簡(jiǎn)論不動(dòng)點(diǎn)在一般經(jīng)濟(jì)均衡證明中的應(yīng)用

1、簡(jiǎn)論不動(dòng)點(diǎn)在一般經(jīng)濟(jì)均衡證明中的應(yīng)用羅猛 原創(chuàng)| 2005-05-27 12:58 | 投票標(biāo)簽：編著瓦爾拉斯不動(dòng)點(diǎn)定理布勞威爾證明摘要：本文給出了一般均衡及不動(dòng)點(diǎn)定理的歷史性闡述，在這基礎(chǔ)上，作者刻畫(huà)了不動(dòng)點(diǎn)定理在一般均衡存在性的應(yīng)用證明。從而，從中可以窺見(jiàn)主流經(jīng)濟(jì)學(xué)主線(xiàn)的歷史變遷軌跡。關(guān)鍵詞：一般均衡；不動(dòng)點(diǎn)；流形一、一般均衡由來(lái)及其模型一般均衡相對(duì)于局部均衡而言。局部均衡是指單個(gè)市場(chǎng)的商品和生產(chǎn)要素的供求同時(shí)在一個(gè)價(jià)格狀態(tài)空間下供求相等的情形；而一般均衡是指一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中所有商品市場(chǎng)和生產(chǎn)要素市場(chǎng)在一組狀態(tài)空間下供求相等的情形；兩種均衡的基礎(chǔ)條件都是建立在生產(chǎn)函數(shù)和消費(fèi)函數(shù)嚴(yán)格的凹凸性保

2、持技術(shù)條件上。但同時(shí)，應(yīng)指出的是：一般均衡并不等于單個(gè)靜態(tài)商品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)的總和，因?yàn)樵谕粻顟B(tài)空間下，同一經(jīng)濟(jì)體系的不同商品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)是互相影響的。故而，對(duì)一般均衡的分析較之局部均衡而言，更為復(fù)雜和不確定性因素更多。一般均衡理論的最初形式是由“洛桑學(xué)派”的創(chuàng)始人瓦爾拉斯（法國(guó)人）在1874 1877年提岀的。但均衡的存在性問(wèn)題，直到20世紀(jì)50年代才由著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅和德布魯利用復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具角谷不動(dòng)點(diǎn)定理證明得岀。期間經(jīng)歷了 1911年布勞威爾不定點(diǎn)定理的提岀，瓦爾德在20世紀(jì)30年代的證明努力，40年代中馮*諾伊曼和角谷（Kakutani） 對(duì)它的證明。因?yàn)椋娝苤?，瓦爾拉斯提?/p>

3、的方程個(gè)數(shù)等于未知變量個(gè)數(shù)并不能確保方程解的存在。而在這之后，20世紀(jì)70年代、80年代中，由于拓?fù)淅碚摵臀⒎至餍卧诮?jīng)濟(jì)理論中的廣泛應(yīng)用，Duffie 和Shafer禾U用grassman流形對(duì)一般均衡的borsuk-ulam 定理做了進(jìn)一步深化和推廣。蔣殿春在高級(jí)微觀(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)一書(shū)中將瓦爾拉斯定理表述如下：瓦爾拉斯均衡：如果存在價(jià)格滿(mǎn)足 （1）（或簡(jiǎn)寫(xiě)成）則稱(chēng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到了一個(gè)瓦爾拉斯均衡。利用瓦爾拉斯法則，所以（1）式還可寫(xiě)成：若，貝9（2）;若，貝9（ 3）。（ 2）式表明如果某商品的均衡價(jià)格為正其市場(chǎng)應(yīng)予以岀清；而（3）式表明針對(duì)免費(fèi)商品，此時(shí)供給可以大于需求。表述如下:而張金清在序方法與均衡

4、分析一書(shū)中將瓦爾拉斯均衡定義 1 設(shè) 是一個(gè)經(jīng)濟(jì)，如果存在 和非零價(jià)格 ，滿(mǎn)足：（1）意味著 ；（2）；（3）對(duì)每個(gè) ， 。則稱(chēng) 為一個(gè)瓦爾拉斯擬均衡經(jīng)濟(jì)，分別稱(chēng)定義 2 設(shè) 是一個(gè)經(jīng)濟(jì)，如果存在（1） 對(duì)每個(gè) ， 是 中的一個(gè)極大元。（2）和 為瓦爾拉斯擬均衡配置和擬均衡價(jià)格。 和非零價(jià)格 ，滿(mǎn)足：和 為瓦爾拉斯均衡配置和均衡價(jià)格。1）之不同，第一個(gè)為弱偏好，而第二個(gè)為嚴(yán)格偏好，則稱(chēng) 為一個(gè)瓦爾拉斯均衡經(jīng)濟(jì)，分別稱(chēng) 比較前后兩個(gè)定義重要的區(qū)別在于條件（ 所以得出的均衡狀態(tài)也不相同。 而蔣殿春與張金清關(guān)于瓦爾拉斯偏好的描述本質(zhì)上是一致的， 只是表述方式有些不同，并且張金清將經(jīng)濟(jì)體系的內(nèi)在運(yùn)行法

