房價預測的數學模型

1、房價預測的數學模型吳佳平（數學學院 信息與計算科學 31090519）摘要：房地產業(yè)是國民經濟發(fā)展的重要產業(yè)，它的健康發(fā)展對拉動GDP 增長，調整產業(yè)結構，促進我國經濟持續(xù)可協(xié)調發(fā)展有重要意義。同時，房價又是一個與民生息息相關的社會問題，房價增長速度高于居民可支配收入增長速度將造成很多家庭買房難。房屋銷售價格指數是反映一定時期房屋銷售價格變動程度和趨勢的相對數，它是通過百分數的形式來反映房價在不同時期的漲跌幅度。一般以房屋銷售價格指數作為衡量一個地區(qū)一段時間內的房價水平。針對房屋銷售價格指數的分析有很多方法，自回歸模型用于分析平穩(wěn)且非純隨機性序列。本文從決定房價的內生因素入手，即從供給和需求兩

2、個方面分別選取廣義貨幣供應量、土地交易價格、居民消費物價指數CPI和房地產開發(fā)景氣作為房價的決定性因素，綜合應用時間序列模型和多因素回歸模型來建立房價預測與調控模型，并通過MATLAB 仿真說明房價預測與調控模型的決定性因素、調控措施的影響等，仿真結果表明該模型較準確預測了房價增長并在出現較大政府調控措施能準確反映房價變化。關鍵詞：房價形成因素，房價構成模型，多元回歸模型，MATLAB 1. 問題提出房價問題事關國計民生，對國家經濟發(fā)展和社會穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關注的問題。我國自從取消福利分房制度以來，隨著房價的不斷飆升，房價問題已經成為全民關注的焦點議題之一，從國家領導人、地方

3、政府官員，到開發(fā)商、專家學者、普通百姓通過各種媒體表達各種觀點，但對于房價是否合理、未來房價的走勢等關鍵問題，至今尚未形成統(tǒng)一的認識。請根據中國國情，收集建筑成本、居民收入等與房價密切相關的數據，選取我國具有代表性的幾類城市對房價的合理性及房價的未來走勢等問題進行定量分析；根據分析結果，進一步探討使得房價合理的具體措施，以及可能對經濟發(fā)展產生的影響，并進行定量分析。2. 房價構成模型分析基本假設：房地產價格預測方法也可以房價的構成為基礎進行研究。房地產價格分成四大塊：土地成本、開發(fā)成本、政策稅費以及開發(fā)商的預期利潤。房價構成結構圖：(見下頁)其中，稅費影響可以用“國家貨幣供應量M2”、“房地產

4、貸款利率R”表示。貸款利率R和貨幣供應量M2對房價的稅費率的調控主要集中在一年期貸款利率R和貨幣供應量M2，據統(tǒng)計一般情況下，開發(fā)商超過70%的資金來源依靠貸款，因此貸款利率的上調會導致開發(fā)商成本的上升，貨幣供應量M2的緊縮導致開發(fā)商貸款的難度增大，這樣，房地產商融資的成本會進一步上升，而這些成本開發(fā)商會間接的轉嫁到房價當中。全國貸款一年利率R統(tǒng)計圖如下：全國貨幣供應量M2統(tǒng)計圖如下：利潤預期則用“房地產開發(fā)綜合景氣指數”表示。房地產開發(fā)綜合景氣指數是反映房地產業(yè)發(fā)展景氣狀況的綜合指數。它是根據經濟周期波動理論和景氣指數原理，采用合成指數的計算方法，從房地產業(yè)發(fā)展必須同時具備的土地、資金和市場

5、需求三個基本條件出發(fā)，選擇房地產開發(fā)投資、資金來源、土地出讓收入、完成土地開發(fā)面積、空置面積、新開工面積、竣工面積、商品房銷售價格這8個具有代表性的統(tǒng)計指標進行分類指數測算，然后進行加權平均得到的總體指數，并以1994年12月為基期對比計算出用百分制表示的指數體系。它從某種程度上反映了地產商對房地產利潤的預期。全國房地產景氣指數GI如下：開發(fā)成本由建筑成本、人工成本、管理成本、拆遷成本組成，可以用“物價指標”表示。物價指標包括：居民消費價格指數（CPI）和工業(yè)品出廠價格指數（PPI）。樓面價格則可用“土地交易價格指數”表示。土地交易價格指數指房地產開發(fā)商或其他建設單位在進行商品房開發(fā)之前，為取

