光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1、第六章 光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由衍射理論知道，即使一個(gè)沒有象差的完善的透鏡或光學(xué)系統(tǒng)，也得不到理想的幾何象，而是一個(gè)由孔徑?jīng)Q定的衍射光斑。衍射斑的存在影響光學(xué)系統(tǒng)分辨物體細(xì)節(jié)的能力。對(duì)于有象差存在的實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)，還因?yàn)橄蟛畹拇嬖诙绊懷苌浒咧泄饽艿姆植?，從而降低了光學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)量。在常用的評(píng)價(jià)成象質(zhì)量的方法中，如星點(diǎn)法是通過研究一個(gè)點(diǎn)物的衍射圖形來判斷象差的大??；分辨率法是用一個(gè)具有一定空間分布的鑒別率板作為物體來判斷成象的好壞。這些方法都存在一定的局限性。實(shí)際的物體是有復(fù)雜的光強(qiáng)分布或振幅分布的，可以看作一個(gè)包含有各種空間頻率的復(fù)雜光柵。按照阿貝成象理論，一個(gè)只受衍射限制而無象差的理想光學(xué)系統(tǒng)

2、，因?yàn)槲矬w的頻譜中的高頻部分受到孔徑的限制而不能參與成象，致使象面的復(fù)振幅分布不同于物面，即表示細(xì)節(jié)的高頻部分丟失而使分辨率下降。對(duì)于有象差存在的實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)，不僅反映細(xì)節(jié)的高頻部分由于孔徑的限制而丟失，其它較低頻率成分的光波也由于象差的存在而使得其振幅降低或位相改變，從而影響成象質(zhì)量。為了全面評(píng)價(jià)一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的成象質(zhì)量的優(yōu)劣，必須全面考察物面上的各種頻率成分經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)的傳播情況，用來衡量這個(gè)傳播狀況的函數(shù)就是傳遞函數(shù)?，F(xiàn)在，光學(xué)傳遞函數(shù)的概念和理論已經(jīng)較普遍地應(yīng)用于光學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)果的評(píng)價(jià)、控制光學(xué)元件的自動(dòng)設(shè)計(jì)過程、光學(xué)鏡頭質(zhì)量檢驗(yàn)、光學(xué)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)的考慮及光學(xué)信息處理等方面。特別是光學(xué)傳遞函

3、數(shù)為光學(xué)儀器的設(shè)計(jì)、制造和使用提供了統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，成為一個(gè)更全面更客觀的質(zhì)量評(píng)價(jià)方法。本章主要講授在頻率域中描寫衍射受限系統(tǒng)的成像特性。所謂衍射受限系統(tǒng)即成像只受到有限大小孔經(jīng)衍射的影響，無幾何光學(xué)像差的理想系統(tǒng)。對(duì)于有象差存在的實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)對(duì)傳遞函數(shù)的影響也將作原理性的介紹。§6-1 透鏡、衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)一、 透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)在§2-4中我們?cè)趯W(xué)習(xí)脈沖響應(yīng)和疊加積分時(shí)，引入了線性系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)（脈沖響應(yīng)）的概念。把函數(shù)作為分解輸入函數(shù)g1的基元函數(shù)，系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)即輸出函數(shù)g2：其中稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)展）函數(shù)，其表示系統(tǒng)在輸出平面(x2, y2)的點(diǎn)

4、上對(duì)輸入平面坐標(biāo)(，)上的函數(shù)的輸入響應(yīng)。現(xiàn)在我們研究的系統(tǒng)是透鏡。這里即物平面上光場(chǎng)分布；即像平面上光場(chǎng)分布，所以在§5-2里，我們知道，對(duì)于下圖所示的光路，觀察面上的復(fù)振幅分布為其中，如果我們用單位振幅的平面波照明透明片，即，則，按照下圖的符號(hào)標(biāo)示，則，用平面波照明透明片，透明片的透過率函數(shù)也就是物平面上光場(chǎng)分布，即考慮到透鏡的孔徑函數(shù)P(x，y)，并將以上各量代入下式得與系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)展）函數(shù)的定義相比知道便是透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)。當(dāng)象面是物面的共軛，即時(shí)，透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)為又因?yàn)橄竺媸俏锩娴墓曹椕妫敉哥R孔徑比較大，衍射效應(yīng)不明顯，在近軸近似下，則 其中是橫向放大率所以此時(shí)

