系統(tǒng)建模方法

1、系統(tǒng)建模方法2.1系統(tǒng)抽象與數(shù)學描述2.1.1實際系統(tǒng)的抽象本質(zhì)上講，系統(tǒng)數(shù)學模型是從系 統(tǒng)概念出發(fā)的關(guān)于現(xiàn)實世界的 一小部分或幾個方面的抽象的映像”。為此，系統(tǒng)數(shù)學模型的建立需要建立如下 抽象：輸入、輸出、狀態(tài) 變量及其間的函數(shù)關(guān)系。這種抽象過程稱為模型構(gòu)造。抽象中，必須 聯(lián)系真實系統(tǒng)與建模目標，其中描述變量起著很重要的作用，它可 觀 測，或不可觀測。從外部對系統(tǒng)施加影響或干擾的可觀測變量稱為輸入變量。系統(tǒng)對輸入變量的響應(yīng)結(jié)果稱為輸出變量。輸入、輸出變量對的集合，表征著真實系統(tǒng)的輸入-輸出”性狀（關(guān) 系）。綜上述，真實系統(tǒng)可視為產(chǎn)生一定性狀數(shù)據(jù)的 信息源，而模型則 是產(chǎn)生與真實系統(tǒng)相同性狀數(shù)

2、據(jù)的一些 規(guī)則、指令的集合，抽象在其 中則起著媒介作用。系統(tǒng)數(shù)學建模就是將真 實系統(tǒng)抽象成相應(yīng)的數(shù) 學表達式（一些規(guī)則、指令的集合）。-1 -（可觀測）-3 -# -3 t）、P t）輸入輸出變真實系統(tǒng)建模的抽象過程2.1.2系統(tǒng)模型的一般描述及描述 級（水平）2.121系統(tǒng)模型的一般描述：一個系統(tǒng)的數(shù)學模型可以用如下七元 組集合來描述：S T,X, ,Q,Y,其中：T:時間基，描述系統(tǒng)變化的時間坐標，T為整數(shù)則稱為離散時間系 統(tǒng)，為實數(shù)則稱為連續(xù)時間系統(tǒng)；X:輸入集，代表外部環(huán)境對系統(tǒng)的作用。:輸入段集，描述某個時間間隔內(nèi)的輸入模式，是X,T的一個子集。Q:內(nèi)部狀態(tài)集，描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)量，是

3、系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)建模的核心。:狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，定義系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是如何變化的，是一個映射。 丫：輸出集，系統(tǒng)通過它作用于環(huán)境。:輸出函數(shù)，是一個映射，給出了一個輸出段集。2.1.2.2系統(tǒng)模型描述級（水平）：按照系統(tǒng)論的觀點，實際系統(tǒng)可在某種級（水平）上被分解，因此系統(tǒng)的數(shù)學模型可以有不同的描述 級（水平）：性狀描述級性狀描述級或稱為行為描述級（行為水平）。在止級上描述系統(tǒng)是 將系統(tǒng)堪稱黑箱，并施加輸入信號，同時測得輸出響應(yīng)，結(jié)果是得出 一個輸入-輸出對：3, p及其關(guān)系Rs=（ 3, p）： Q, 3, p。因此，系統(tǒng)的性狀級描述只給出輸入-輸出觀測結(jié)果。其模型為五 元組集合結(jié)構(gòu)：S= T,X, Q

4、, Y, R）當3, p滿足p=f（3）函數(shù)關(guān)系時，其集合結(jié)構(gòu)變?yōu)椋篠= T ,x, Q, Y, F）黑箱狀態(tài)描述級在狀態(tài)結(jié)構(gòu)級（狀態(tài)結(jié)構(gòu)水平）上，系統(tǒng)模型不僅能反映輸入-輸出 關(guān)系，而且應(yīng)能反映出系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)，以及狀態(tài)與輸入、輸出間的關(guān) 系。即不僅定義了系統(tǒng)的輸入與輸出，而且定義了系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)集 及狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學模型對于動態(tài)結(jié)構(gòu)可用七元組集合來描述：S= T,x, Q,Q, Y, 3,為對于靜態(tài)結(jié)構(gòu)有：S= x, Q, 丫，入白箱復合結(jié)構(gòu)級系統(tǒng)一般由若干個分系 統(tǒng)組成，對每個分系統(tǒng)都給出行為級描述, 被視為系統(tǒng)的一個部件”這些部件有其本身的 輸入、輸出變量，以及 部件間的連接關(guān)系和

