微積分基本定理(17)

1、1.6微積分基本定理（2）一、【教學目標】重 點：使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分.難 點：利用微積分基本定理求積分；找到被積函數(shù)的原函數(shù)能力點：正確運用基本定理計算簡單的定積分.教育點：通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統(tǒng)一的辯證關系，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力.自主探究點：通過實例探求微分與定積分間的關系，體會微積分基本定理的重要意義.易錯點：準確找到被積函數(shù)的原函數(shù)，積分上限與下限代人求差注意步驟，以免符號出錯.考試點：高考多以填空題出現(xiàn)，以考查定積分的求法和面積的計算為主.二、【知識梳理】1. 定積分定義：如果函

2、數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點，將區(qū)間等分成n個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上任取一點，作和，當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里、分別叫做積分的下限與上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2定積分的幾何意義如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負號 3.定積分性質(zhì)（1）；（2）（3

3、）4.微積分基本定理；一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.把記成，即.微積分基本定理表明，計算定積分的關鍵是找到滿足的函數(shù).通常，我們可以運用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)四則運算法則從反方向上求出.特別強調(diào)：原函數(shù)F（x）不唯一，它們差一個常數(shù).微積分基本定理的作用是：建立了積分與導數(shù)間的密切聯(lián)系，并提供了計算定積分的有效方法5.常見基本函數(shù)的定積分: = 【設計意圖】核心知識網(wǎng)絡化，題目千變?nèi)f化，都圍繞這些知識點,知識點為習題作理論指導.三、【范例導航】題型一 直接應用微積分基本定理求定積分值例1. 計算下列定積分（1） （2） （3）【分析】(1)（2）是復合函數(shù)的積分，先化簡，再

4、求積分，準確找到原函數(shù)（3）利用函數(shù)性質(zhì)及定積分的幾何意義求積分.【解答】（1），=.（2），= (3)記,定義域為（-1，1），因為所以為奇函數(shù),故=0.【點評】求定積分應該注意的幾點：（1） 對被積函數(shù)不易求出時，要先化簡，再求積分.（2） 要注意復合函數(shù)求導法則的逆應用，要“見影想形”,由推測，再加以驗證.（3） 利用函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)的積分為零，偶函數(shù)的定積分是半個區(qū)間上的二倍.變式訓練：計算下列定積分（1）. （2）答案：（1）2 (2)【設計意圖】(1)是讓學生學會先化簡再積分;（2）是利用定積分的幾何意義求積分.題型二 借助函數(shù)圖象求分段函數(shù)的定積分值例2.已知函數(shù)先畫出函數(shù)圖

5、象,再求這個函數(shù)在上的定積分.【分析】被積函數(shù)是分段函數(shù),依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”,分段積分再求和.【解答】【點評】(1)分段函數(shù)在區(qū)間的定積分可分成段定積分和的形式,分段的標準可按照函數(shù)的分段標準進行.(2)帶絕對值號的解析式，可先化為分段函數(shù)，然后求解.變式訓練：1設求. 答案：.2. 答案： 3 答案：10【設計意圖】求分段函數(shù)的定積分時，可利用積分性質(zhì)將其表示為幾段定積分和的形式，若函數(shù)解析式中含有絕對值，應根據(jù)絕對值的意義找到分界點，去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)后再求積分.題型三 綜合應用利用定積分求參數(shù)已知,求使恒成立的k值.【分析】注意隱含條件積分下限小于積分上限，k<

6、3,分類討論時，或問題.例3.【解答】(1)當時,= ,解得k=-1,但,k=-1(舍去). (2) 時， = = = ,解得, 綜上所述，.【點評】利用定積分求參數(shù)時，注意方程思想的應用.一般地，首先要弄清楚積分變量和被積函數(shù).當被積函數(shù)中含有參數(shù)時，必須分清常數(shù)和變量，再進行計算；其次要注意積分下限不大于積分上限.【變式訓練】已知是二次函數(shù)，其圖象過點(1,0),且.【答案】四、【解法小結】1.求定積分的一些常用技巧：（1）對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分.（2）若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”,分段積分再求和.（3）對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分.

7、(4)利用函數(shù)的奇偶性求定積分2. 利用定積分求參數(shù)時，注意方程思想的應用五、【布置作業(yè)】必做題：1.計算下列定積分（1） （2） （3） （4）.2.計算定積分（1） （2）.3.求函數(shù)，求的最大值. 必做題答案：1.（1）（2） （3）4+ln2 （4）2.（1）4 （2） 3. 【設計意圖】培養(yǎng)學生自覺學習的習慣，檢查學習效果，及時反饋，查漏補缺.選做題：1.求定積分（1） （2）2.已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值.選做題答案：1.（1）（2）2 2. 1 【設計意圖】對學有余力的學生留出自我發(fā)展的空間，嘗試能力，拓展創(chuàng)新.課外探究：計算由曲線所圍圖形的面積；總結解題步驟.【設計意圖】讓學生養(yǎng)成預習的好習慣.六、【教后反思】1.本教案的亮點是：一是對所學知識的宏觀把握；二是例題選擇有代表性，分別為分段函數(shù)、復合函數(shù)求定積分及定積分的綜合應用；關注定積分的基礎知識和利用定積分求封閉圖形面積的一