5、若我們研究的是象面的光強(qiáng)度分布，顯然的存在并不影響象面的光強(qiáng)度分布，此時(shí)透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)可以寫為顯然的變量是兩個(gè)線性組合，即，所以可以記為。如果令，則透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)為我們知道，透鏡孔徑的衍射作用明顯與否，是由孔徑線度相對(duì)于波長(zhǎng)和像距的比例決定的。為了便于比較，我們對(duì)作變量替換如下 將其代入點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)表達(dá)式，得這就是我們最終我們所求得透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)。從上式可以看出，在傍軸近似下，薄透鏡為一種簡(jiǎn)單的空不變系統(tǒng)，其點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)就是透鏡的孔徑函數(shù)的傅里葉變換。它決定了在像面上形成的夫瑯和費(fèi)衍射斑的復(fù)振幅分布，而理想像點(diǎn)就位于衍射斑的中心。當(dāng)透鏡孔徑遠(yuǎn)大于時(shí)，即x, y在很大的范圍內(nèi)(也就是變量在很大

6、范圍內(nèi))，則點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)可以近似為上式為一種極限情況，即無限大口徑的理想光學(xué)系統(tǒng)，這時(shí)點(diǎn)物成點(diǎn)像。二、衍射受限系統(tǒng)(DLS Diffraction-Limited System)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)一個(gè)衍射受限的成象系統(tǒng)，無論它由多少個(gè)光學(xué)元件組成，總可以用下圖所示的系統(tǒng)來表示它的一般模型。其中，入瞳和出瞳反映了系統(tǒng)實(shí)際孔徑對(duì)光束的限制，因此一個(gè)系統(tǒng)的衍射受限就相當(dāng)于受到入瞳或出瞳的限制，可以證明對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，入瞳和出瞳是共軛的。有了光瞳的概念，我們可以不去涉及光線在系統(tǒng)中行進(jìn)的具體路徑，而把整個(gè)系統(tǒng)的衍射受限看作由入瞳和出瞳邊緣的作用。按照衍射受限系統(tǒng)的定義，系統(tǒng)是沒有幾何像差的。對(duì)于一個(gè)沒有像差的復(fù)雜

7、光學(xué)系統(tǒng)，其成像過程可描述為：任一物點(diǎn)發(fā)出的發(fā)散球面波自由傳播到入瞳，由于入曈孔徑為有限大，光波發(fā)生衍射，入瞳面上每一點(diǎn)都成為次級(jí)子波源，次級(jí)子波再傳播到出瞳面，疊加成會(huì)聚球面波，最終在像面上給出以為中心的出瞳的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。我們將透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)按出瞳進(jìn)行推廣，就得到衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)（采用系統(tǒng)的出瞳對(duì)光波的衍射作用）其中K是與無關(guān)的系數(shù)，M是系統(tǒng)的橫向放大率，是出射光曈面到像平面的距離（不是通常意義下的像距），是出曈函數(shù)，其表示為如果作變量替換，；，可以得到當(dāng)光曈>>時(shí)，則認(rèn)為在無限大的區(qū)域內(nèi)都有，所以上式表明，當(dāng)可以忽略光曈衍射作用時(shí)，點(diǎn)的脈沖通過衍射受限系統(tǒng)后在物

8、平面上得到的仍然是點(diǎn)脈沖，即點(diǎn)物成點(diǎn)像，位置為，這便是幾何光學(xué)理想成象的情況。§6-2 相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律相干照明下透鏡成象是復(fù)振幅的線性系統(tǒng)，因此我們?cè)谏瞎?jié)導(dǎo)出的象面振幅應(yīng)是復(fù)振幅的疊加積分。根據(jù)上節(jié)導(dǎo)出的衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)其中K是與無關(guān)的系數(shù)，M是系統(tǒng)的橫向放大率，是出射光瞳面到像平面的距離。當(dāng)光曈(x, y)>>時(shí)，則認(rèn)為在無限大的區(qū)域內(nèi)都有光瞳函數(shù)，所以在象面上得到理想象點(diǎn)，其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為所以在理想成象的情況下，象面上的復(fù)振幅分布為可以看出，理想象分布與物函數(shù)分布U0是一樣的，只是在xi，yi的方向上都放大了M倍（若M<1,則為縮?。?。當(dāng)

9、然振幅的大小也發(fā)生了變化。我們知道，出射光瞳的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為所以上式表明，物通過衍射受限系統(tǒng)后，像分布是理想像和點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的卷積。另外，從疊加積分的角度也可以認(rèn)為物的像分布是理想像分布的疊加。像的強(qiáng)度分布則為因?yàn)楫?dāng)時(shí)，這表明，對(duì)衍射受限系統(tǒng)，表征系統(tǒng)成像特點(diǎn)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是光曈函數(shù)的傅立葉變換，可見光曈函數(shù)對(duì)描述衍射受限系統(tǒng)成像的重要性。§6-3 衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)在頻率域中，我們可以用點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的頻譜函數(shù)來描述系統(tǒng)的成像特性，即是衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)。一、 相干傳遞函數(shù)與光曈函數(shù)的關(guān)系我們知道空域中，在用相干照明的情況下，象面的復(fù)振幅為其中是理想像點(diǎn)的復(fù)振幅分布，是點(diǎn)擴(kuò)展