6、得土地使用權而實際支付的價格的變動趨勢和程度的相對數。 土地交易價格是指房地產開發(fā)商或其他建設單位在進行商品房開發(fā)之前，為取得土地使用權而實際支付的價格，不包括土地的后繼開發(fā)費用、稅費、各種手續(xù)費和拆遷費等。它包括居民住宅用地、工業(yè)用地、商業(yè)旅游和娛樂用地及用于建造辦公、教育、醫(yī)療科研、服務用房等其他綜合用地四部分。土地交易價格指數，就是指反映一定時期內土地交易價格變動趨勢和變動程度的相對數。 土地交易價格指數是反映房地產開發(fā)商或其他建設單位，為取得土地使用權而實際支付價格的變動情況。 全國/北京/西安/大連 平均土地交易價格指數TI統(tǒng)計圖如下：系列1：全國系列2：北京系列3：西安系列4：大連

7、房價相關參數，2000-2010年全國統(tǒng)計數據：房價相關量居民消費價格指數 CPI工業(yè)品出廠價格指數 PPI房地產景氣指數 GI貨幣供應量 M2一年期貸款利率 R2000100.4102.8102.2134610.265.942001100.798.7106.511528885.94200299.297.8104.61838885.492003101.2102.3106.282198885.762004103.9106.11052532075.762005101.8104.9102.17269240.495.762006101.5103101.87316709.816.032007104.81

8、03.1103.32369718.157.472008105.9106.9103.34436221.67.02200999.394.695.945482445.42010102.9107.1105.076634005.85模型分析中選擇房價不同的三類城市是 北京、西安、大連土地交易價格指數TI統(tǒng)計數據：土地交易價格指數TI全國北京西安大連2000100.2100.498.799.32001101.3102.4100.4100.92002106.4106.3105.2106.12003104.5103.6101.5102.42004107.9108.4106.2107.62005109.1110

9、.5107.8109.12006105.8106.9104.3105.82007112.3109.4105.9107.52008109.4111.6104.21092009105.4104101.7101.22010110.4118.5110.3110.5房屋銷售價格指數PI統(tǒng)計數據： 系列1：全國系列2：北京系列3：西安系列4：大連房屋銷售價格指數全國北京西安大連2000101.199.5101.3100.22001102.2101.3101.999.62002103.7100.3101.198.42003104.8100.3101.4100.72004109.7103.7105104.62

10、005107.6106.7104.3109.22006105.5108.8103.6110.92007107.61131101052008106.5109.4108.1104.82009107.8109.2105.7104.72010106.4106.3108.2110.53.基本模型的建立經過房價構成分析，構建房價構成基本模型如下：（1）式中，表示房價，表示地價，表示開發(fā)商成本，表示各項稅費，表示預期利潤率。設地價為元/每平方米，土地容積率為，稅費率為，預期利潤率為，因此，房價的表達式可以表示為：（2）由房價的構成模型可以看出房價由“政策項”和“成本項”構成?！罢唔棥卑ㄕ魇盏亩愘M率

11、和利潤預期率。“成本項”包括開發(fā)成本，樓面地價。其中開發(fā)成本包括建筑成本，人工成本，管理成本等，而樓面地價包含地價和容積率兩個因素，不同地段和不同房屋構造容積率導致成本差別也較大。顯然，影響房價的因素有多方面的，其中很多因素自身又有很明顯的相關性，因此在采用回歸分析的方法時，需要對各決定性因素進行預處理，使之可以滿足回歸的條件。一些非平穩(wěn)的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯(lián)關系，這時對這些數據進行回歸就是虛假回歸。因此，我們采用房地產綜合開發(fā)景氣指數代表房價構成模型中預期利潤，土地交易價格指數來代表房價構成模型中樓面地價，消費物價指數代表開發(fā)成本，廣義貨幣

12、供應量來反應房價構成模型中的政策影響。從房價構成模型可以看到各因素對房價影響機制復雜，要使用多元回歸，我們還需要對（2）進行對數處理，為了消除數據中可能存在的異方差現象。如下式：式中，房價與各項因子之間并非線性關系，但是其對數形式與各項因子對數形式之間是線性關系，考慮到和可以分別代表政策項和成本項對于房價的影響，因此假設，則基于房價構成模型的多元回歸預測模型如下式：然而，從房價構成模型推導出來的多元回歸模型雖然從理論上解釋了房價的構成，但是關于“政策項X1”和“成本項X2”并沒有量化的指標，因此文中對政策項和成本項進行細化分析。“政策項X1”包含廣義貨幣供應量M2和貸款匯率R，“成本項”包含居