5、接口。于是，可以建立起系統(tǒng)在復合結(jié)構(gòu)級分解 結(jié)構(gòu)級）上的數(shù)學模型。這種復合結(jié)構(gòu)級描述是復雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)。應(yīng)該強調(diào)：系統(tǒng)分解為復合結(jié)構(gòu)是無止境的，即每個分系 統(tǒng)還會有自己的復合結(jié)構(gòu)；一個有意義的復合結(jié)構(gòu)描述只能給出唯一的狀態(tài)結(jié) 構(gòu)描述，而一個有意 義的狀態(tài)結(jié)構(gòu)描述本身只有唯一的性狀（行為）描述；系統(tǒng)上述概念必 須允許分解停止，又允許進一步分解，既包含遞歸可分解性?；蚁?6 -2.2相似概念簡介221相似概念及含義仿真的理論依據(jù)：相似論。自然界中廣泛存在著 相似”概念，最普遍的是：幾何相似：鯛單、最直觀，如多變形、三角形相似；現(xiàn)象相似：幾何相似的拓展，如物理量之間存在的比例關(guān)系。采用相似

6、技術(shù)來建立實際系統(tǒng)的相似模型，這是相似理論在系 統(tǒng)仿真中基礎(chǔ)作用的根本體現(xiàn)。2.2.2相似分類絕對相似：兩個系統(tǒng)（如系統(tǒng)原型與模型）全部幾何尺寸和其他相 應(yīng)參數(shù)在時空域上產(chǎn)生的全部變化（或全部過程）都是相似的；完全相似：兩個系統(tǒng)在某一相應(yīng)方面的過程上相似，如發(fā)電機的 電流電壓問題，模型與原型在電磁現(xiàn)象方面是完全相似即可，而無需 考慮熱工和機械方面的相似；不完全相似（局部相似）：僅保證研究部分的系 統(tǒng)相似，而非研究 和不要求部分的 過程可能被歪曲，為研究目的所允 許；近似相似：某附化假設(shè)下的現(xiàn)象相似，數(shù)學建模要保證有效性。不同領(lǐng)域中的相似有各自的特點，對領(lǐng)域的認識水平也不一樣：環(huán)境相似（幾何相似

7、、參量比例相似等）：結(jié)構(gòu)尺寸按比例 縮小得到的模型-縮比模型，如風洞、水洞實驗所用的模型。離散相似：差分法、離散相似法把連續(xù)時間系統(tǒng)離散化為等價的 離散時間系統(tǒng)。性能相似（等效、動力學相似、控制響應(yīng)相似等）：數(shù)學描述相同或者頻率特性相同，用于構(gòu)造各類仿真的相似原貝L感覺相似（楚動感覺、視覺、音響感覺等）：耳、眼、鼻、舌、身等感 官和經(jīng)驗，MIL仿真把感覺相似轉(zhuǎn)化為感覺信息源相似，培訓仿真器、 VR均是利用這種相似原則。思維相似：邏輯思維相似和形象思 維相似（比較、綜合、歸納等）， 專家系統(tǒng)、人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)。系統(tǒng)具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部行 為，因此系統(tǒng)的相似有兩個基本水 平：結(jié)構(gòu)水平和行為水平。同構(gòu)必

8、具有行 為等價的特性，但行 為等價的兩個系 統(tǒng)并不一定具有同構(gòu)關(guān)系因此，系統(tǒng)相似無論具有什么水平，基本特征都 歸結(jié)為行為等價。-9 -2.3系統(tǒng)建模原則、一般途徑和模型型譜2.3.1建模的基本原則清晰性：系統(tǒng)模型是由許多分系統(tǒng)、子系統(tǒng)模型構(gòu)成的，在模型 與模型間，除了研究目的需要的信息外，相互耦合要盡量少，使 結(jié)構(gòu) 盡可能清晰；切題性：模型只應(yīng)包括與研究目的有關(guān)的那些信息，而不是一切 方面；精確性：在建模時，應(yīng)考慮所收集到的用以建立模型的信息的精 確程度，要根據(jù)所研究 問題的性質(zhì)和所要解決的問題來確定對精確 程度的要求；對于不同的工程，精度要求是不一 樣的，即使對于同一 工程，由于研究的問題不