10、函數(shù)。如果令則在頻域中，有其中就是相干傳遞函數(shù)（CTF Coherance Transfer Function）。而由，得上式表明，相干傳遞函數(shù)等于光曈函數(shù)，僅在空域坐標(biāo)和空間頻率之間存在一定的縮放關(guān)系。對(duì)衍射受限系統(tǒng)，光曈函數(shù)為所以，由(x, y)決定的(fx, fy)，若在光曈內(nèi)，則；若在光曈外，則。即所以衍射受限系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器，它允許一定空間頻率(fx，fy)范圍內(nèi)的物光波無衰減的通過，而高于一定空間頻率(fx，fy)的物光波則完全不允許通過。這一特定空間頻率(fx，fy)稱為截止頻率，記為f0。通過的頻帶寬度由光曈尺寸決定。成像系統(tǒng)的光曈的形狀和大小直接影響著相干傳遞函數(shù)。相

11、干傳遞函數(shù)也就是濾波函數(shù)，在光曈面上放置特殊形狀的光闌，便能起到濾波作用。相干傳遞函數(shù)中變量的“-”號(hào)是因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)連續(xù)進(jìn)行兩次傅里葉變換所產(chǎn)生的，它與光曈坐標(biāo)的指向有關(guān)，若改變其坐標(biāo)方向，式中負(fù)號(hào)消失，這對(duì)所研究的問題沒有影響。所以通常把寫為。當(dāng)出射光瞳為邊長(zhǎng)為l的正方形時(shí)，相干傳遞函數(shù)其在x和y方向的截止頻率為當(dāng)出射光瞳為直徑為D的圓時(shí)，相干傳遞函數(shù)其截止頻率為上式中D/di為光圈F數(shù)（即相對(duì)孔徑D/f）的倒數(shù)?？梢姶笙鄬?duì)孔徑的鏡頭截止頻率高，也就是鏡頭分辨物體的細(xì)節(jié)能力強(qiáng)。這也是為什么高級(jí)的專業(yè)相機(jī)的鏡頭相對(duì)孔徑都比較大的原因。所以我們?cè)跀z影的時(shí)候，如果追求被攝物體（如人物攝影）清晰，就

12、應(yīng)使用大光圈（為了保證曝光量，則相應(yīng)提高快門速度）。當(dāng)然如果進(jìn)行的是風(fēng)光攝影，為了追求景深，則應(yīng)該使用小光圈（相機(jī)的光圈與景深成反比）。因?yàn)楣鈱W(xué)系統(tǒng)的光曈多數(shù)情況為圓，所以上式很有用。§6-4 非相干照明下的物像關(guān)系，光學(xué)傳遞函數(shù)上一節(jié)我們看到了相干傳遞函數(shù)與光瞳函數(shù)之間有非常直接而簡(jiǎn)單的關(guān)系。當(dāng)用非相干光照明時(shí)，我們將會(huì)看到，這時(shí)的傳遞函數(shù)仍由光瞳函數(shù)決定，但二者之間的關(guān)系較為間接而且復(fù)雜一些。非相干照明在成象系統(tǒng)中用的比較多。這一節(jié)將在相干傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上，首先找出非相干成象系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，然后分析光學(xué)傳遞函數(shù)的特點(diǎn)。一、 非相干成象系統(tǒng)的線性性質(zhì)非相

13、干成象系統(tǒng)與相干成象系統(tǒng)不同，可以證明，它是光強(qiáng)度的線性系統(tǒng)，而不是復(fù)振幅的線性系統(tǒng)。因此在象面上的光分布是光強(qiáng)度的疊加。物面上復(fù)振幅為的一點(diǎn)的光振動(dòng)，通過衍射受限系統(tǒng)后，其在象面上象點(diǎn)的復(fù)振幅為因此其在象點(diǎn)的光強(qiáng)度為所以在象面點(diǎn)的光強(qiáng)度為如果令則我們?cè)谇懊嫜芯肯喔晒庹彰鞯那闆r曾定義，同樣我們可以定義，所以由此可見，象的光強(qiáng)分布是物的光強(qiáng)分布（理想象）與強(qiáng)度脈沖響應(yīng)的卷積，而且非相干光系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是相干光脈沖響應(yīng)的模的平方。由于是光瞳函數(shù)的傅立葉變換，所以和光瞳函數(shù)也有確定的關(guān)系，后面我們將給出這種關(guān)系。二、 光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF Optical Transfer Function）在非相干