13、民消費物價指數CPI和工業(yè)生產價格指數PPI，土地交易價格指數TI和房地產綜合開發(fā)景氣指數GI表示房價構成的因素。房價建立總相關量一共有六個。在不考慮相關程度的情況下，改進模型如下所示：式中， 代表土地交易價格指數， 代表消費物價指數， 代表工業(yè)生產價格指數， 代表房地產綜合開發(fā)景氣指數， 代表房地產貸款匯率， 代表廣義貨幣供應量，a0 是常數項，a1a6代表各種因素的權重， 代表誤差項。4.模型求解利用MATLAB對通用相關量進行預測（此處近似估計，采用三階函數擬合）1. 對CPI進行預測，Matlab程序：clc;clear; CPI=100.4 100.7 99.2 101.2 103.

14、9 101.8 101.5 104.8 105.9 99.3 102.9' t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XCPI;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,CPI,'o'),grid on% CPI出圖2. 對PPI進行預測，Matlab程序：clc;clear; PPI=102.8 98.7 97.8 102.3 106.1 104.9 103 103.1 106.9 94.6 107.1'

15、; t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XPPI;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,PPI,'o'),grid on% PPI出圖3. 對GI進行預測，Matlab程序：clc;clear; GI=102.2 106.51 104.6 106.28 105 102.17 101.87 103.32 103.34 95.94 105.07' t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T

16、=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XGI;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,GI,'o'),grid on% GI出圖4. 對R進行預測，Matlab程序：clc;clear; R=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 109.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=

17、XR;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,R,'o'),grid on% R出圖5. 對M2進行預測，Matlab程序：clc;clear; M2=134610.26 152888 183888 219888 253207 269240.49 316709.81 369718.15 436221.6 548244 663400't=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XM2;Y=ones(size(T)

18、T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,M2,'o'),grid on% M2出圖由上面5個房價相關量的曲線，可以預測到2011年的房價相關參數，利用MATLAB對三類城市房價進行多元回歸1.對北京市房價的多元回歸Matlab程序：clc;clear; TI=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 109.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' CPI=100.4 100.7 99.2 101.2 103.9 101.8 101.5 104.8 105.9 99.3 102.9' PPI

19、=102.8 98.7 97.8 102.3 106.1 104.9 103 103.1 106.9 94.6 107.1' GI=102.2 106.51 104.6 106.28 105 102.17 101.87 103.32 103.34 95.94 105.07' R=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 109.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' M2=134610.26 152888 183888 219888 253207 269240.49 316709.81 369718.15 436221.6 5

20、48244 663400'PI=100.4 102.4 106.3 103.6 108.4 110.5 106.9 109.4 111.6 104 118.5'X=ones(size(TI) log(TI) log(CPI) log(PPI) log(GI) log(R) log(M2);a=XPI;% beijing得到各項權重 a0 a6 的結果：a = -355.5449 70.2842 -102.2948 63.0819 52.4731 05.77612.對西安市房價的多元回歸Matlab程序clc;clear; TI=98.7 100.4 105.2 101.5 10

21、6.2 107.8 104.3 105.9 104.2 101.7 110.3' CPI=100.4 100.7 99.2 101.2 103.9 101.8 101.5 104.8 105.9 99.3 102.9' PPI=102.8 98.7 97.8 102.3 106.1 104.9 103 103.1 106.9 94.6 107.1' GI=102.2 106.51 104.6 106.28 105 102.17 101.87 103.32 103.34 95.94 105.07' R=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 1

22、09.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' M2=134610.26 152888 183888 219888 253207 269240.49 316709.81 369718.15 436221.6 548244 663400'PI=100.4 102.4 106.3 103.6 108.4 110.5 106.9 109.4 111.6 104 118.5'X=ones(size(TI) log(TI) log(CPI) log(PPI) log(GI) log(R) log(M2);a=XPI;% xian得到各項權重 a0 a6 的結果a = -595.7960 101.6979 15.6824 20.7985 27.3636 -26.5287 4.69163.對大連市房價的多元回歸Matlab程序：clc;clear; TI=99.3 100.9 106.1 102.4 107.6 109.1 105.8 107.5 109 101.2 110.5&