微積分3-5. 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.2 求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式3.3 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)3.4 微分微分3.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用3.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一一 邊際與邊際分析邊際與邊際分析定義定義 設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù)設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù) 在點在點 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 在在 內(nèi)的內(nèi)的平均變化率為平均變化率為 ；在點；在點 處的瞬間變化率為處的瞬間變化率為在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱 為為 在點在點 處的邊際函數(shù)值。處的邊際函數(shù)值。( )yf x0000()()lim()xf xxf xfxx ( )f xy

2、x0 x00(,)xxx0()fx0 x0 x( )yf x “ “邊際邊際”(”(Margin) )一詞的一般含義是指事物在時間或空一詞的一般含義是指事物在時間或空間上的邊緣或界限，它是反映事物數(shù)量的一個概念。在經(jīng)濟(jì)間上的邊緣或界限，它是反映事物數(shù)量的一個概念。在經(jīng)濟(jì)上，邊際量是指生產(chǎn)、交換、分配和消費在一定條件下的最上，邊際量是指生產(chǎn)、交換、分配和消費在一定條件下的最后增加量后增加量. .研究這個增量的性質(zhì)和作用，構(gòu)成了邊際分析的基研究這個增量的性質(zhì)和作用，構(gòu)成了邊際分析的基本內(nèi)容。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，邊際量或增量分析，比總量分析本內(nèi)容。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，邊際量或增量分析，比總量分析和平均量分析

3、，能更精確地描述經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系。和平均量分析，能更精確地描述經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系。 設(shè)在點設(shè)在點 處，當(dāng)自變量處，當(dāng)自變量 從從 改變一個單位（即自變量的增改變一個單位（即自變量的增量量 ）時函數(shù)的增量）時函數(shù)的增量 的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確值為 ，由微分近似公，由微分近似公式知，式知， 的近似值為的近似值為x0 x0 xx1x y 00000111x xx xxxyf xf xdyfxxfx 01x xxy y1x 當(dāng)當(dāng) 時，標(biāo)志著自變量時，標(biāo)志著自變量 從從 減少一個單位，而減少一個單位，而x0 x 00011x xx xxxydyfxxfx 由此可知有關(guān)邊際的經(jīng)濟(jì)意義是：經(jīng)濟(jì)函數(shù)由此可

4、知有關(guān)邊際的經(jīng)濟(jì)意義是：經(jīng)濟(jì)函數(shù) 在點在點 處當(dāng)自變處當(dāng)自變量量 增加（減少）一個單位時，函數(shù)增加（減少）一個單位時，函數(shù) 近似增加（減少）近似增加（減少） 個單個單位。位。( )f x0 xxx0()fxy例例3.38 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，求，求 在在 時的邊際函數(shù)值時的邊際函數(shù)值2yxy5x 2yx 解解 因為因為 ，所以，所以510 xy若函數(shù)若函數(shù) 具有經(jīng)濟(jì)意義，則具有經(jīng)濟(jì)意義，則 表明：當(dāng)表明：當(dāng) 時，時， 每改變一個單位（增加或減少一個單位），每改變一個單位（增加或減少一個單位）， 改變十個單位（增加或改變十個單位（增加或減少十個單位），減少十個單位），510 xy2yx5x xy（1

5、）總成本函數(shù)與邊際成本）總成本函數(shù)與邊際成本某產(chǎn)品的某產(chǎn)品的總成本總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源投入費用的總和，是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源投入費用的總和， 它由固定成本與可變成本組成它由固定成本與可變成本組成.平均成本平均成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本.邊際成本邊際成本是指總成本的變化率是指總成本的變化率.總成本、平均成本和邊際成本都是產(chǎn)量的函數(shù)總成本、平均成本和邊際成本都是產(chǎn)量的函數(shù).x設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量為設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量為 單位時，稱單位時，稱 為該產(chǎn)品的總成本函數(shù)，產(chǎn)為該產(chǎn)品的總成本函數(shù)，產(chǎn)量量 時的成本時的成本

6、為固定成本，為固定成本， 為可為可變成本。變成本。0 x 10( )( )C xC xC( )CC x0(0)CC稱為邊際成本函數(shù)稱為邊際成本函數(shù)00()( )( )limlimxxCC xxC xC xxx 表示產(chǎn)量為表示產(chǎn)量為 時的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為時的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為 時，每增加（減少）一個單位產(chǎn)量，總成本將增加（減少）個時，每增加（減少）一個單位產(chǎn)量，總成本將增加（減少）個單位。單位。0 x0()C x0 x0()C x( )( )C xC xx稱為平均成本函數(shù)稱為平均成本函數(shù)2( )( )( )( )C xxC xC xCxxx稱為稱為平均邊際成本平均邊際成