5、則用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為一種偏好關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，張金清刻畫(huà)了與瓦爾拉斯均衡有關(guān)的三個(gè)定理。交換經(jīng)濟(jì) 有一個(gè)弱擬均衡，即存在一個(gè)有效配置和一個(gè)非零價(jià)格 ，使得對(duì)每個(gè)，都有 。定理 2 設(shè)有效配置是純交換經(jīng)濟(jì) 關(guān)于價(jià)格 的一個(gè)弱擬均衡，且至少存在一個(gè)，使 ，則有效配置 是純交換經(jīng)濟(jì)關(guān)于價(jià)格 的一個(gè)擬均衡配置。定理 3 設(shè)有效配置是純交換經(jīng)濟(jì) 關(guān)于價(jià)格 的一個(gè)弱擬均衡，若對(duì)每個(gè)，都有，且 是序連續(xù)的，則有效配置必是純交換經(jīng)濟(jì) 關(guān)于價(jià)格 的一個(gè)瓦爾拉斯均衡配置。以上三個(gè)定理表明，從弱擬均衡到擬均衡配置， 再到瓦爾拉斯均衡配置，其偏好約束條件是越來(lái)定理 1 對(duì) ，用 Riesz 對(duì)偶空間 表示純交換經(jīng)濟(jì) 的

6、商品價(jià)格空間， 為 的序共軛空間，則純?cè)綇?qiáng)的。而國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)瓦爾拉斯均衡的刻畫(huà)無(wú)疑都受德布魯證明的影響。德布魯關(guān)于瓦爾拉斯均衡 的刻畫(huà)如下：1、設(shè) 為 線(xiàn)性空間的一緊子集， 如果 是 到 的上半連續(xù)映射， 即，對(duì)于 中任一 而言，集合 為 （非空）凸集且滿(mǎn)足 ；那么 中必存在一 使得 得以成立。2 、 如果以下條件成立，私營(yíng)經(jīng)濟(jì)體系 存在一均衡配置：對(duì)任意 而言：a ） 為閉凸集且下確列界為 ，b.1 ） 不存在飽和需求，b.2 ）對(duì)于 的任一 ，集合 和 在 為閉集，b.3 ）如果 和 為 中的兩點(diǎn)，則如果 為 的一實(shí)數(shù)，那么 意味著c ） 必存在使得 成立的對(duì)于任意 而言：（ d.1 ） ;

7、（ d.2 ） 為閉凸集。（ d.3 ） ，（ d.4 ）德布魯在隨后的章節(jié)里給出了以上定理的證明并導(dǎo)出了相關(guān)引理， 分析了 和 的性質(zhì)。 比較德布 魯和蔣殿春以及張金清關(guān)于瓦爾拉斯均衡的刻畫(huà)，可以發(fā)現(xiàn)德布魯在 1959 年給出的均衡假設(shè)條 件過(guò)于嚴(yán)格，其基本假定完全市場(chǎng) （即一切經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都在同一時(shí)刻進(jìn)行）與現(xiàn)實(shí)差異太大，而 張金清和蔣殿春給出的假設(shè)條件相對(duì)較弱， 尤其是通過(guò)引入比不完全市場(chǎng)的一般均衡理論 （簡(jiǎn)稱(chēng) 為GEI）更弱的擬均衡的概念，使得超額需求映射或稱(chēng)為擬超額需求的連續(xù)性得到保持，進(jìn)而將擬均衡的存在性轉(zhuǎn)化為 Grassman 流形上的非線(xiàn)性映射的廣義不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。二、不動(dòng)點(diǎn)定理概述關(guān)

