系統(tǒng)的模擬圖與框圖

1、6-4系統(tǒng)的模擬圖與框圖一、三種運(yùn)算器系統(tǒng)模擬中應(yīng)用的運(yùn)算器有三種：加法器、數(shù)乘器(也稱標(biāo)量乘法器)和積分器。三種運(yùn)算器的表示符號及其時域、s域中輸入與輸出的關(guān)系，如表 6 - 3中所示。二、系統(tǒng)模擬的定義與系統(tǒng)的模擬圖在實驗室中用三種運(yùn)算器：加法器、數(shù)乘器和積分器來模擬給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一一微分方程或系統(tǒng)函數(shù)H(s)，稱為線性系統(tǒng)的模擬，簡稱系統(tǒng)模擬。經(jīng)過模擬而得到的系統(tǒng)稱為模擬系統(tǒng)。從系統(tǒng)模擬的定義可看出，所謂系統(tǒng)模擬，僅是指數(shù)學(xué)意義上的模擬。模擬的不是實際的系統(tǒng)，而是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 微分方程或系統(tǒng)函數(shù)H(s)。這就是說，不管是任何實際系統(tǒng)，只要它們的數(shù)學(xué)模型相同，則它們的模擬系統(tǒng)就一樣，

2、就可以在實驗室里用同一個模擬系統(tǒng)對系統(tǒng)的特性進(jìn)行研究。例如當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)或輸入信號改變時，系統(tǒng)的響應(yīng)如 何變化，系統(tǒng)的工作是否穩(wěn)定，系統(tǒng)的性能指標(biāo)能否滿足要求，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如何變化，等等。所有這些都可用實 驗儀器直接進(jìn)行觀測，或在計算機(jī)的輸出裝置上直接顯示出來。模擬系統(tǒng)的輸出信號，就是系統(tǒng)微分方程的解，稱為 模擬解。這不僅比直接求解系統(tǒng)的微分方程來得簡便，而且便于確定系統(tǒng)的最佳參數(shù)和最佳工作狀態(tài)。這正是系統(tǒng)模 擬的重要實用意義和理論價值。在工程實際中，三種運(yùn)算器：加法器、數(shù)乘器和積分器，都是用含有運(yùn)算放大器的電路來實現(xiàn)，這在電路基礎(chǔ)課程中 已進(jìn)行了研究，不再贅述。系統(tǒng)模擬一般都是用模擬計算機(jī)或數(shù)

3、字計算機(jī)實現(xiàn)，也可在專用的實驗設(shè)備上實現(xiàn)。由加法器、數(shù)乘器和積分器連接而成的圖稱為系統(tǒng)模擬圖，簡稱模擬圖。模擬圖與系統(tǒng)的微分方程(或系統(tǒng)函數(shù) H(s)在描述系統(tǒng)特性方面是等價的。三、常用的模擬圖形式常用的模擬圖有四種形式：直接形式、并聯(lián)形式、級聯(lián)形式和混聯(lián)形式。它們都可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或系統(tǒng)函數(shù) H(s)畫出。在模擬計算機(jī)中，每一個積分器都備有專用的輸入初始條件的引入端，當(dāng)進(jìn)行模擬實驗時， 每一個積分器都要引入它應(yīng)有的初始條件。有了這樣的理解，下面畫系統(tǒng)模擬圖時，為簡明方便，先設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即系統(tǒng) 為零狀態(tài)。此時，模擬系統(tǒng)的輸出信號，就只是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)了。1. 直接形式設(shè)系統(tǒng)微

4、分方程為二階的，即IIIy (t)yy (t) + a°y(t)= f (t)( 6 -15)為了畫出其直接形式的模擬圖，將式(6 - 15)改寫為y''(t -a1y'(th aoy(tr f (t)根據(jù)此式即可畫出時域直接形式的模擬圖，如圖6-18(a)所示?？梢妶D中有兩個積分器(因為微分方程是二階的)，有兩個數(shù)乘器和一個加法器。圖中各變量之間的關(guān)系，一目了然，無需贅述。加法器y(t)y(t) =fi(t)f2(t)s域表示Fi(s)Y(S)F2(s)Y(s)二 Fi(s) F2 (s)信號流圖表示Y(s)=Fi(s) F2(s)數(shù)乘器y(t)Y(s)F(

5、s)a Y(s)積分器y(t)=af(t)Y(s) =aF(s)Y(s)=aF(s)J y(t)tty(t) njjf ( )dzy(OJ J()d0 其中 y(0T - f ( )d .11Y(s)=_F(s) y(0Jss丄 y(0) O s F(s) s斗1 i Y(s) Q4Q11Y(s)=F(s)+y(0Jss若將式(6 - 15)進(jìn)行拉普拉斯變換即有s2Y(s) a1sY(s) a0Y(s)二 F(s)(6-16)s2Y(s) - -asY(s) -a°Y(s) F(s)(6-17)根據(jù)此式即可畫出s域直接形式的模擬圖，如圖6 -18 (b)所示。(a)Y(s)圖 6 -