14、光照明條件下，衍射受限系統(tǒng)對(duì)于光強(qiáng)度是線性空不變系統(tǒng)，所以在頻率域中來描寫物象的強(qiáng)度關(guān)系將更加方便。我們令對(duì)取傅立葉變換（略去常數(shù)因子），得因?yàn)槎际菑?qiáng)度分布，即，其傅立葉變換中必含零頻分量（或者說是直流分量），并且其幅值大于任何非零頻幅值，即；因?yàn)闆Q定像的清晰與否，在于帶有信息的那部分能量相對(duì)于零頻能量分量的比值的大小，也就是調(diào)制度或反差度的大小。從觀察的效果上看，調(diào)制度或反差度越大，圖象越清晰。光學(xué)成象系統(tǒng)的成象質(zhì)量由其是否如實(shí)地反映物體本身各空間頻率的對(duì)比度來決定，所以考慮一個(gè)規(guī)范化，或者叫歸一化的頻譜函數(shù)可以更確切地表明所研究的圖象的特征。為此我們用零頻值對(duì)頻譜函數(shù)作歸一化處理，得到歸一

15、化頻譜函數(shù)分別如下：根據(jù)，則，所以我們稱為非相干光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，簡(jiǎn)稱光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF Optical Transfer Function）。因?yàn)槭且粋€(gè)復(fù)函數(shù)，可以表示為它的振幅和位相部分分別稱調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF Modulation Transfer Function）和位相傳遞函數(shù)（PTF Phase Transfer Function）。其意義將在下節(jié)說明。三、光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞函數(shù)的關(guān)系我們已知而所以式中是相關(guān)運(yùn)算符號(hào)，上式表明光學(xué)傳遞函數(shù)OTF是相干傳遞函數(shù)（CTF）的自相關(guān)，這個(gè)結(jié)論不僅適用于衍射受限系統(tǒng)，對(duì)非衍射受限系統(tǒng)也是成立的，所以此結(jié)論具有一般性。將相干傳遞函數(shù)

16、代入上式，我們得到光學(xué)傳遞函數(shù)與光曈函數(shù)之間的關(guān)系為如果令，則顯然，即零頻的OTF=1，這是歸一化的結(jié)果，說明物體的零頻成分通過系統(tǒng)后保持不變。另外，若令，則說明光學(xué)傳遞函數(shù)具有厄米性。當(dāng)然我們還可以用Schwarz不等式證明，即光學(xué)傳遞函數(shù)具有遞減性，有興趣的同學(xué)可以自己證明。對(duì)衍射受限系統(tǒng)，取簡(jiǎn)單值，即，所以而對(duì)于，因?yàn)橹挥性诤偷慕化B區(qū)域才不為0，所以所以光學(xué)傳遞函數(shù)這樣，要計(jì)算一個(gè)衍射受限系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF），就變成了對(duì)于光瞳的幾何圖形的面積運(yùn)算。對(duì)于簡(jiǎn)單的光瞳幾何形狀，可求出重疊面積的完整表達(dá)式；對(duì)于形狀很復(fù)雜的光曈，可用計(jì)算機(jī)算出在一系列分離頻率上的值。衍射受限系統(tǒng)光學(xué)傳遞函

17、數(shù)OTF的例子例一、 衍射受限系統(tǒng)的光曈函數(shù)是邊長(zhǎng)為l的正方形，求其OTF。解：光曈總面積重疊面積：將在方向上分別移動(dòng)(1) 當(dāng)，時(shí)，顯然重疊面積(2) 當(dāng)，時(shí)，重疊面積所以我們知道光曈為邊長(zhǎng)為l的正方形時(shí)，相干傳遞函數(shù)在fx和fy方向上的截止頻率都是，所以用三角函數(shù)表示相干傳遞函數(shù)則為根據(jù)三角函數(shù)的定義式，得到在fx和fy方向的截止頻率為。在其他方向上，的截止頻率不同。在截止頻率以內(nèi)，隨空間頻率增大而減?。ㄒ娤聢D），而相干傳函數(shù)是常數(shù)1。例二、衍射受限系統(tǒng)的出射光曈是直徑為l的圓，求光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）。解：光曈為圓形，則圓對(duì)稱，故計(jì)算出即可得到隨的變化。(1)光曈總面積：(2)交疊面積：