8、于一般均衡的存在性的證明可以從不動(dòng)點(diǎn)、 序方法、 單純形以及微分流形等角度來(lái)進(jìn)行。 其中， 不動(dòng)點(diǎn)定理是一個(gè)既比較古老的問(wèn)題， 因?yàn)樗臍v史比較長(zhǎng)； 又比較有生命力的領(lǐng)域， 因?yàn)槠潢U 述方式可以從微分流形以及分形等角度來(lái)闡述。要完整剖析Grassman 流形中的不動(dòng)點(diǎn)定理，回顧不動(dòng)點(diǎn)定理的歷史是必要的，有助于我們掌握其來(lái)龍去脈。關(guān)于布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的闡述，在張奠宙、顧鶴榮著的不動(dòng)點(diǎn)定理、江澤涵著的不動(dòng)點(diǎn) 類(lèi)理論、王則柯著的單純不動(dòng)點(diǎn)算法基礎(chǔ)都有涉及，我們可以參見(jiàn)以下不同表達(dá)方式：1、 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理：設(shè) D 是 中的有界閉凸集，映射 連續(xù)，則 在 上必有不動(dòng)點(diǎn)，即 使 得。2、 布勞威爾

9、不動(dòng)點(diǎn)定理：設(shè) 是 維實(shí)心球 到自身的連續(xù)映射，則存在 ，使得 。3 、 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理：3.1定義設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A是X的子空間，如果存在連續(xù)映射使得，那么我們就稱(chēng) 為X的收縮核，并稱(chēng) 為收縮映射。3.2 定理 不是 的收縮核。即不存在這樣的連續(xù)映射 它使得 。3.3 （布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理）任何連續(xù)映射 都必定有不動(dòng)點(diǎn)。即必定存在，使得 。4、布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理 ：設(shè) 是 維標(biāo)準(zhǔn)單純形 的連續(xù)映射，則必有 使得以上關(guān)于布勞威爾定理 的證明可以參見(jiàn)原文，比較上述定理發(fā)現(xiàn)，盡管闡述方式不一，但是基 本假定都一樣， 即空間為閉凸的， 映射為連續(xù)，且映射空間和象空間同一。 張筑生所給的之所以 比

10、較詳細(xì)，是因?yàn)槠涫紫冉o出了一壓縮算子的定義和一個(gè)證偽方式。而言，而由歐氏空間凸集 的集值自映但布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是針對(duì)歐氏空間凸集的單值自映射并且角谷射 生成的不動(dòng)點(diǎn)稱(chēng)為角谷不動(dòng)點(diǎn) ，也即緊凸集的上半連續(xù)的集值自映射必有不動(dòng)點(diǎn)；不動(dòng)點(diǎn)可由單值自映射的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)出。王則柯先生在 單純不動(dòng)點(diǎn)算法中給出了有關(guān)角谷不動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)定理以及兩個(gè)推廣定理。5 、角谷不動(dòng)點(diǎn)定理 1 ：設(shè) 是 維緊凸集，集值映射 上半連續(xù)，那么，必有一點(diǎn)使得 。6 、角谷不動(dòng)點(diǎn)定理 2：設(shè) 是一個(gè) 維緊凸集， 集值映射 滿(mǎn)足條件： 只要 ， 中與距離不超過(guò) 的集合，就有 ， 中與 距離不超過(guò) 的集合，又設(shè) 是 的一個(gè)單純剖

11、分，其網(wǎng)經(jīng)，而 是 的基于剖分 的任一單純逼近， 是 的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，那么， ，即 與 距離不超過(guò) 。上一定理刻畫(huà)了單純逼近的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)與它在原集值映射下的象的位置關(guān)系。Eaves 定理 ：設(shè) 是 中 維緊凸集， 。若 上半連續(xù)，并且對(duì)每點(diǎn)。那么， 在 有不動(dòng)點(diǎn)。Merrill 條件 ：設(shè) 上半連續(xù)，如果存在 使得只要 ，就有 ，那么，在 有不動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)，關(guān)于角谷不動(dòng)點(diǎn)定理的文章還可參見(jiàn)Michael B. Smyth and Rueiher Tsaur的 A Digital Version of the Kakutani Fixed Point Theorem for Convex-val

12、ued Multifunctions (表于 Theoretical Computer Science 40 (2001)）以及 Claude Berge 的 拓?fù)淇臻g （ Claude Berge 著，孫榮光 傅熙來(lái) 譯，河南教育出版社， 1990 年 8月第 1 版，頁(yè)碼： 239 250 ）等 文獻(xiàn)?？梢?jiàn)， 角谷不動(dòng)點(diǎn)定理比布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理應(yīng)用范圍要相對(duì)廣一些，因?yàn)槠溆成淇臻g條 件約束相對(duì)弱一些。 但是， 對(duì)線(xiàn)性條件和凸性條件的需求仍使得這兩個(gè)定理在一定范圍內(nèi)不能適 用。而微分拓?fù)淅碚摵臀⒎至餍卫碚摰囊胧沟梦覀兛梢酝黄七@種界限，參見(jiàn)以下不動(dòng)點(diǎn)定理：9、Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理 設(shè)