6、 18將圖6 -18 (a)和(b)對照，可看出兩者的結(jié)構(gòu)完全相同，僅是兩者的變量表示形式不同。圖(a)中是時域變量，圖(b)中則是s域變量，而且兩者完全是對應(yīng)的。所以，為簡便，以后就不必要將兩種圖都畫出了，而只需畫出二者之一即可。根據(jù)式(6 - 16)可求出系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=Yl 二F(s)1s2a。2s1a°s(6 - 18)將式(6 - 18)與圖6 - 18(b)進(jìn)行聯(lián)系對比，不難看出，若系統(tǒng)函數(shù)H(s)已知，則根據(jù)H(s)直接畫出s域直接形式模擬圖的 方法也是一目了然的。若系統(tǒng)的微分方程為如下的形式：(6 - 19)y''(t)qy (t)a°y

7、(t) = bzf'lt) bf(t) b°f (t)則其系統(tǒng)函數(shù)(這里取m=n=2)為H (s)二 Ys)二 ds2 ps 4 _ b2 Qs' b°s經(jīng)()F(s s2 a1s a0 - 1 a1s"1 a0s為了畫出與此微分方程或H(s)相對應(yīng)的直接形式的模擬圖，可引入中間變量x(t)，使之滿足下式，即x (t) Qx(t) a°x(t)二 f (t)(6 - 21)故有x''(t)八昭-a°x(t)f (t)與此式相對應(yīng)的模擬圖如圖6-19(a)的下面部分所示。將式(6 - 21)分別相繼乘以bo, bb

8、系數(shù)，即有b°x"(t)ajbox'(t)a°b°x(t) = b°f(t)bx(t) a1b1x'(t) a°bx(t) =bf(t) bx''(t) adb2X(t)a°b2X(t)二 b?f (t)將式(6 - 24)求導(dǎo)一次，將式(6 - 25)求導(dǎo)兩次，即有bx"(t)' aibx(t)' a°bx(t)' = bj'(t)(6 - 22)(6-23)(6 - 24)(6 - 25)px'(t)''aib2x

9、'(t)''aob2x(t)'' = b2f''(t)此兩式又可寫為bx(t)aibx(t)aobix(t)bif (t)(6-26)b2x''(t)''aib2x (t)'aob2x(t)Pb2f''(t)將式(6 - 23)，式(6 - 26)，式(6 - 27)相加并歸并同類項即得(6-27)b2x''(t) Ex(t) b°x(t)'' aigxjt) Ex(t) b°x(t)'a°b2x''

10、;(t) bx(t) box(t)二 b2 f (t) bf'(t) b°f(t)將式(6 - 28)與式(6 - i9)比較，可看出必有(6-28)y(t)二 b?x (t) bx(t) b°x(t)(6-29)根據(jù)式(6 - 29)即可畫出與之對應(yīng)的模擬圖，如圖6 -19中的上面部分所示。這樣，就得到了與式(6 - 19)相對應(yīng)的完整的直接形式的模擬圖，如圖6 -19 (a)所示。與式(6 - 19)相對應(yīng)的s域直接形式的模擬圖如圖6 -19 (b)所示。此圖也可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的表示式(6 - 20)直接畫出，其步驟和方法一目了然，也無需贅述。從圖6 -

11、19中看出，圖中有兩個積分器(因微分方程是二階的)、兩個加法器(因式(6 - 19)中等號左端和右端各有一個求和式)和五個數(shù)乘器。推廣若系統(tǒng)的微分方程為 n階的，且設(shè)m=n，即yn(t)an4yn4(taiy'(t)玄丫二bmfm(t) bmft) Pf'(t) b°f(t)bmSmbmF4b,S b0n 丄n 4丄丄丄san 4SaiS a°則其系統(tǒng)函數(shù)為H(s-YS(6 -30a)(6 -30b)H(咗_ bm "農(nóng)一 dsE b°sw1 J亠 亠耳尹宀-a n-410 os域直接形式的模(6 -30c)仿照上面的結(jié)論，可以很容易地畫

12、出與上兩式相對應(yīng)的時域和的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。y(t)Y(s)的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。圖6- 19 (a)時域，(b) s域 擬圖。請讀者自己畫出。mW n的情況。因當(dāng) m> n時，就無法模擬了。需要指出，直接形式的模擬圖，只適用于2. 并聯(lián)形式 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)仍為式(6 - 20)，即2b2Sds b0H(s)二-(6 -31a)s +a|S+a0的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。將式(6 - 31a)化成真分式并將余式No(s)展開成部分分式，即H

13、(s)我.No(s) s2 ' a-is ' a0No(s)“20鳥叢(s-pMs-pz)s-p- s- i：式中P" p2為H(s)的單階極點Ki,K2為部分分式的待定系數(shù)，它們都是可以求得的。根據(jù)式(6 -31b)(6 - 31b)即可畫出與之對應(yīng)的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。特例：若b2=0，則圖中最上面的支路即斷開了。若系統(tǒng)函數(shù)H(s)為n階的，則與之對應(yīng)的并聯(lián)形式的模擬圖，也可如法炮制。請讀者研究。 并聯(lián)模擬圖的特點是，各子系統(tǒng)之間相互獨立，互不干擾和影響。的并聯(lián)形式的模擬圖，如圖 6 - 20所示。