7、本函數(shù)函數(shù)例例3.39 設(shè)某商品的成本函數(shù)為設(shè)某商品的成本函數(shù)為 ，當(dāng)產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)品的生產(chǎn)量為的生產(chǎn)量為 時的平均成本和邊際成本分別為多少，并時的平均成本和邊際成本分別為多少，并說明邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義說明邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義.2( )100 10C xxx10 x 解解 平均成本函數(shù)為平均成本函數(shù)為 ( )10010,C xC xxxx1030C10 x 則當(dāng)則當(dāng) 時的平均成本為時的平均成本為又由邊際成本函數(shù)為又由邊際成本函數(shù)為 102Cxx則當(dāng)則當(dāng) 時的邊際成本為時的邊際成本為10 x 1030C邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)量為邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)量為10時，每多生產(chǎn)或少時，每多

8、生產(chǎn)或少生產(chǎn)一個單位，總成本將增加或減少生產(chǎn)一個單位，總成本將增加或減少0個單位個單位.（2）總收益函數(shù)與邊際收益）總收益函數(shù)與邊際收益總收益總收益（收入）是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所獲得的全部收入（收入）是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所獲得的全部收入.平均收益平均收益是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每售出單位產(chǎn)品所獲得是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每售出單位產(chǎn)品所獲得的收入，也就是單位產(chǎn)品的售價的收入，也就是單位產(chǎn)品的售價.邊際收益邊際收益是指總收益的變化率是指總收益的變化率.總收益、平均收益和邊際收益都是銷售量的函數(shù)總收益、平均收益和邊際收益都是銷售量的函數(shù). 設(shè)設(shè) x 為產(chǎn)品的銷售

9、量，則為產(chǎn)品的銷售量，則 P=P(x) 稱為產(chǎn)品的銷售價格函數(shù)稱為產(chǎn)品的銷售價格函數(shù),( )( )RR xx P x稱為總收益函數(shù)稱為總收益函數(shù)00()( )( )limlimxxRR xxR xR xxx 稱為邊際收益函數(shù)稱為邊際收益函數(shù)0Rx 表示銷售量為表示銷售量為 x 時的邊際收益，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)時的邊際收益，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷售量為銷售量為 x0 時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增加（減少）加（減少） 個單位。個單位。0Rx 例例.某商品銷售量某商品銷售量 x與價格與價格 P之間的函數(shù)關(guān)為之間的函數(shù)關(guān)為 。求當(dāng)銷售量分別為求當(dāng)銷售量分別為4

10、00，500，600時的總收益和邊際收益，并說明時的總收益和邊際收益，并說明邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義100.01Px2( )( )100.01R xx P xxx解解 因為總收益函數(shù)為因為總收益函數(shù)為400,500,600 x 所以，當(dāng)銷售所以，當(dāng)銷售量量 時的總收益分別為時的總收益分別為4002400,R5002500,R6002400R( )100.02R xx又由于邊際收益函數(shù)為又由于邊際收益函數(shù)為(400)2,R400,500,600 x 所以，當(dāng)銷售所以，當(dāng)銷售量量 時的邊際收益分別為時的邊際收益分別為(500)0,R(600)2,R 邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)銷售量分別為

11、邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)銷售量分別為400，500，600時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增加（減少）時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增加（減少）2、0、2個單位個單位.（3）利潤函數(shù)與邊際利潤）利潤函數(shù)與邊際利潤利潤是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所獲得的凈收入利潤是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所獲得的凈收入.一般情況下，一般情況下，總利潤函數(shù)總利潤函數(shù) 等于總收益函數(shù)等于總收益函數(shù) 與總成本函數(shù)與總成本函數(shù) 的差，的差，邊際利潤是指利潤的變化率邊際利潤是指利潤的變化率 ( )L x( )R x( )C x 00()( )limlimxxLL xxL xL xxx 稱為邊際利潤函數(shù)稱為

