第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（初中組）(可編輯)

1、第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（初中組） “華杯賽”官方網(wǎng)站/0>. 第十 六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 決賽試題 A初中組總分第十 六 屆華 羅庚金 杯少 年數(shù) 學(xué)邀請(qǐng) 賽 決 賽試 題 A (初中組) (時(shí)間: 2011 年 4 月 16 日 10:00 11:30) 一、 填空題 (每小題 10 分, 共 80 分) 1?1.2201. 計(jì)算: 13?1 ?3 ?1 ?1622. 算式:兔兔年吉祥 如意兔兔 兔兔兔 兔 中的漢字代表 0 9 的數(shù)字, 相同的漢字代表相同的數(shù)字, 不同的漢字代表不吉 祥 如 意同的數(shù)字, 所代表的四位數(shù)是3. 將12 個(gè)小 球放 入編 號(hào)

2、為1 至 4 的四 個(gè)盒 子中, 每 個(gè)盒 子中 的小 球 數(shù)不 小于 盒子編號(hào)數(shù), 那么 共有種不同的放法. 4. 有一列數(shù), 第一個(gè)數(shù)是 10, 第 二個(gè) 數(shù)是 20, 從第 三 個(gè)數(shù) 開(kāi)始, 每個(gè) 數(shù) 都是 前面所有數(shù)的平均數(shù), 那么第 2011 個(gè)數(shù)是x P3x6x32x6x95. 設(shè) 是有理數(shù), , 則P 的最小值為6. 將自然數(shù) 122 分別填在下面的 “”內(nèi)(每個(gè)“”只能填一個(gè)數(shù)), 在形成的 11 個(gè)分?jǐn)?shù)中, 分?jǐn)?shù)值為整數(shù)的最多能有個(gè) 7. 下面兩 串 單項(xiàng)式各有 2011 個(gè)單項(xiàng)式: 2 4 5 7 8 3nn 1 3 2 6028 6029 6031 6032xy ,x y

3、 ,x y , ,x y , ,x y ,x y 2 3 7 8 12 13 5m ?2 5m ?3 10052 10053 10057 10058x y ,x y ,x y , ?x y , ?,x y ,x y其中n,m 為非負(fù)整數(shù), 則這兩串 單項(xiàng)式中共有對(duì)同類(lèi)項(xiàng)8. 將能被 3 整除、被 5 除余 2 、被 11 除余 4 的所有這種正整數(shù)依照從小到大的a ,a ,a ,a , aa 2011 n順序排成一列, 記為如 果 , 則 等于1 2 3 4 nn ?1“ 華杯賽 ” 組委會(huì)辦公室 咨詢 :4006500888 - 1 - 學(xué)校_ 姓名_ 參賽證號(hào)密 封 線 內(nèi) 請(qǐng) 勿 答 題

4、 “華杯賽”官方網(wǎng)站/. 第十六 屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 決賽試題 A 初中組二、解答下 列各題 ( 每題 10 分, 共 40 分, 要求寫(xiě)出 簡(jiǎn)要過(guò)程 ) 9. 將 9 個(gè)各不相同的正整數(shù)填在 3 ×3 表格的格子中, 一個(gè)格子填一個(gè)數(shù), 使得每個(gè) 2×2 子表格中四個(gè)數(shù)的和都恰好等于 100. 求這 9 個(gè)正整數(shù)總和的最小值圖 1 圖 210. 右圖中, 平行四邊形ABCD 的 面積等于1, FBF是BC 上一點(diǎn), AC 與DF 交于E, 已知 , 3FC則三角形CEF 的面積是多少?11. 設(shè) 為非 零 自然數(shù), , 且滿足m,n,p m ?np8 8 8 mn

5、p方 程: mnp. 問(wèn) p 的最大值等于多少?3 3 3 2712. 如圖, 如果將梯形 ABCD 分割成 一個(gè) AB平行四邊形ABCE 和一個(gè) 三角形AED, 2 2AB 38 米, BC 26 米, CD72 米, 3 3DCAD20 米, 那么 四邊形ABCE , 三角形EAED , 梯形ABCD 的面積分別是多少平方米? 三、解答下 列各題 ( 每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫(xiě)出詳細(xì) 過(guò)程) 13在邊長(zhǎng)為 1 厘米的正方形ABCD 中, 分別以A, B, C, D為圓心, 1 厘米為半徑畫(huà)圓弧, 交點(diǎn)E, F, G, H, 如圖所示. 求中間陰影六邊形BEFDGH 的面積1