18、其中當(dāng)時(shí)，交疊面積為0，所以x方向截止頻率為。而在截止頻率以內(nèi)，在x方向光學(xué)傳遞函數(shù)為在極坐標(biāo)中：其中空間頻率，我們知道，相干傳遞函數(shù)的截止頻率，而光學(xué)傳遞函數(shù)的截止頻率為，可見光學(xué)傳遞函數(shù)的截止頻率皆為相干傳遞函數(shù)的兩倍。但是光學(xué)傳遞函數(shù)的截止頻率是隨空間頻率的升高而逐漸下降的，而相干系統(tǒng)在截止頻率之內(nèi)卻有相同的傳遞函數(shù)（下圖表示兩者的比較）。實(shí)際上兩種截止頻率是對(duì)兩種不同的情況而言的，相干截止頻率是針對(duì)復(fù)振幅而言的，而非相干的截止頻率是針對(duì)光強(qiáng)而言的。因此不能說同樣的系統(tǒng)非相干照明比相干照明成像效果好。那種照明情況成象好，還與物的狀況、使用目的等有關(guān)，需要具體問題具體分析。§6-

19、5 光學(xué)傳遞函數(shù)的物理意義我們?cè)谏瞎?jié)曾定義了理想象點(diǎn)光強(qiáng)分布、象點(diǎn)光強(qiáng)分布和強(qiáng)度脈沖響應(yīng)的歸一化頻譜函數(shù)、和，并且有，。如果將、和都寫成復(fù)指數(shù)形式，則有而，則所以光學(xué)傳遞函數(shù)是描寫非相干照明下系統(tǒng)成像特性的，與輸入物函數(shù)的具體形式無關(guān)。我們假設(shè)輸入的物函數(shù)是空間頻率為的余弦函數(shù)，用下列表達(dá)式表示其相應(yīng)的頻譜函數(shù)則為而所以根據(jù)的定義，所以又因?yàn)楣馔娣e=C，則所以因?yàn)镃為常數(shù)，對(duì)像強(qiáng)度分布無影響，在求時(shí)，即對(duì)求傅立葉逆變換時(shí)，可以將C略去。我們根據(jù)，和可以得到比較和兩式可以看出，余弦物通過衍射受限系統(tǒng)后，仍為同頻率的余弦函數(shù)，但振幅變小了（因?yàn)椋幌嘁舶l(fā)生了改變。幅度和位象的變化決定于在該頻率

20、處的取值。需要指出的是，對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，相干傳遞函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)都為正實(shí)函數(shù)，即在傳遞函數(shù)表達(dá)式中，這意味著衍射受限系統(tǒng)在成象時(shí)只改變空間頻率成分的幅度，而不產(chǎn)生位相改變。但在后面將要討論的有象差的成象系統(tǒng)中，一般同時(shí)表現(xiàn)為幅度和位相的同時(shí)改變。為了說明的意義，我們分別求出上述物和象的調(diào)制度（即可見度）。物的調(diào)制度（可見度）像的調(diào)制度（可見度）所以這個(gè)式子就是說，表示空間頻率為的余弦物通過系統(tǒng)后調(diào)制度的比值，所以也叫調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）。調(diào)制傳遞函數(shù)是空間頻率的函數(shù)，它描述系統(tǒng)對(duì)物的對(duì)比度的傳遞能力。根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的厄米性可證明，MTF為偶函數(shù)，即。對(duì)于，其意義很清楚，的輻角表示頻率為

21、的余弦像分布相對(duì)于物（理想像）的橫向位移量。所以也把叫做位相傳遞函數(shù)(PTF)。位相傳遞函數(shù)同樣也是空間頻率的函數(shù)，表示物和像之間的位相差，它體現(xiàn)了像強(qiáng)度分布的位置相對(duì)與其對(duì)應(yīng)的物強(qiáng)度分布即理想像移動(dòng)了多少。同樣根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的厄米性可證明，PTF為奇函數(shù)，即。§6-6 象差及其對(duì)傳遞函數(shù)的影響以上討論的都是衍射受限系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，因?yàn)檫@樣的系統(tǒng)屬線性空間不變系統(tǒng)，所以存在傳遞函數(shù)。在相干照明的情況下，得到相干傳遞函數(shù)；在非相干照明的情況下，得到光學(xué)傳遞函數(shù)。但是實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)都存在象差。所謂象差即是出瞳上的波前對(duì)理想球面的偏差。球差、慧差和象散使得成象不清晰，場(chǎng)曲、畸變改變象的位置

22、和形狀。所以有象差的光學(xué)系統(tǒng)一般不屬于空不變系統(tǒng)，所以不能定義傳遞函數(shù)。但是作為一種近似，我們?nèi)钥梢栽谠瓉硌苌涫芟尴到y(tǒng)的傳遞函數(shù)的理論框架下對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行討論，對(duì)原來的傳遞函數(shù)進(jìn)行修正。1、象差的影響、廣義光瞳函數(shù)當(dāng)成象系統(tǒng)是衍射受限系統(tǒng)時(shí)，點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是出瞳函數(shù)的夫瑯和費(fèi)衍射，其中心在理想象點(diǎn)上。而當(dāng)系統(tǒng)存在象差時(shí)，出瞳上的波面不再是球面。因?yàn)閭鬟f函數(shù)與光瞳函數(shù)有直接關(guān)系，所以如果能把由于象差的存在所產(chǎn)生的影響換算成相應(yīng)的光瞳函數(shù)的改變，則有象差存在時(shí)的傳遞函數(shù)也就自然可以得出。這個(gè)問題的具體考慮方法是這樣的：假定S0面是以理想象點(diǎn)A為中心，通過光瞳中心的球面（稱為參考球面）；而S面是由于象差