13、 D 是中 Banach 空間 的有界閉凸集， 是全連續(xù)映射。設(shè)下列條 件之一滿(mǎn)足：9.1 D 含有內(nèi)點(diǎn)，且 （這里 表示 的邊界）9.2則F在D上有不動(dòng)點(diǎn)。這里的映射 不必是線(xiàn)性的布勞威10、Lefschetz 不動(dòng)點(diǎn)定理10.1 Lefschetz 不動(dòng)點(diǎn)定理 是關(guān)于可剖分空間自映射的不動(dòng)點(diǎn)定理存在性的判別定理， 爾不動(dòng)點(diǎn)定理可看作它的一種特殊情形。10.2 Lefschetz 不動(dòng)點(diǎn)定理 設(shè) X 是可剖分空間， 是連續(xù)映射。如果 ，則 有不動(dòng)點(diǎn) 。 在這基礎(chǔ)上， Duffie 和 Shafer 在 1985 年利用模 2 拓?fù)涠群湍＝乩碚搶⑽⒎滞負(fù)湓磉\(yùn)用到資 產(chǎn) GEI 分析當(dāng)中來(lái)；

14、而 Geanakoplos 和 Shafer 于 1990 年利用光滑流形上的類(lèi) Ck-Walras 映射 和 Ck- 允許映射概念證明了通常光滑條件下的不動(dòng)產(chǎn)GEI 的存在性 ；這些無(wú)疑都是對(duì) borsuk-ulam 定理的深化和發(fā)展。首先，刻畫(huà)闡述 borsuk-ulam 定理。其定理 如下：如果 是連續(xù)奇映射 ，那么 。 而 Grassman 流形刻畫(huà)如下：11、維向量空間 中全體 維線(xiàn)性子空間的集合記作 ，它是 維光滑流形 ，稱(chēng)為 Grassman 流形。12、定理 Grassman 流形 是一個(gè) 維的緊實(shí)解析流形 。接下來(lái)， 我們引用張筑生在 微分拓?fù)湫轮v中給出的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的

15、模 2測(cè)度證明 法，從而可以窺見(jiàn) Grassman 流形中的模 2 測(cè)度與 borsuk-ulam 定理的關(guān)系。13 、布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理 連續(xù)映射 必有不動(dòng)點(diǎn)。此定理可以歸結(jié)為如此證明 ：任何連續(xù) 映射 都不能使 。用反證法：假設(shè)存在滿(mǎn)足上述條件的連續(xù)映射 ，則由（如果 是恒同映射，那 么 ）可知 （ 1）。另一方面，因?yàn)?將 同倫于常值映射 ，所以 （ 2）。我們得到互相矛盾的結(jié) 果（ 1）和（ 2），從而可以得證。三、不動(dòng)點(diǎn)定理在不同市場(chǎng)均衡存在性的證明中的應(yīng)用 關(guān)于市場(chǎng)均衡存在性的證明方法可以有不動(dòng)點(diǎn)定理、 序方法、 線(xiàn)性方程組解、博弈組合以及算子 算法等，其中不動(dòng)點(diǎn)定理是證明市場(chǎng)均衡

16、存在的一個(gè)最重要的方法。并且， 不動(dòng)點(diǎn)定理除了上述之外，還有其他眾多的闡述 。而不動(dòng)點(diǎn)定理既可運(yùn)用到一般均衡的證明當(dāng)中來(lái)，還可用來(lái)證明 不完全市場(chǎng)均衡存在性的證明， 并且可運(yùn)用到不同具體市場(chǎng)均衡存在性的證明當(dāng)中來(lái)， 比如附息 國(guó)債到期市場(chǎng)均衡，市場(chǎng)占有率算法等。我們引入張定勝在高級(jí)微觀(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)中給出的競(jìng)爭(zhēng)均衡存在性 的證明來(lái)剖析不動(dòng)點(diǎn)定理是如 何在一般均衡中得以應(yīng)用的。命題 1 假設(shè) 是定義在 上的函數(shù)， 滿(mǎn)足連續(xù)、零次齊次、瓦爾拉斯律等五項(xiàng)條件 ，那么方程組 一 定有解。因此，對(duì)于任意的純交換經(jīng)濟(jì)，如果 ，每個(gè)消費(fèi)者 的偏好 是連續(xù)的、嚴(yán)格凸的和強(qiáng) 單調(diào)的，那么一定存在一個(gè)瓦爾拉斯均衡。證明：