9、同，精度要求也是不一樣的；集合性：指把一些個別的實體能組成更大實體的程度，對于一個 系統(tǒng)實體的分割，在可能時應(yīng)盡量合并為大的實體。232建模的一般途徑對于內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性清楚的系 統(tǒng)，即所謂的白箱（多數(shù)的工程系 統(tǒng)都是），可以利用已知的一些基本 規(guī)律，經(jīng)過分析和演繹導出系統(tǒng)模型；對那些內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性不清楚或不很清楚的系 統(tǒng)，即所謂的灰 箱和黑箱，如果允許直接進行實驗性觀測，則可假設(shè)模型并通過實驗 驗證和修正；對于那些屬于黑箱但又不允許直接實驗觀測的系統(tǒng)（非工程系統(tǒng) 多屬于這一類）則采用數(shù)據(jù)收集和 統(tǒng)計歸納的方法來假設(shè)模型。233模型型譜對于不同領(lǐng)域，可以給出一個數(shù)學模型型譜：-11 -經(jīng)濟學、生

10、理學、空氣污染刑lllllll 11丨丨11丨I 丨丨I白社會學、生態(tài)學、水文學圖2-1不同領(lǐng)域的數(shù)-12 -2.4系統(tǒng)模型的有效性與數(shù)學建模過程框架241基本模型與模型集總基本模型（基礎(chǔ)模型Base model）:提供了對實際系統(tǒng)行為的完全解 釋，包含有實際系統(tǒng)應(yīng)有盡有 的分量和相互關(guān)系，在各種 試驗?zāi)Ｊ较略撃Ｐ蛯τ谡鎸嵪到y(tǒng)的 全部” 輸入-輸出性狀都是有效的。由于模型包含 過多的分量及相互關(guān)系，一般是十分復 雜而龐大。 通常是難以得到的，更何況并不實用。一般是根據(jù)具體建模目 標、在一定試驗規(guī)模下構(gòu)造出一個比 較 簡單而滿足精度要求的模型：排除基本模型中那些與建模目 標甚遠或 涉及不到的分量

11、，并對相關(guān)描述分量的相互關(guān)系加以 簡化。模型集總：排除基本模型次要分量并簡化其現(xiàn)存分量相互關(guān)系的 過程。集總模型Lumped model ）:總后的模型。模型研究中使用的模型一般 為集總模型。2.4.2模型的有效性 數(shù)學建模中最重要、最困難的問題之一 模型有效性的問題十分復雜，只介紹一般概念。所謂模型的有效性：就是在對模型所作的預測精度為基準下，反 映實際系統(tǒng)數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)之間的一致性。理論上講，即實際系統(tǒng)與模型的輸入-輸出一致?？捎孟率较笳餍?地描述：實際系統(tǒng)數(shù)據(jù)？二？模型產(chǎn)生數(shù)據(jù)模型的有效性水平可以根據(jù) 獲取的困難程度有強度輕重之分，一 般分為三級：復制有效：模型產(chǎn)生的數(shù)據(jù)與實際系統(tǒng)所取得

12、的數(shù)據(jù)相匹配，屬 于模型有效性的最松水平；預測有效：從實際系統(tǒng)取得數(shù)據(jù)之前就能 夠至少看出匹配數(shù)據(jù)， 屬于有效性稍 強水平；結(jié)構(gòu)有效：不僅能夠復制實際系統(tǒng)行為，而且能夠真實反映實際 系統(tǒng)產(chǎn)生此行為的操作，屬于更強的有效性水平，可看出實際系統(tǒng)的 內(nèi)部工作情況。243系統(tǒng)數(shù)學建模過程框架考慮模型的有效性水平，要在建模和模型使用 時重點考慮一下 幾個方面：先驗的知識可信性：建模前提的正確性，數(shù)學描述的有效性取決 于先驗知識的可信性；實驗數(shù)據(jù)的可信性：所選擇的數(shù)據(jù)段是否能反映系 統(tǒng)行為特征， 模型數(shù)據(jù)與實際系統(tǒng)數(shù)據(jù)的偏離程度；模型應(yīng)用的可信性：從實際出發(fā)，考慮模型運行能否達到 預期目 標°因

