專題1第4講轉化與化歸思想Word版

1、 四、轉化與化歸思想轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種數學方法一般是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題2轉化與化歸的常見方法(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題(2)換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題(3)數形結合法：研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑(4)等價轉化法：把原問題轉化為

2、一個易于解決的等價問題，以達到化歸的目的(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題的結論適合原問題(6)構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑(8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于探求(9)參數法：引進參數，使原問題轉化為熟悉的問題進行解決(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA使原問題獲得解決，體現(xiàn)了正難則反的原則例1若橢圓C的方程為1，焦點在x軸上，與直線yk

3、x1總有公共點，那么m的取值范圍為_思維流程特殊與一般的轉化步驟特殊與一般轉化法是在解決問題過程中將某些一般問題進行特殊化處理或將某些特殊問題進行一般化處理的方法這類轉化法一般的解題步驟是：第一步：確立需轉化的目標問題：一般將要解決的問題作為轉化目標第二步：尋找“特殊元素”與“一般元素”：把一般問題轉化為特殊問題時，尋找“特殊元素”；把特殊問題轉化為一般問題時，尋找“一般元素”第三步：確立新目標問題：根據新確立的“特殊元素”或者“一般元素”，明確其與需要解決問題的關系，確立新的需要解決的問題第四步：解決新目標問題：在新的板塊知識背景下用特定的知識解決新目標問題第五步：回歸目標問題第六步：回顧反

4、思：常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等對于選擇題，當題設在普通條件下都成立時，用特殊值進行探求，可快捷地得到答案；對于填空題，當填空題的結論唯一或題設條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案1已知雙曲線C：1的右支上存在一點P，使得點P到雙曲線右焦點的距離等于它到直線x(其中c2a2b2)的距離，則雙曲線C離心率的取值范圍是()A(1, B，)C(1, 1 D1，) 例2(1)設x，y為正實數，若4x2y2xy1，則2xy的最大值是_(2)若關于x的方程9x(4a)·3x40有解，則實數a的取值范圍是_思維流

5、程函數、方程與不等式間的轉化函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數幫助，解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式關系轉化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍2已知函數f(x)ax3bx2x3，其中a0.(1)當a，b滿足什么條件時，f(x)能取得極值？(2)已知a>0，且f(x)在區(qū)間(0,1上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍 例3若對于任意t1,2，函數g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調函數，則實數m的取值范圍是_思維流程正與反的轉化法正難則反，利用補集求得其解，

6、這就是補集思想，一種充分體現(xiàn)對立統(tǒng)一、相互轉化的思想方法一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”情形的問題中3若二次函數f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內至少存在一個值c，使得f(c)>0，則實數p的取值范圍是_例4已知函數f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導函數對滿足1a1的一切a的值，都有g(x)<0，則實數x的取值范圍為_思維流程主與次的轉化法合情合理的轉化是數學問題能否“明朗化”的關鍵所在，通過變換主元，起到了化繁為簡的作用在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：

7、x及a，關鍵在于該把哪個字母看成變量，哪個看成常數顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉化為在1,1內關于a的一次函數小于0恒成立的問題4設f(x)是定義在R上的單調增函數，若f(1axx2)f(2a)對任意a1,1恒成立，求x的取值范圍 “化歸與轉化”還有“數與形的轉化、數學各分支之間的轉化”等，應用時還應遵循以下五條原則：1熟悉化原則將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于運用熟知的知識和經驗來解答問題2簡單化原則將復雜的問題轉化為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據3和諧化原則轉化問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數與形內部所表示的和諧統(tǒng)一的

8、形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或符合人們的思維規(guī)律4直觀化原則將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決5正難則反原則當問題正面討論遇到困難時，應想到考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲得解決，或證明問題的可能性總之，化歸與轉化是高中數學的一種重要思想方法，掌握好化歸與轉化的思想方法的特點、題型、方法、要素和原則對我們學習數學是非常有幫助的一、選擇題1若a>2，則關于x的方程x3ax210在(0,2)上恰好有() 個根A0 B1 C2 D32.如圖所示，已知三棱錐P­ABC，PABC2，PBAC10，PCAB2，則三棱錐P­ABC的體積

9、為()A40 B80C160 D2403定義運算：(ab)xax2bx2.若關于x的不等式(ab)x<0的解集為x|1<x<2，則關于x的不等式(ba)x<0的解集為()A(1,2)B(，1)(2，)C.D.(1，)4已知(cos 1,2sin 1)，(cos 2，2sin 2)，若(cos 1，sin 1)，(cos 2，sin 2)，且滿足·0，則SOAB等于()A. B1C2 D45已知函數f(x)4sin22cos 2x1且給定條件p：“x”，又給定條件q：“|f(x)m|<2”，且p是q的充分條件，則實數m的取值范圍是()A(3,5) B(2,

10、2)C(1,3) D(5,7)6拋物線yx2上的所有弦都不能被直線ym(x3)垂直平分，則m的取值范圍是()A. B.C. D(1，)二、填空題7. 若x，yR，集合A(x，y)|x2y21，B，當AB有且只有一個元素時，a，b滿足的關系式是_8已知數列an滿足a11，an1aan，用x表示不超過x的最大整數，則_.9在各棱長都等于1的正四面體OABC中，若點P滿足xyz (xyz1)，則|的最小值等于_三、解答題10(2013·海淀模擬)在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC的中點，又CAD30°，PAAB4，點N在線段PB上，且.(1)求證：BDPC；(2)求證：MN平面PDC；(3)設平面PAB平面PCDl，試問直線l是否與直線CD平行，請說明理由11已知函數f(x)x，g(x)aln x，其中x>0，aR，令函數h(x)f(x)g(x)(1)若函數h(x)在(0，)上單調遞增，求a的取值范圍；(2)當a取(1)中的最大值時，判斷方程h(x)h(2x)0在(0,1)上是