23、的存在而偏離了球面的實(shí)際波面。這個(gè)實(shí)際波面的形成可以看成是由于在光瞳處放置了一塊透明移相板P（其移相函數(shù)，或者說光學(xué)厚度分布函數(shù)為W(x，y)）對(duì)理想球面波的改變。這時(shí)出瞳面上的透過率函數(shù)（即光瞳函數(shù)）則為式中P(x, y)為原來意義的光瞳函數(shù)，稱為廣義光瞳函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)函數(shù)。W(x，y)稱為波象差。這樣一個(gè)有象差的的相干光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，就是一個(gè)具有廣義光瞳函數(shù)孔徑產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。2、有像差時(shí)的相干傳遞函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)在相干系統(tǒng)中，象差對(duì)傳遞函數(shù)的影響是很簡(jiǎn)單的。因?yàn)闊o像差時(shí)相干傳遞函數(shù)正比于光瞳函數(shù)，當(dāng)存在象差時(shí)，相干傳遞函數(shù)則正比于廣義光瞳函數(shù)。所以顯然，象差的出現(xiàn)并不改變

24、相干系統(tǒng)的截止頻率，截止頻率仍由孔徑大小所限制。象差的效應(yīng)表現(xiàn)在通頻帶內(nèi)引入了位相畸變。由于各空間頻率之間位相關(guān)系的改變，會(huì)對(duì)象質(zhì)產(chǎn)生嚴(yán)重影響，系統(tǒng)甚至?xí)霈F(xiàn)“顛倒黑白”的情況。在求出象差對(duì)相干傳遞函數(shù)的影響后，根據(jù)無像差時(shí)，光學(xué)傳遞函數(shù)有像差時(shí)，光瞳函數(shù)用廣義光瞳函數(shù)代替，則有顯然分母=光曈總面積而分子因?yàn)椋谂c的交疊區(qū)域外被積函數(shù)為0，所以將上式寫成對(duì)稱形式上式把光學(xué)傳遞函數(shù)與含有波象差W(x，y)的積分聯(lián)系起來。由于W(x，y)是可以用幾何光學(xué)方法精確地算出的，因此我們得到了一個(gè)計(jì)算學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)的實(shí)用公式。一般來說是復(fù)函數(shù)，所以可以將光學(xué)傳遞函數(shù)寫為。下面以離焦系統(tǒng)為例看看象差對(duì)

25、OTF的影響。3、離焦成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)離焦實(shí)際上不是像差，而是由調(diào)焦不準(zhǔn)確引起的。我們現(xiàn)在來計(jì)算圓形出瞳（出瞳半徑為a）光學(xué)系統(tǒng)離焦時(shí)的OTF。令（即對(duì)出瞳坐標(biāo)進(jìn)行歸一化），并利用相干系統(tǒng)的截止頻率，當(dāng)象方孔徑角u不大時(shí)，則其中q(a)是與a有關(guān)的常數(shù)，是截止頻率。根據(jù)上圖的幾何關(guān)系，假設(shè)離焦量為，則所以從而這就是離焦時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)計(jì)算公式。對(duì)圓形光瞳，其傳遞函數(shù)為令，得到在極坐標(biāo)下的傳遞函數(shù)其不同的值的傳遞函數(shù)曲線見下圖。其中紅實(shí)線是無離焦時(shí)的傳遞函數(shù)。當(dāng)離焦量很大時(shí)，傳遞函數(shù)在頻率增大時(shí)分段出現(xiàn)反相的情況。在實(shí)驗(yàn)中如果用“輻條”物，則在離焦面就會(huì)看到在某些頻率處出現(xiàn)“黑白反轉(zhuǎn)”。 當(dāng)系

26、統(tǒng)存在其它像差時(shí)，利用解析法來求傳遞函數(shù)困難更大，通常用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而實(shí)際鏡頭的光學(xué)傳遞函數(shù)是用專門儀器來測(cè)量的。§6-7 光學(xué)成像系統(tǒng)的像質(zhì)評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法有兩類：在幾何光學(xué)中借助像差曲線，考察空域中點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF, Point Spread Function）的彌散；在信息光學(xué)中則通過光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)，在空間頻率域中考察系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。OTF是系統(tǒng)像質(zhì)的綜合指標(biāo)，目前正逐步取代像差指標(biāo)而成為評(píng)價(jià)系統(tǒng)質(zhì)量的主要手段。但是OTF與零件幾何參數(shù)（如透鏡的曲率半徑、厚度、玻璃的折射率）沒有直接關(guān)系，像差曲線則與零件參數(shù)有比較直接的關(guān)系。因此光學(xué)工程師常常