13、此，在建模方法與步驟上要有所考慮：-15 -演繹模型框架定嗎模型有效性分析一*數(shù)學建模過程框架-16 -2.5常用數(shù)學建模方法2.5.1常見數(shù)學建模方法及分 類基本上分兩大類：機理分析建模方法（白箱）：依據(jù)基本的物理、化學等 定律，進行機理分析，確定模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)；使用該方法的前 提是對系統(tǒng)的運行機理完全清楚。實驗統(tǒng)計建模方法：基于實驗數(shù)據(jù)的建模方法（白箱、灰箱、黑箱）辨識建模：線性、非線性，動態(tài)、靜態(tài)統(tǒng)計回歸：一般是靜態(tài)的線性模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：理侖上可以對任何數(shù)據(jù)建模，但學 習 算法是關(guān)鍵模糊方法：實驗統(tǒng)計建模方法使用的前提是必 須有足夠正確的數(shù)據(jù)，所建的模型也只能保 證在這個范圍內(nèi)有效；足夠的

14、數(shù)據(jù)不僅僅指數(shù)據(jù)量多，而且數(shù)據(jù)的內(nèi)容要豐富 頻帶要寬），1夠充分激勵要建模系統(tǒng)的特性;（白噪聲、最優(yōu)輸入信號設(shè)計、數(shù)據(jù)的質(zhì)量）要清楚每種方法的局限性，掌握適用范圍；在實際應(yīng)用中往往組合采用、互補。2.5.2機理分析建模方法2.521機理分析法建模原理又稱為直接分析法或解析法，應(yīng)用最廣泛的一種建模方法。一般是在若干 簡化假設(shè)條件下，以各學科專業(yè)知識為基礎(chǔ)，通過 分析系統(tǒng)變量之間的關(guān)系和規(guī)律，而獲得解析型數(shù)學模型。其實質(zhì)是應(yīng)用自然科學和社會科學中 被證明是正確的理 論、原 理和定律或推 論，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)要素（變量）進行理論分析、演 繹歸納，從而構(gòu)造出該系統(tǒng)的數(shù)學模型。2.5.2.2機理分析法

15、建模步驟建模步驟如下：1）分析系統(tǒng)功能、原理，對系統(tǒng)作出與建模目標相關(guān) 的描述；2）找出系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量；3）按照系統(tǒng)（部件、元件）遵循的物化（或態(tài)、經(jīng)濟）規(guī)律列寫出各部分的微分方程或 傳遞函數(shù)等；4）消除中間變量，得到初步數(shù)學模型；5）進行模型標準化；6）進行驗?zāi)＃ū匾獣r需要修改模型）。2.5.3表格插值建模方法2.531表格插值建模原理由于這種方法不允許直接實現(xiàn)動態(tài)方程，稱之為靜態(tài)建模技術(shù)。但表格插值功能常用于建立系 統(tǒng)動態(tài)方程。一般用于如下形式：y（k）f（X1,X2,X3,）x, X2 X3可以是仿真中的任意 變量，如時間、狀態(tài)變量或常JJJ數(shù)等，輸入個數(shù)可以使任意的，但 實際

16、應(yīng)用中一般小于5,輸入量的 增加，求解計算時間會增加。一個有N個輸入的插值函數(shù)可以用N維查找表來計算，每一個變 量的跨度為一個一維查找表。插值點的跨度可以是等 間距的，也可以是任意的間隔-20 -X1，X20.000.200.400.801.000.001.201.401.802.102.600.101.301.451.902.222.650.201.501.602.152.302.690.301.701.802.012.342.730.401.982.232.282.462.86插值計算有多種方法，不同的方法再插 值計算復雜度和插值函數(shù)平滑方面有所不同，一般由兩種方法可以滿足大多數(shù)情況下的需

17、要:線性插值法三次樣條插值法2.532線性插值法建?？梢栽趫D上直線連接相鄰插值點來進行一維線性插值，如下圖插值函數(shù)是連續(xù)的，但其插值點上的微分是不 連續(xù)的。yx xLy Ylyl i ylXl 1 Xl注：要先確定插值點L、L+1。常采用二分法，可以大大 節(jié)省搜索時間。如果輸入值x在計算范圍內(nèi)小范圍內(nèi)變化，可以先檢查輸入值是否再上一次 計算的插值間隔內(nèi)，這樣就可以簡化步驟，省去二分法；也可以檢查前一個插值點間隔、其相鄰的插值點間隔（如果必要）,有時可省去使用二分法，但第一個插 值點的計算除外；該方法的有效性依 賴于輸入變量的緩變性，這樣兩次函數(shù) 計算 之間不會發(fā)生快速跳變。條件不成立時，由于附

