標(biāo)方程，兩邊同除以，解得，由對(duì)稱性令，由到角公式知 ，解得 即由對(duì)稱性,PQ：或點(diǎn)評(píng)：方法一中利用底邊上的高和邊長(zhǎng)與底

20、邊高的長(zhǎng)度關(guān)系是解決解析幾何中等邊三角形的常見方法；方法二利用了等邊三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)；方法三是點(diǎn)差法，特別適合圓錐曲線里的弦中點(diǎn)問題，可將弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和弦所在直線的斜率有效地結(jié)合起來(lái)以便減少運(yùn)算的目的；方法四是利用教材4-4里的坐標(biāo)系和參數(shù)方程里的極坐標(biāo)方程解題，供學(xué)有余力的同學(xué)有選擇性的掌握六比值問題例8. 已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別為，關(guān)于橢圓的以下四種說法中正確的有 個(gè).（1）設(shè)A為橢圓上任一點(diǎn)，其到直線的距離分別為，則；（2）設(shè)A為橢圓上任一點(diǎn)，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)取等）；（3）設(shè)A為橢圓上且不在坐標(biāo)軸上的任一點(diǎn)，過A的橢圓切線為，為線段上一點(diǎn)且，則直線；

21、（4）面積為的橢圓內(nèi)接四邊形僅有1個(gè)。 第（2）問的解法解法1：如圖，設(shè)，設(shè)令 ，代入橢圓化簡(jiǎn)得，同理，令，可得，兩式相加，.解法2：設(shè)直線的方程，代入橢圓方程得，同理，又，原式.解法3：如圖，令，原式.解法4：由橢圓的極坐標(biāo)方程，可得，其中，那么，同理，則有，原式.第（3）問的解法橢圓的光學(xué)性質(zhì)，但是必須證明。求切線的斜率最好用例9. 平面上兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，過的動(dòng)直線（斜率存在且不為0）與曲線交于P,Q兩點(diǎn)，直線，SP,SQ分別與交于A,B兩點(diǎn).A,B,P,Q坐標(biāo)分別為，求證：為定值，并求出此定值. 解：（1）由題意：當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)不表示任

22、何圖形；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.（2）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)，則 可得，又點(diǎn)在直線上， 同理： 又，由，則，同理，結(jié)論1 已知圓的方程，動(dòng)直線過定點(diǎn)P（0，m）(0<m<r)且與圓相交于A,B兩點(diǎn)，則存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)，使得恒成立. 說明：（1）等價(jià)于,即x軸平分.(以下相同) （2）若定點(diǎn)P（m，0），則定點(diǎn).結(jié)論2 已知橢圓的方程，動(dòng)直線過定點(diǎn)P（0，m）(0<m<b)且與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，則存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.說明： 若定點(diǎn)P（m，0）(0<m<a)，則定點(diǎn).結(jié)論3 已知雙曲線的方程

23、，動(dòng)直線過定點(diǎn)P（0，m）(m>a)且與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，則存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.說明： 若定點(diǎn)P（m，0）(m>a)，則定點(diǎn).結(jié)論4 已知拋物線的方程，動(dòng)直線過定點(diǎn)P（m，0）(m>0)且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，則存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.七坐標(biāo)系與參數(shù)方程（一）選修考試?yán)?. 已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1） 求圓的直角坐標(biāo)方程；（2） 若是直線與圓面的公共點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）圓的極坐標(biāo)方程為.，又，.，圓的普通方程為；（2）方法一.設(shè).由(1)知圓的方程，圓的圓心是

24、，半徑是.將代入得，又直線過，圓的半徑是.，即的取值范圍是.方法二.直接求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A,B.再代入求范圍。說明：第一問主要是步驟完整的問題，第二問的方法一較巧妙，剛好是直線經(jīng)過圓心，方法二雖然計(jì)算復(fù)雜一點(diǎn)，但是更容易學(xué)生掌握.（二）、坐標(biāo)系伸縮變換的應(yīng)用定義：設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)，在伸縮變換：作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到，具有如下一些基本性質(zhì)：（1）點(diǎn)與線、線與線的位置關(guān)系不變；（2）同一直線上兩線段的長(zhǎng)度之比不變；（3）直線斜率為變換后的直線斜率的倍，即；（4）封閉圖形面積為變換后圖形面積的倍，即例1一種作圖工具如圖1所示，是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過N處鉸鏈與ON連接

25、，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由xDOMNy解：（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，且，所以，且即且 由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入得，即所求的曲線的方程為 （2）方法一：（i）直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有 （ii）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去得因?yàn)?/p>

26、直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即 又由得；同理可得由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得 將代入得當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ的面積取得最小值8方法二：坐標(biāo)系的伸縮變換由橢圓方程做坐標(biāo)系伸縮變換，令，得圓的方程，設(shè)直線變換后的斜率為，則由兩直線和，變換之后可得和，易知，如圖所示，在中，斜邊上的高等于半徑1，再設(shè)，則， ，則原三角形面積的最小值為例2平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是和，以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左

27、、右焦點(diǎn)分別為和，若動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且于，于，設(shè)為四邊形的面積，請(qǐng)求出的最大值，并說明此時(shí)直線的位置；若無(wú)最大值，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)兩圓相交于點(diǎn)，且在橢圓上，則滿足，由且，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有化簡(jiǎn)得，而動(dòng)直線和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)后得（）；設(shè)，到直線的距離分別是和，則，不妨設(shè)，（i）若（為直線的傾斜角），作于，則，得 ，故，而，由（）式，可得，又，得，再由雙勾函數(shù)在單增，得；（ii）若，此時(shí)直線平行于軸且與橢圓相切，可得四邊形為矩形，再由矩形底邊長(zhǎng)為焦距，矩形高為短半軸長(zhǎng)，綜上，直線平行于軸且與橢圓相切時(shí)，四邊形的面積有最大值為方法二：坐標(biāo)系的伸縮變換令 .聯(lián)立得：，由，得 設(shè)切點(diǎn)為，則，又， .1°當(dāng)時(shí)，設(shè)傾斜角為，過作于,設(shè)，當(dāng)?shù)木嚯x為，.，,由式可得，S<1.2°當(dāng)k=0時(shí)，S=1綜上所述，當(dāng)平行于x軸且與相切時(shí)有，.轉(zhuǎn)換回坐標(biāo)系，平行于x軸且與C2相切時(shí)有最大值思路總結(jié)：利用坐標(biāo)系的伸縮變換，化