12、邊際利潤函數(shù)稱為總利潤函數(shù)稱為總利潤函數(shù) ( )( )L xR xC x0L x 表示產(chǎn)量為表示產(chǎn)量為 時的邊際利潤，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為時的邊際利潤，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為 時，時，每增加（減少）一個產(chǎn)量，利潤將增加（減少）每增加（減少）一個產(chǎn)量，利潤將增加（減少） 個單位個單位.0 x0 x0L x0 x L xRxCx由由 ，顯然邊際利潤可由邊際收益與邊際成本決定，顯然邊際利潤可由邊際收益與邊際成本決定.即當(dāng)即當(dāng) 時，時， ；當(dāng)；當(dāng) 時，時， ；當(dāng)當(dāng) 時時 ， RxCx( )0L x RxCx RxCx( )0L x( )0L x例例3.40 某產(chǎn)品的總成本函數(shù)某產(chǎn)品的總成本函數(shù) ，總收益

13、函數(shù)，總收益函數(shù) ，求當(dāng)產(chǎn)量分別為，求當(dāng)產(chǎn)量分別為 時的總利潤和邊際利潤，時的總利潤和邊際利潤，并說明邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義。并說明邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義。( )5002C xx400,5002( )100.01R xxx 2( )( )80.01500L xR xC xxx解解 由于利潤函數(shù)為由于利潤函數(shù)為400,500 x 所以當(dāng)產(chǎn)量所以當(dāng)產(chǎn)量 時的利潤分別為時的利潤分別為邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量分別為邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量分別為400，500時，每增加（減少）時，每增加（減少）一個銷售量，利潤將增加（減少）一個銷售量，利潤將增加（減少）0、2個單位個單位.4001100,5001000

14、LL所以當(dāng)產(chǎn)量所以當(dāng)產(chǎn)量 時的邊際利潤分別為時的邊際利潤分別為400,500 x 又由于邊際利潤函數(shù)為又由于邊際利潤函數(shù)為( )80.02L xx(400)0,(500)2LL 14 彈性系數(shù)表示彈性的大小彈性系數(shù)表示彈性的大小(彈性彈性)彈性（彈性（elasticity）, 物理學(xué)名詞物理學(xué)名詞 , 指一物體指一物體對外部力量的反應(yīng)程度或敏感程度對外部力量的反應(yīng)程度或敏感程度.n 彈性是相對數(shù)之間的相互關(guān)系，即百分?jǐn)?shù)變動的比率，彈性是相對數(shù)之間的相互關(guān)系，即百分?jǐn)?shù)變動的比率，或者說它是一個量變動或者說它是一個量變動1%，引起另一個量變動百分之多少，引起另一個量變動百分之多少（程度）的概念。（

15、程度）的概念。p 對于任何存在函數(shù)關(guān)系的經(jīng)濟(jì)變量之間，都可以建立二對于任何存在函數(shù)關(guān)系的經(jīng)濟(jì)變量之間，都可以建立二者之間的彈性關(guān)系或進(jìn)行彈性分析。者之間的彈性關(guān)系或進(jìn)行彈性分析。二二 彈性彈性 因因變變量量變變動動的的比比率率自自變變量量變變動動的的比比率率彈性彈性 利用函數(shù)與自變量的相對改變量之比研究經(jīng)濟(jì)變量對另一利用函數(shù)與自變量的相對改變量之比研究經(jīng)濟(jì)變量對另一個經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度的方法稱為個經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度的方法稱為彈性分析彈性分析.000000,yyxyE x xxxx yx 定義定義 設(shè)設(shè) 在點在點 處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且 為為自變自變量量的相對增量的相對增量(變化率變化率)

16、， 為為函數(shù)函數(shù)的相的相對增量對增量(變化率變化率)， 000, xxx0 x( )yf x0000fxxfxyyfx則函數(shù)的相對增量與則函數(shù)的相對增量與自變量的相對增量之比自變量的相對增量之比00(,)x xx( )yf x稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的平均相對變化率或彈性內(nèi)的平均相對變化率或彈性0000000lim()x xxxxEyyfxExx yy 0 xx( )yf x00,E x xx當(dāng)當(dāng) 時，時， 的極限的極限稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在點在點 處的相對變化率，或相對導(dǎo)數(shù)，或處的相對變化率，或相對導(dǎo)數(shù)，或彈性彈性0 x 0 x xEyEx彈性的經(jīng)濟(jì)意義是經(jīng)濟(jì)函數(shù)彈性的經(jīng)濟(jì)意義是經(jīng)濟(jì)