18、加檢查先于二分法，計 算過程變慢。2.533三次樣條插值法建?？梢缘玫狡交牟?值函數(shù)。三次樣條插值是運用三階多項式估計兩個插值點間的函數(shù)。這 樣，在兩個插值點上幾兩個插 值點間，插值函數(shù)及其一階和二階導數(shù) 均是連續(xù)的。從某種角度上講，三次樣條可以在插值點間獲得可能的 最平滑的插值。與線性插值比代價要大，計算時間增加，內(nèi)存需求也有所增加；算法復雜2.534多維表格插值法建模針對對輸入變量。2.5.4系統(tǒng)辨識建模方法2.5.3.1系統(tǒng)辨識建模原理1962年，Zadeh給出系統(tǒng)辨識的定義：就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型類中，確定 一個與所測系統(tǒng)等價的模型。明確了辨識的三要素：輸入輸

19、出數(shù)據(jù)：辨識的基礎(chǔ)；模型類：尋找模型的范圍；等價準則：辨只的優(yōu)化目標。擾系統(tǒng)辨識原理圖2.532系統(tǒng)辨識建模一般步驟一般步驟：1）明確建模目的和驗前知識：目的不同，對模型的精度 和形式要求不同；事先對系統(tǒng)的了解程度。2）實驗設(shè)計：變量的選擇，輸入信號的形式、大小，正 常運行信號 還是附加試驗信號，數(shù)據(jù)采樣速率，辨識允許的 時間及確定量測儀器等。3）確定模型結(jié)構(gòu)：選擇一種適當?shù)哪Ｐ?結(jié)構(gòu)。4）參數(shù)估計：在模型結(jié)構(gòu)已知的情況下，用實驗方法確定對系統(tǒng)特性用影響的參數(shù)數(shù)值5) 模型校驗：驗證模型的有效性。系統(tǒng)辨識步驟2.533最小二乘法 輸入-輸出數(shù)據(jù)精確已知 時確定模型參數(shù)的方法數(shù)據(jù)精確已知是指 測

20、得的系統(tǒng)輸入-輸出數(shù)據(jù)是精確的，沒有被噪聲”污染。y(k)a1y(k 1) a2y(k 2)an(k n) du(k 1) b2u(k 2)bnu(k n)-27 -令：k n,n 1,3n 1可得2n個方程式:y(n) any(O) an iy(1)aiy(n1) gu(0) bn iu(1)bnu( n 1)y(n 1) an y(1) an 1y(2)a1 y( n) bnu(1) 5(2)bnu(n)y(3n 1) any(2n 1) a. “(2n)a1 y(3n 2) bnu(2 n 1) bn 1u(2 n)bnu(3n 2)Yy(n)Yy(n 1)y(3n 1)y(0), y(

21、1),y(n 1)y(1), y(2),y(n),u(0),u(1),u( n 1),u(1),u(2),u(n)y(2n 2), y(2n 1),y(3n 2),u(2n2),u(2 n 1),u(3n 2)an 1a1bn 1b11Y-29 - 最小二乘法估計模型參數(shù)的方法考慮測量不精確或者 環(huán)境對過程的隨機干 擾，實際量測到的輸出為：y(k)ai y(k 1) a2y(k 2)an(k n) biu(k 1)b2U(k 2) bnu(k n) (k)其中：(k)-由量測噪聲引起的隨機 變量滿足如下統(tǒng)計特性：零均值對輸入、輸出信號是獨立的(k),k 0,1,2,3,是一個不相關(guān)的隨機變量設(shè)

22、模型結(jié)構(gòu)已定：y(k)a1y(k 1) ?2y(k 2)an(k n) b?u(k 1) §u(k 2)£u(k n)疑&是模型的估計參數(shù)，待定。參數(shù)估計的任務(wù)：通過輸入、輸出數(shù)據(jù)確定參數(shù)設(shè)：yM(k)a(k 1) 0y(k 2) g(k n) b?u(k 1) $u(k 2) b?u(k n)描述模型精度，引入模型殘差：e(k) y(k) yM (k)e Y n , N-為觀測次數(shù)定義準則函數(shù)：J e2(k) eT e確定？，使J最小。N)1從統(tǒng)計和概率角度考 慮，觀測得次數(shù)N遠遠大于貸估計參數(shù)的 個數(shù)2n2.5.5神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法2.531神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模原理與系統(tǒng)辨識的思路相同，都是從數(shù)據(jù)來建立模型，但他 們使用不 同的數(shù)學方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于生物神 經(jīng)元的模型，神經(jīng)元是大腦基本的認知 單元。可以用于非線性系統(tǒng)和未知物理模