平行線的性質(zhì)基礎(chǔ)知識講解

1、平行線的性質(zhì)（基礎(chǔ)）知識講解【學習目標】1,掌握平行線的性質(zhì)公理、定理，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)公理、定理進行簡單的推解；2, 了解并掌握平行線的性質(zhì)定理的探究過程；3, 了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系.【要點梳理】要點一、平行線的公理、定理公理：兩條平行線被第三條直線所截，得到的同位角相等.（簡記為：兩直線平行，同位角相等）.定理：兩條平行線被第三條直線所截，得到的內(nèi)錯角相等（簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯 角相等）.定理：兩條平行線被第三條直線所截，得到的同旁內(nèi)角互補（簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.要點詮釋：（1） “同位角相等、內(nèi)錯角相等”、“同旁內(nèi)角互補”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，

2、切不可忽視前提“兩直線平行”.（2）從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關(guān)系，是平行線的性質(zhì).要點二、平行線的性質(zhì)定理的探究過程1 .兩條平行線被第三條直線所截，得到的內(nèi)錯角相等（簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.因為a / b,所以/ 1 = /2 （兩直線平行，同位角相等），又/ 3=7 1 （對頂角相等）所以/ 2=7 3.2 .兩條平行線被第三條直線所截，得到的同旁內(nèi)角互補（簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.所以/ 3=7 2 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又/ 3+/1=180° （補角的定義）， 所以/ 2+Z 1=180° .要點

3、詮釋：平行線性質(zhì)定理的證明，要借助平行線線性質(zhì)公理， 因為公理是人們在生產(chǎn)和生活中總結(jié)出來的正確的結(jié)論，不需要證明，但是定理、性質(zhì)或推論到的證明其正確性.要點三、平行線的性質(zhì)與判定（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行 關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.（2）應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設和結(jié)論，切莫混淆.（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平 行.聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)

4、造出三類角.【典型例題】類型一、平行線的性質(zhì)公理、定理的應用C1 .如圖所示，如果 AB/ DF, DEE/ BC,且/ 1 = 65° .那么你能說出/ 2、/ 3、/ 4的 度數(shù)嗎？為什么.【思路點撥】 本題已知條件中，包含了兩個層次：第一層次是由DE/ BC,可彳導/ 1 = 7 4,71+72=180° ;第二層次是由 DF/ AB,可彳導/ 3= / 2或/ 3+/4= 180° ,從而解出/ 2、 /3、/ 4的度數(shù).【答案與解析】解：DE / BC, /4=/ 1=65° （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）./ 2+/1 = 180° （

5、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ）.72= 180° -71 = 180° -65 ° =115° .又 DF/AB（已知），/3=/2（兩直線平行，同位角相等 ）./3= 115° （等量代換）.【總結(jié)升華】 平行線的性質(zhì)：由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系.舉一反三：【變式】（2015?永州）如圖，/ 1=Z2, / A=60°,則/ ADC=度.【答案】 解：/ 1 = 72,AB / CD ,A+ / ADC=180 °,和“兩直線平行同旁內(nèi)/ A=60 °, ./ADC=120 °.故答

6、案為:120°.如圖，一條鐵路修到一個村子邊時，需拐彎繞道而過， 如果第一次拐的角/ A是105度，第二次拐的角/ B是135度， 第三次拐的角是/ C,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路 平行，那么/ C應為多少度？【思路點撥】 過點B作直線BE/ C口用“兩直線平行內(nèi)錯角相等” 角互補”解答.【答案與解析】解：過點B作直線BE/ CD1. CD/ AF, .BE/ CD/ AF. ./ A=Z ABE=105 . / CBE"BC-/ABE=30 .又 BF/ CD /CBE+Z C=180 ./C=150 .JB【總結(jié)升華】此題是一道生活實際問題， 根據(jù)題目信息，轉(zhuǎn)

7、化為關(guān)于平行線性質(zhì)的數(shù)學問題.3.已知，如圖， AB/ CD BE/ FD.求證：/ B+/ D=180【思路點撥】 根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/B=Z 1, /1+/D=180 ,等量代換即可證明/B+ZD=180 .【答案與解析】證明：. AB/ CD （已知），/B=/1 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. BE/ FD （已知）, 1+/D=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）B+/ D=180 (等量代換)【總結(jié)升華】 此題主要考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯 角相等.舉一反三【變式】如圖， AB/ CD CE平分/ ACD若/ 1=25° ,求/ 2的度數(shù)

8、.【答案】解：: CE平分/ ACD / 1=25° , ECD= 1=25° ,1. AB/ CD ./ ECD+ 2=180° ,.Z 2=180° - ZECD=155 ./ PCD的關(guān)系，請你從所得到的關(guān)系中任選一個加以說明.（2016春?秦皇島期末）如圖，AB/ CD分別探討下面四個圖形中/ APC 與/PAB（適當添加輔助線，其實并不難） 根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，或結(jié)合三角形的外（2）【思路點撥】關(guān)鍵過轉(zhuǎn)折點作出平行線, 角性質(zhì)求證即可.【答案與解析】如圖：B(1) /APC= PAB吆 PCD證明：過點 P 作 PF/ AR 則 AB/

9、 CD/ PF,/APCW PAB吆PCD(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)(2) Z APCy PAB吆 PCD=360;(3) /APCWPAB- /PCD(4) AB/ CD / POBW PCD.一/ POB是AOP的外角， / APC廿 PABh POB/ APC= POB- / PAB/ APC= PCD- / PAB【總結(jié)升華】兩直線平行時，應該想到它們的性質(zhì)，由兩直線平行的關(guān)系得到角之間的數(shù)量 關(guān)系，從而達到解決問題的目的.5.如圖費是大眾汽車的標志圖案，其中蘊涵著許多幾何知識.根據(jù)下面的條件完成證明.已知：如圖，BC/ AD BE/ AF.(1)求證：/ A=Z B;(2)若/ DO

10、B=135 ,求/ A的度數(shù).【思路點撥】(1)由平行線的性質(zhì)(兩直線平行，同位角相等)可得/ A=/B.(2)由平行線的性質(zhì)(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)可得/ A=180°-/DOE【答案與解析】解：(1)BC/ AD,/ B=Z DOE又 BE/ AF, / DOEW A, / A=Z B.(2) / DOBWEOA 由 BE/ AF,得/ EOA吆A=180° 又/ DOB=135 ,/ A=45 .【總結(jié)升華】本題考查的是平行線的性質(zhì)，主要是考查學生把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的能 力，要結(jié)合實際圖象畫出數(shù)學圖形，再運用平行線的性質(zhì)來解決.舉一反三【變式】已知：如圖，

11、BD/ AF/ CE, Z ABD=60 , / ACE=36 , AP是/ BAF的平分線，求/ PAC的度數(shù).【答案】解： BD/ AF, Z ABD=60 , ./ BAF=/ ABD=60 , , AP平分/ BAF 1 / PAF=- / BAF=30 ,2又 AF/ CE, / ACE=36 , / CAF4 ACE=36 ./ PAC=z PAF+/ CAF=30 +36° =66° 類型二、平行的性質(zhì)與判定綜合應用06、如圖所示，AB/ EF,那么/BAC+/ ACE它CE+180° =360°A. 180° B , 270°C . 360°D , 540°【答案】C【解析】 過點C作CD/ AB, CD / AB, /BAC吆ACD=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ） 又 EF / ABEF