17、函數(shù) 在點在點 處當(dāng)自變量處當(dāng)自變量 改變改變1時，時， 的函數(shù)值近似改變百分之的函數(shù)值近似改變百分之x0 xx( )yf x( )yf x( )yf x一般地，若函數(shù)一般地，若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 則稱則稱為函數(shù)為函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)的相對變化率或彈性函數(shù)內(nèi)的相對變化率或彈性函數(shù).( )0f x 0lim( )xEyy xxfxExx yy ( )yf x000000,yyxyE xxxxx yx絕對改變量：相對改變量：平均變化率：平均相對變化率： （弧彈性）變化率：（邊際函數(shù)） 相對變化率： （點彈性） 相關(guān)概念的比較, xyyx 0limxyx ,x

18、yxyyyxx 0limxyyxx 有量剛有量剛無量剛無量剛研究變量絕對量之間的關(guān)系研究變量絕對量之間的關(guān)系是某一變量的相對變化引起是某一變量的相對變化引起另一變量的相對變化的度量另一變量的相對變化的度量( )0f x 3100 xye例例3.41 求求 的彈性函數(shù)的彈性函數(shù) 以及彈性以及彈性2xEyExEyEx333003100 xxEyxexExe解解 因為因為 ，于是，于是3300 xye ( )0f x 彈性的實際意義是在彈性的實際意義是在 處當(dāng)自變量改變處當(dāng)自變量改變1時，時，的函數(shù)值改變的函數(shù)值改變62x 所以所以26xEyEx彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常應(yīng)用于研究需求量與價格之間的變化關(guān)系彈

19、性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常應(yīng)用于研究需求量與價格之間的變化關(guān)系.需求是指在一定價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力需求是指在一定價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品量購買的商品量.商品的需求量一般與價格有關(guān)，描述需求量與價格關(guān)系的函數(shù)商品的需求量一般與價格有關(guān)，描述需求量與價格關(guān)系的函數(shù)稱為需求函數(shù)稱為需求函數(shù).( )Qf P設(shè)設(shè) 表示某商品的價格，表示某商品的價格， 表示某商品的市場需求量，表示某商品的市場需求量，則需求函數(shù)表示為則需求函數(shù)表示為QP 若需求函數(shù)若需求函數(shù) 可導(dǎo)，則稱可導(dǎo)，則稱()QfP()()EQPfPEpfPP為該商品的為該商品的需求價格彈性需求價格彈性，簡稱需求彈

20、性，記為，簡稱需求彈性，記為 .0P P若價格為若價格為 處的需求彈性記為處的需求彈性記為 ,價格彈性的經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)某商品價格價格彈性的經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)某商品價格為為 時，價格每上漲（下降）時，價格每上漲（下降）1%，需求量將下降（上漲）個，需求量將下降（上漲）個 百分點百分點. 0P0P0p由于需求函數(shù)通常是單調(diào)減少函數(shù)，即由于需求函數(shù)通常是單調(diào)減少函數(shù)，即 因此需求彈性一般為負(fù)值因此需求彈性一般為負(fù)值. ( )0fP 由商品需求彈性的定義知由商品需求彈性的定義知： 01p （1）當(dāng)）當(dāng) （即（即 ）時稱為）時稱為單位彈性單位彈性，此時商品需求量變化，此時商品需求量變化的幅度等于價格變化的幅度的

21、幅度等于價格變化的幅度.01p01p （2）當(dāng)）當(dāng) （即（即 ）時稱為）時稱為高彈性高彈性，此時商品需求量變化，此時商品需求量變化的幅度大于價格變化的幅度，價格的變動對需求量影響較大的幅度大于價格變化的幅度，價格的變動對需求量影響較大01p01p （3）當(dāng)）當(dāng) （即（即 ）時稱為）時稱為低彈性低彈性，此時商品需求量變化，此時商品需求量變化的幅度小于價格變化的幅度，價格的變動對需求量影響不大的幅度小于價格變化的幅度，價格的變動對需求量影響不大01p. 1dRPf PP fPf PfPdPf P一般地，設(shè)商品的需求函數(shù)一般地，設(shè)商品的需求函數(shù) 可導(dǎo)，總收益函數(shù)為可導(dǎo)，總收益函數(shù)為 則由邊際收益則由邊際收益( )RP f P( )Qf P 11ppf Pf P01p（1）當(dāng)）當(dāng) 時，稱邊際收益時，稱邊際收益 ，此時商品的價格上漲可使，此時商品的價格上漲可使得總收益增加，價格下降可使得總收益減少。得總收益增加，價格下降可使得總收益減少。0dRdP01