教育教學(xué)論文 例談在直角坐標(biāo)系中求圖形的面積

1、例談在直角坐標(biāo)系中求圖形的面積 甘肅省定西市岷縣第四中學(xué) 包蘇鈺【內(nèi)容摘要】圖形的面積可以利用相應(yīng)的面積公式求得，但是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的求面積問(wèn)題，往往不直接給出邊或高之類的條件，而是給出一些點(diǎn)的坐標(biāo)。我們常常會(huì)遇到在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積和一些不規(guī)則圖形面積的問(wèn)題，解題時(shí)我們要注意其中的解題方法和解題技巧，能直接運(yùn)用公式求的可直接運(yùn)用公式求出面積。對(duì)于求不規(guī)則圖形的面積，通常可采用“割補(bǔ)法”來(lái)解答。關(guān)鍵詞：平面直角坐標(biāo)系、圖形、面積圖形的面積可以利用相應(yīng)的面積公式求得，但是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的求面積問(wèn)題，往往不直接給出邊或高之類的條件，而是給出一些點(diǎn)的坐標(biāo)。我們常常會(huì)遇到在平面直角坐

2、標(biāo)系中求三角形面積和一些不規(guī)則圖形面積的問(wèn)題，解題時(shí)我們要注意其中的解題方法和解題技巧?，F(xiàn)對(duì)這類題目的解法舉例說(shuō)明如下：一、運(yùn)用“直接法”求面積這種方法可運(yùn)用于在求三角形及其一些規(guī)則圖形，當(dāng)圖形有一邊在坐標(biāo)軸上或有一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)可以利用相應(yīng)的面積公式求得它們的面積。（一）、至少有一邊在坐標(biāo)軸上例1 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,0),（0,0）,（0,3），是求出三角形AOB的面積。圖1分析：由三角形特征可以看出，AOB的兩邊OA和OB分別在坐標(biāo)系x軸和y軸上，且有OAOB，即AOB為直角三角形。由圖可知OA=2，OB=3.可直接根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解。解：由

3、題意可知，AOB為直角三角形，OA=2-0=2，OB=3-0=3.所以.例2如圖2，平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），（0，1），你能求出三角形ABC的面積嗎？                圖2分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，ABC的邊BC在y軸上，由圖形可得BC4，點(diǎn)A到BC邊的距離就是A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，也就是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值3，然后根據(jù)三角形的面積公式求解。 解：因?yàn)锽(0,3),C(0,-1),所以B

4、C=3-（-1）=4.因?yàn)锳(-3,0),所以A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，即BC邊上的高為3，（二）、有一邊與坐標(biāo)軸平行例3 如圖3所示，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，-2），B（4，-2），C（3，2）.求三角形ABC的面積.分析：觀察圖形，在坐標(biāo)系中讀取三角形ABC的一邊的長(zhǎng)度，和該邊上的高的長(zhǎng)度.因?yàn)锳Bx軸，所以AB可以作為三角形的底邊，點(diǎn)C到AB的距離可以作為三角形的高。 圖3解：因?yàn)锳B=4-0=4，AB邊上的高為h=2-（-2）=4，所以三角形ABC的面積是：AB·h=×4×4=8.評(píng)注：當(dāng)兩點(diǎn)在平行于x軸的直線上時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的

5、差的絕對(duì)值；當(dāng)兩點(diǎn)在平行于y軸的直線上時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值。二、運(yùn)用“割補(bǔ)法”求面積（一）、運(yùn)用“分割法”求面積該方法可運(yùn)用于求一些不規(guī)則圖形的面積，將一個(gè)不規(guī)則圖形分割成幾個(gè)規(guī)則圖形和的形式，分別求出幾個(gè)規(guī)則圖形面積，再把他們各自面積加起來(lái)的和就是該圖形的面積。例4 如圖4，三角形AOB中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,4），（5,2），AO上有一整點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2），求三角形AOB的面積。圖4分析：該題中點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,2），點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,2)，所以 B，C在平行x軸的直線上，且線段BC=5-1=4.連接 BC可把三角形AOB分割成兩個(gè)底邊與想x軸平行的三角形A

6、BC和三角形BOC。它們的面積和即為三角形AOB的面積。解：連接BC，且BC=4，是三角形ABC，三角形BOC的底。由圖可知點(diǎn)A距離BC的長(zhǎng)度為2，即三角形ABC的高是2。點(diǎn)O距離BC的長(zhǎng)度為2，即三角形BOC的高是2。，所以 ，。點(diǎn)評(píng)：如果三角形的三邊中沒(méi)有任何一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行時(shí)，則應(yīng)將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和或差。例5 如圖5，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，2），B（-3，-3），C（3，-3），D（2，1），求四邊形ABCD的面積。 圖5分析：四邊形ABCD不是規(guī)則的四邊形，要求其面積，可將該四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形的面積的和來(lái)計(jì)算。

7、解：作AEBC于E，DFBC于F，則四邊形ABCD的面積=三角形ABE的面積+梯形AEFD的面積+三角形DFC的面積，因?yàn)槿切蜛BE的面積為：BE·AE=×1×5=，梯形AEFD的面積為：（DF+AE）·EF=×（4+5）×4=18，三角形DFC的面積為：FC·DF=×1×4=2，所以點(diǎn)評(píng)：解決平面直角坐標(biāo)系中的四邊形的面積問(wèn)題，一般思路是將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，再利用相關(guān)的圖形的面積公式求解.（二）、運(yùn)用“補(bǔ)形法”求面積該方法可運(yùn)用于求一些不規(guī)則圖形的面積或者圖形通過(guò)分割無(wú)法求出面積時(shí)，將一個(gè)不規(guī)則圖形通過(guò)補(bǔ)形，補(bǔ)成為幾個(gè)可直接求出面積的規(guī)則圖形，通過(guò)幾個(gè)圖形的面積加減得到該圖形的面積。例6 如圖 6，A(-3，4)，B（-1,2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積？ 圖6分析 過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C、D。根據(jù)三角形的面積公式求得、的值，然后由圖形可以求得。解 過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C、D。 A（-3，4），B（-1，2）， OC=3，AC=4，OD=1，BD=2，。評(píng)注：在直角坐標(biāo)系中