27、把像差指標(biāo)作為光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中的參考指標(biāo)，而把OTF作為最后評(píng)價(jià)系統(tǒng)質(zhì)量的綜合指標(biāo)。實(shí)際上由于PSF和OTF間的關(guān)系是傅立葉變換，因此兩者的信息含量是相同的。光學(xué)儀器的作用是傳遞信息，成像光學(xué)儀器的作用則是傳遞圖像信息，在傳遞的過程中信息的損失越小，像和物的信息含量成分越接近，我們就說像的質(zhì)量越高。一張有光學(xué)系統(tǒng)所傳遞的畫面，應(yīng)具備分辨率高、層次豐富（灰度級(jí)次多）、反差適中、雜光水平低、畸變小、彩色還原正確、畫面上中心和邊緣的亮度均勻一致等條件。評(píng)價(jià)成像質(zhì)量牽涉到光學(xué)信道的各個(gè)環(huán)節(jié)的特性：光源的光譜特性、相干性、亮度；成像鏡頭的空頻傳遞性能、雜光水平、透過率特性、空間帶寬積；接受器的頻響特性

28、（包括對(duì)時(shí)間頻率和空間頻率的響應(yīng)）、動(dòng)態(tài)范圍、分辨率等。此外還和輸入信號(hào)（圖像）的特性有關(guān)。因此像質(zhì)評(píng)價(jià)是一種綜合評(píng)價(jià)。我們不打算全面討論像質(zhì)評(píng)價(jià)問題，我們僅就成像鏡頭的質(zhì)量指標(biāo)做一些討論。一、 光學(xué)傳遞函數(shù)與特征頻率光學(xué)傳遞函數(shù)表示從疏到密變化的各種空間頻率的余弦光柵經(jīng)過成像系統(tǒng)后調(diào)制度或反差度（即交變分量振幅與平均直流分量幅度的比值）的變化。一個(gè)高質(zhì)量的鏡頭。它的OTF從低頻到高頻都比較高。一般來說，零頻與低頻成分與圖像的輪廓、布局以及層次感關(guān)系密切，可以說是圖像的“骨架”，高頻成分則決定了圖像中急劇變化的“細(xì)節(jié)”。一幅清晰的圖像，不僅要求有足夠的分辨率，還要求豐富的層次感。一般來說，OT

29、F值越高，鏡頭的成像質(zhì)量越好，但這并不是絕對(duì)的。例如，人物的特寫鏡頭要求很好的層次感，但局部的分辨率不宜過高，過高則面部的瑕疵和皺紋就被顯現(xiàn)出來。攝影師通常把調(diào)制度或反差度稱為“調(diào)子”，稱高反差的照片調(diào)子為“硬”，中低反差的照片調(diào)子為“軟”。顯然人像鏡頭的調(diào)子要適中，不能過硬。但景物、標(biāo)本的照片調(diào)子要適當(dāng)硬一些。下圖給出了兩條OTF曲線，曲線I的高頻響應(yīng)比II的要好，其截止頻率f0I>f0II，鏡頭I的分辨率也比II的高。但是分辨率僅是一個(gè)指標(biāo)，僅用截止頻率來評(píng)價(jià)鏡頭的質(zhì)量是不夠的。鏡頭II的中低頻響應(yīng)特性都優(yōu)于I，總的來看，鏡頭II的清晰度比鏡頭I的高。為了反映不同的使用要求，通常選取

30、OTF曲線在一個(gè)或幾個(gè)特征頻率下的值作為鏡頭評(píng)價(jià)或?qū)Ρ鹊闹笜?biāo)，例如要求高分辨率的鏡頭，可以選一個(gè)高頻下的OTF值作為指標(biāo)。有時(shí)還按下面的原則來選擇特征頻率：1 理論分析和實(shí)驗(yàn)都表明，接近于截止頻率一半處的OTF值，對(duì)于成像質(zhì)量比較敏感，當(dāng)像質(zhì)有所不同時(shí)，該頻率的OTF值變化最快，因此常常選擇它為特征頻率。2 對(duì)于一類特定的產(chǎn)品，往往做大量的實(shí)驗(yàn)，確定特征頻率，該特征頻率與產(chǎn)品鏡頭的某一個(gè)或幾個(gè)性能指標(biāo)有較好的相關(guān)性。3 用特征頻率下的OTF值代替OTF曲線作為像質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)，在處理上比較方便，因?yàn)樗菃沃抵笜?biāo)，容易互相比對(duì)；此外，測(cè)定單個(gè)頻率下的OTF值的裝置也比完整的光學(xué)傳遞函數(shù)儀容易制造。二

