二次函數(shù)中平行四邊形通用解決方法

1、v1.0可編輯可修改 探究 (1)在圖1中，已知線段ABCD其中點(diǎn)分別為E,F。 若A(-1,0),B(3,0),則E點(diǎn)坐標(biāo)為; 若C(-2,2),D(-2,-1),則F點(diǎn)坐標(biāo)為; (2)在圖2中，已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,b),B(c,d),求出圖中AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含a,b,c,d的代數(shù)式表示)，并給出求解過程；歸納無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置,當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,b),B(c,d),AB中點(diǎn)為D(x,y)時(shí)，x=,y=(不必證明)運(yùn)用3在圖2中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y的圖象交點(diǎn)為A,Bo求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；若以A,O,B,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請利

2、用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)。11v1.0可編輯可修改23圖i22平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式口ABCD勺頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（xa, yA）、B（ xb, yB）、 yA+yc=y+yo.證明： 如圖2,連接AC BD,相交于點(diǎn)E.點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),圖2以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高.對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決.由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解.為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決這

3、一類題.1兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點(diǎn)。線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（xi,yi）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（X2,y2）,則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（xiX2yiy2）22證明：如圖1,設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp,yp）.由xp-xi=x2-xp,彳導(dǎo)xp=xx2,同理2yp=y2,所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,衛(wèi)普）2Qxc,yc）、D（xd,yo）,貝U：xa+xc=xb+xd；v1.0可編輯可修改，E點(diǎn)坐標(biāo)為(xAxC,yAyC).22又點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，.E點(diǎn)坐標(biāo)為(

4、生W,®D).22Xa+XC=Xb+Xd；yA+yC=yB+yD.即平行四邊形對角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.2一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識如圖3,已知不在同一直線上的三點(diǎn)ABC,在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D,使以A、RCD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.答案有三種：以AB為對角線的DACBD以AC為對角線的ABCD以BC為對角線的DABDC.3兩類存在性問題解題策略例析與反思三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題例1已知拋物線y=x2-2x+a(a<0)與y軸相交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為M直線y=-x-a分別與2x軸、y軸相交于BC兩點(diǎn)，并且與直線AMf交于點(diǎn)N(1)填空：試用含

5、a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M)，N():(2)如圖4,將NAOy軸翻折，若點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)N'恰好落在拋物線上，AN與x軸交于點(diǎn)D,連接CQ求a的值和四邊形ADCN勺面積；(3)在拋物線y=x2-2x+a(av0)上是否存在一點(diǎn)P,使彳#以P、A、CN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.解：(1)M1,a-1),N(-a,-a);(2)a=-§；S四邊形ADC=189；3341633v1.0可編輯可修改由已知條件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(fa,-1a).設(shè)P(mm2-2m+a).33當(dāng)以AC為對角線時(shí)，由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)

6、公式(解題時(shí)熟練推導(dǎo)出)，得:0 0 a mm 3212,15a a -am 2m a a 38當(dāng)以AN為對角線時(shí)，得c4c0 a0 m31 2a -a a m 2m a35m 2 (不合題意，舍去).15a 一8當(dāng)以CN為對角線時(shí)，得40 a 0 m3一 1 一一 2a -a a m 2m a31238在拋物線上存在點(diǎn)R(9，-5)和 P2(- 1,7 ),使得以 P、A、C282 8N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形反思：已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)， 可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程(組)求解.這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚,往往要以這三條線段分別

7、為對角線分類，分三種情況討論兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動點(diǎn)，探究平行四邊形存在性問題例2如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(-1,0), B(3,0), C(0,(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q P、A B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo).圖5v1.0可編輯可修改解：(1)易求拋物線的表達(dá)式為y=1x2-x1；33(2)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,t);點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m1m22m1).33盡管點(diǎn)Q在y軸上，也是個(gè)動點(diǎn)，但可理解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了.當(dāng)以AQ為對角線時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=

8、3+mm=-4,Pi(-4,7);當(dāng)以BQ為對角線時(shí)，得：-l+m：3+0,m=4,P2(4,E)；3當(dāng)以AB為對角線時(shí)，得：-1+3=m+),m=2,F3(2,-1).綜上，滿足條件的點(diǎn)P為P1(-4,7)、P2(4,另)、P3(2,-1).3反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動點(diǎn)在x軸(y軸)或?qū)ΨQ軸或某一定直線上.設(shè)出拋物線上的動點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式.該動點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不設(shè).另外，把在定直線上的動點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，

9、這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論.例3如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,4AMB勺面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、QRO為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：(1)易求拋物線的解析式為y=1x2+x-4；2(2)s=-m2-4m-4<n<0)；s最大=4(過程略)；(3)盡管

10、是直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程.由題意知O(0,0)、B(0,-4).由于點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，設(shè)Qs,-s),把Q看做定點(diǎn)；設(shè)P(mn2+m4).255v1.0可編輯可修改當(dāng)以O(shè)Q為對角線時(shí),0s0m1 2,0s4mm4圖62s=-22,y5.Q(-2+275,2-275),Q(-2-2j5,2+2后;當(dāng)以BQ為對角線時(shí)，0m0s1 20mm44s2.si=-4,s2=0(舍).，Q(-4,4);當(dāng)以O(shè)B為對角線時(shí)，00sm1204smm421- si=4,s2=0(舍).Q(4,-4).綜上，滿足條件的點(diǎn)QQ(-2+2痣,2-2斯)、Q(-2-2遙,2+2石)、Q(-4,4)、

11、Q(4,-4).反思：該題中的點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（s,-s）,把Q看做定點(diǎn),就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了4問題總結(jié)這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點(diǎn)作為第四個(gè)動點(diǎn)，其余三個(gè)作為定點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）.這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想66v1.0可編輯可修改如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

12、已知RtAOB的兩條直角邊OAOB分別在y軸和x軸上，并且OAOB的長分別是方程x27x+12=0的兩根(OA<0B),動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒l個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，APQ與4AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).(3)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M使以AP、。M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，請直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.77v1.0可編輯可修改如圖，拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,一旦)三

13、點(diǎn).2(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo);N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊(3)點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M形為平行四邊形若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.88v1.0可編輯可修改如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+4與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，拋物線G：y=-Lx2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為C.4(1)求拋物線解析式及C點(diǎn)坐標(biāo).(2)向右平移拋物線Ci,使平移后的拋物線C2恰好經(jīng)過ABC的外心，拋物線Ci、G相交于點(diǎn)D,求四邊形AOCD勺面積.(3)已知拋物線G的頂點(diǎn)為M,設(shè)P為拋物線Ci對稱軸上一點(diǎn)，Q為拋物線C上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)MQP、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請說明理由.99v1.0可編輯可修改如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=