17、首先將價(jià)格向量規(guī)范化。記 為一單純形。依據(jù)條件，函數(shù) 僅在 的內(nèi)集上有定義。 的內(nèi) 集記為1 、 對(duì)于任意的 ，構(gòu)造一個(gè)映射不動(dòng)點(diǎn)對(duì)于任意的 ，定義也即是，給定現(xiàn)行價(jià)格 ，所有使得超需求向量的值最大的 組成它的一個(gè)映射?；蛘?， 。因此， 如果 ，那么 ， 表示 的邊界點(diǎn)的集合。如果 ，那么 。2 、 對(duì)于任意的 ，構(gòu)造一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)映射。對(duì)于任意的 ，定義 。注意到如此構(gòu)造的映射使得 上 的點(diǎn)不可能是不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)槿绻?，那么 ，所以 。3、的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)均衡。假設(shè) ，由上述第 2 步可知 。如果 ，由第 1步可知， ，不可 能存在 。因此如果 ，一定有 。4、不動(dòng)點(diǎn)映射 是凸值的和上半連續(xù)的。

18、 首先證明 是凸集，分兩種狀況即分別 和 下， 對(duì)于任 意的 ， 都成立 。接下來(lái)， 證明 的上半連續(xù)性， 考慮兩個(gè)序列 ，這里 ，在兩種情況下即 和 下 都可證明 成立 。5 、 不動(dòng)點(diǎn)存在。 角谷不動(dòng)點(diǎn)定理推出任意一個(gè)從非空凸緊集到自身的凸值，上半連續(xù)映射存在 一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。由于 是非空凸緊集， 是一個(gè)凸值上半連續(xù)映射，所以存在一個(gè) ，滿(mǎn)足 。由第 3 步可推出 就是均衡價(jià)格向量。張定勝在隨后章節(jié)里給出了放寬條件的均衡的證明 。而關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)用以證明均衡存在性的闡述 還可在王則柯、凌志英編著的拓?fù)淅碚摷捌鋺?yīng)用以及蔣殿春編著的高級(jí)微觀(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)中可 見(jiàn)。前者給出了布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理在均衡存在性中的應(yīng)

19、用證明 ，證明步驟和張定勝所采用的 基本一樣；后者也給出了布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理在均衡存在性中的應(yīng)用證明 ，但證明稍稍簡(jiǎn)單一 些，基本步驟仍基本一樣。 值得注意的是，王則柯與凌志英在本書(shū)中還給出了不動(dòng)點(diǎn)定理在博弈 論和非線(xiàn)性互補(bǔ)問(wèn)題的應(yīng)用證明 。由于基本步驟基本一樣，這里不再一一贅述。另外，關(guān)于不 動(dòng)點(diǎn)定理在 GEI 模型中的應(yīng)用可參見(jiàn)何穗、王恩周的一般經(jīng)濟(jì)均衡理論與現(xiàn)代數(shù)學(xué) ，而不 動(dòng)點(diǎn)定理在附息國(guó)債到期市場(chǎng)均衡中的應(yīng)用可參見(jiàn)鄧國(guó)華的 不動(dòng)點(diǎn)理論與附息國(guó)債到期收益率 的計(jì)算 ，不動(dòng)點(diǎn)定理在市場(chǎng)占有率的應(yīng)用可參見(jiàn)白先春和李杏的均衡市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)的不 動(dòng)點(diǎn)算法 ?？傊?， 不動(dòng)點(diǎn)定理在不同市場(chǎng)均衡中得

20、以廣泛應(yīng)用 ，從而鞏固了主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的陣 營(yíng)；更為重要的是， 不動(dòng)點(diǎn)定理提供了一種革命性的思想方法與工具，極大地改變了經(jīng)濟(jì)學(xué)者在 處理經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)的視角參考文獻(xiàn)：1、蘇競(jìng)存著；流形的拓?fù)鋵W(xué)；武漢：武漢大學(xué)岀版社；1992年5月第 1版2、陳維桓編著；微分流形初步；北京：高等教育岀版社；2001 年 8 月第 2 版3、郝柏林著；從拋物線(xiàn)談起混沌動(dòng)力學(xué)引論；上海:上?？萍冀逃龑绨嫔?；1993年 9 月第 1 版4 、 文志英 編著；分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?2000 年 12 月第 1 版5、李偉固 著；正規(guī)形理論及其應(yīng)用；北京：科學(xué)出版社； 2000 年 1 月第 1 版6

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