6、 14m14. 已知x?m, 是否 存在 整數(shù) 使得x為完 全平 方數(shù) ? 如果 存在, 求4x x出整數(shù)m ;若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由“ 華杯賽 ” 組委會(huì)辦公室 咨詢 :4006500888 - 2 - “華杯賽”官方網(wǎng)站/. 第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題 A 參考答案( 初中組) 第十六 屆華 羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 決賽試題 A 參考答案 ( 初中 組) 一、 填空題 每 小題 10 分, 共 80 分 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 24答案 8547 10 15 21 10 402 13 919二、解答下 列各題 每題 10 分 ,共 40 分, 要求寫(xiě) 出簡(jiǎn)要 過(guò)

7、程 9. 答案 :121 解: (圖 1 與圖 2 供考生答題用)如圖 2,1 9 2 A B C SA+B+C+D+E+F+G+H+I 4S4A+B+C+D+E+F+G+H+I 6 84 5 D E F A+B+D+E+B+C+E+F+D+E+G+H+E+F3 7 4 G H I +H+I+圖 1 圖 2 2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I 400+2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I 由于 A,B,C,D,F,G,H,I 為各不相同的正整數(shù), 有:A+B+C+D+F+G+H+I 1+2+3+ +836 ,A+C+G+I 1+2+3+410 所以,4S 400+2

8、×36+10482 ,即 S 120.5 因?yàn)?S 為整數(shù),有 S 121 . 另一方面,可以如圖 1 填數(shù)使得 S121 . 綜上所述,表格中所填 9 個(gè)正整數(shù)總和的最小值為 121 . 110. 答案 40解答 設(shè) 平 行 四 邊 形 兩 條 對(duì) 角 線 交 點(diǎn) 為 O , 連 接 OF ,Sx Sy, S z ,Sw?CEF CDE DOE ?EOF由左圖和三角形面積公式:1yzS,CDO41xyS,CDF8“ 華杯賽 ” 組委會(huì)辦公室 咨詢 :4006500888“華杯賽”官方網(wǎng)站/. 第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題 A 參考答案( 初中組) 1xwS?COF16再

9、次應(yīng)用三角形面積公式, x w EF(* y z DE將 用 x 表達(dá), y,z,w1 1 1yx ,wx ,zx , 8 16 8代入* 式,并整理,可得: 1xx 116, x1140xx881答:三角形 CEF 的面積是4011. 答案:4 解:由原方程,我們有8 8 8 83(3- (3- ( 3- ( 3- 1p m n p8所以, (3- 1, p4p若 p4 ,則 8 8 8 8 8133333,mn4m n p m n上式只有 mn4 時(shí)成立。 所以,p 的最大值是 4。 212. 答案:ABCE 的 面積 是 618 平方 米 32三角形 ADE 的面積是 266 平 方米

10、A B31梯形的 ABCD 面積是 885 平方米 380解:因?yàn)?AEBC 米 , DC3F E“ 華杯賽 ” 組委會(huì)辦公室 咨詢 :4006500888“華杯賽”官方網(wǎng)站/. 第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題 A 參考答案( 初中組) 100DECD-CE 米, 32 2100 80 1002所以 + -20 2EF(*)3 3364EF 米 ,因此 AF16 米3116 2平行四邊形 ABCE 的面積是 ?16618 平方米 3 3116 1 2三角形 ADE 的面積是72- 266 平方米163 2 31梯形的 ABCD 面積是 885 平方米 。 3(*)成立的原因如下,因?yàn)?2 2 2?AEAFEF,2 2 2ADAFDF ,2 2?DE ?DFEF?2 2?DF? 2?DFEFEF所以 2 2 2 2?DEAEAD? 2 ?DFEF? 2 ?EF? 2 ?EFDFEF2 ?EFDE 三、解答下 列各題 每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫(xiě) 出詳細(xì) 過(guò)程 113. 答 : 平方厘米2解 :如圖,連接 AF, AE, 則 都是頂角為30 ,兩腰為 1 厘米?ADF, ?AFE ?AEB的等腰三角形.其面積相等1自點(diǎn) F