14、圖并聯(lián)模擬圖也只適用于 m<n的情況。6 - 22所示。6 - 22所示。(6 - 32)式中，P1, P2為H(s)的單階極點;應(yīng)的級聯(lián)形式的模擬圖，如圖6 - 21所示。也可仿效畫出。圖6 -圖6-21若系統(tǒng)函數(shù)H(s)為n階的，則與之對應(yīng)的級聯(lián)形式的模擬圖, 級聯(lián)模擬圖也只適用于m<n的情況。Z1 , z2為H(s)的單階零點。它們都是可以求得的。根據(jù)式 (6 - 32)，即可畫出與之對Y(s)3. 級聯(lián)形式 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)仍為式(6 - 20)，即2b?sds b。b2(s 乙)(sZ2)匚 s 乙 s Z2H (s)2b2-s+qs+a。(s pj(sP2)s nsP26 -

15、 22所示。6 - 22所示。4. 混聯(lián)形式例如，設(shè)H(s"卞2s 32s 32 216s12s s(s 3)(s 2)=4+s s 3 s 2 (s 2)6 - 22所示。6 - 22所示。進(jìn)而再改寫成H (s) =1 14s 42s 3 s 2 s 4s 4(6 - 33)6 - 22所示。根據(jù)式(6 - 33)即可畫出與之對應(yīng)的混聯(lián)形式的模擬圖，如圖 最后還要指出兩點：6 - 22所示。F(s)丫(S)圖 6 - 22(1) 一個給定的微分方程或系統(tǒng)函數(shù)H(s),與之對應(yīng)的模擬圖可以有無窮多種，上面僅給出了四種常用的形式。同時也要指出，實際模擬時，究竟應(yīng)采用哪一種形式的模擬圖為

16、好，這要根據(jù)所研究問題的目的、需要和方便性而定。每一種形式的模擬圖都有其工程應(yīng)用背景。(2) 按照模擬圖利用模擬計算機(jī)進(jìn)行模擬實驗時，還有許多實際的技術(shù)性問題要考慮。例如，需要做有關(guān)物理量幅度或時間的比例變換等，以便各種運(yùn)算單元都能在正常條件下工作。因此，實際的模擬圖會有些不一樣。四、系統(tǒng)的框圖 一個系統(tǒng)是由許多部件或單元組成的，將這些部件或單元各用能完成相應(yīng)運(yùn)算功能的方框表示，然后將這些方框按系 統(tǒng)的功能要求及信號流動的方向連接起來而構(gòu)成的圖，即稱為系統(tǒng)的框圖表示，簡稱系統(tǒng)的框圖。例如圖6 - 23即為一個子系統(tǒng)的框圖，其中圖6 - 23(a)為時域框圖，它完成了激勵f(t)與單位沖激響應(yīng)h

17、(t)的卷積積分運(yùn)算功能；圖6 - 23(b) 為s域框圖，它完成了 F(s)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)的乘積運(yùn)算功能。f(t) h(t) | y(tH f(t)* h(t) F(s)» H(s)|»Y(s) = F(s)H(s)(a)(b)(子系統(tǒng))組成的，各子系統(tǒng)之間是什么樣的關(guān)圖6 -23(a)時域框圖(b) s域框圖系統(tǒng)框圖表示的好處是，可以一目了然地看出一個大系統(tǒng)是由哪些小系統(tǒng)系，以及信號是如何在系統(tǒng)內(nèi)部流動的。應(yīng)注意，系統(tǒng)的框圖與模擬圖不是一個概念，兩者涵義不同。例6 -14已知，試用級聯(lián)形式、并聯(lián)形式和混聯(lián)形式的框圖表示之。解：(1)級聯(lián)形式。將H(s)改寫為H(s)

18、二2s 3s(s 3)(s 2)21 2s 31s s 3 (s 2)2二 Hds)H2(s)H3(s)12s +31HMs) = ,H2(s)二2,©)千式中，ss 3(s 2)。其框圖如圖6 - 24所示。由圖即可得Y(s) =F(s)H1(s)H2(s)H3(s)F(s) (s)Y(s)H(s)二丫型二 Hds)H2(s)H3(s)故得F(s)圖 6 -24（2）并聯(lián)形式。將上面的H（s）改為式中,H(s)11+s 3 s 2H1(s)H21= R,H3(s)5，H4（s） Js 2（s 2）。其框圖如圖6 - 25所示。由圖可得丫(s) =F(s)H!(s) F(s)H2(s) F(s)H3(s) F(s)H4(s)故得H(s) Y(s)F(s)Hi(s) H2(s)出 (s)（3）混聯(lián)形式。將 H（s）改寫為+s s 3 s 2 s2 4s 4十（卅（9 H3G） H4（s）545s + 3一 4H1（s） =4，H2（s） =，H3（s）H4（s）=二式中，ss 3s 2s 4s 4。其框圖如圖6 - 26所示。由圖可得丫(s) =F(s)H1(s)H2(s) F(s)H3(s) F(s)H4(s)F(s)»Y(S)圖 6 -25圖»Y(