31、、 中心點(diǎn)亮度和等效帶寬K.Strehl在1984年提出了一個(gè)像質(zhì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即有像差時(shí)的點(diǎn)像的最大亮度與衍射受限系統(tǒng)點(diǎn)像最大亮度之比，稱為“中心亮度”，簡(jiǎn)記為S.D。設(shè)衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)像最大亮度為S0，則像差光學(xué)系統(tǒng)的中心亮度上式表明中心亮度S.D等于OTF的積分。在一維情況下，上式變?yōu)锽eq又稱為有效帶寬。它的物理意義是：設(shè)位相傳遞函數(shù)PTF=0，則Beq相當(dāng)于下圖中矩形的寬，該矩形的面積與MTF即曲線下的面積相等。顯然光學(xué)系統(tǒng)傳遞空間頻率信息的性能越好，曲線下的面積就越大，Beq也就越大。Beq對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)的視場(chǎng)的積分稱為系統(tǒng)的信道容量。三、 銳度和能量集中度A. Richard在1974

32、年提出了銳度(Sharpness)的概念，定義為點(diǎn)像光強(qiáng)分布平方的積分：假定點(diǎn)光源的能量全部傳遞到像面，則以總能量為單位的歸一化點(diǎn)像強(qiáng)度積分為1，即但光強(qiáng)的分布隨著像質(zhì)的不同而不同。一般說來，能量越集中，光強(qiáng)的變化梯度越大，從總體來看點(diǎn)像越尖銳?？梢宰鳛辄c(diǎn)像銳度或能量集中度的度量。由Parserval定理，得S2有時(shí)又用E表示。由此可見，銳度和能量集中度是同一個(gè)概念，其數(shù)值等于光學(xué)傳遞函數(shù)平方的積分。在一維情形下上式化為式中l(wèi)(x)為線擴(kuò)散函數(shù)。四、 清晰度點(diǎn)像的強(qiáng)度分布曲線越陡，梯度越大，系統(tǒng)對(duì)于一般目標(biāo)物體所成像的邊緣越清晰，可見清晰度是和有關(guān)的，因此定義清晰度(acutance)acut

33、ance也常譯作銳度，可見清晰度和銳度這兩個(gè)概念可以混用。利用Parserval定理，容易證明五、 高對(duì)比直邊的彌散和等效帶寬光學(xué)系統(tǒng)所觀察的目標(biāo)，常常是由不同亮度或不同色澤的區(qū)域構(gòu)成。設(shè)用工具顯微鏡對(duì)目標(biāo)物進(jìn)行長(zhǎng)度測(cè)量，必須先用目鏡中的分劃線對(duì)準(zhǔn)物體邊緣（即不同區(qū)域的邊界）通過物鏡形成的像，然后讀數(shù)。因?yàn)檠苌湫?yīng)和像差，邊緣的像是有彌散的。顯然彌散范圍是引起測(cè)量誤差的直接原因，為此我們先定義。一個(gè)與y軸重合的高對(duì)比直邊的幾何像，可以用step(x)函數(shù)表示。在非相干照明的情況下，像平面上的實(shí)際光強(qiáng)分布則為式中l(wèi)(x)為線擴(kuò)散函數(shù)，由于沿y方向沒有光強(qiáng)的變化，以下用表示光強(qiáng)變化。卷積的結(jié)果使直

34、邊像平滑（見上圖），這就是直邊像的彌散效應(yīng)，它造成對(duì)準(zhǔn)誤差。通常是以在幾何陰影處（即圖中x=0處）斜率的倒數(shù)作為邊緣像彌散范圍的度量，可稱為“等效線寬”，由線擴(kuò)散函數(shù)l(x)與一維光學(xué)傳遞函數(shù)的關(guān)系得到Beq就是前面提到的等效帶寬。所以上式表明直邊像的彌散程度與光學(xué)系統(tǒng)的帶寬之間有深刻的約束關(guān)系：Beq越大，系統(tǒng)對(duì)空間頻率信息的響應(yīng)特性越好，像的信息量就越接近物的信息量，從而邊緣的彌散就越小。由于光波在光學(xué)系統(tǒng)有限大小的光瞳上的衍射效應(yīng)，光學(xué)系統(tǒng)的通頻帶總是有限的，因此直邊像的加寬效應(yīng)不可避免，而系統(tǒng)的像差一般來講又使這一效應(yīng)更為嚴(yán)重，進(jìn)一步加大了彌散，降低了測(cè)量精度。類比于量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)

35、原理，我們可以把稱為光學(xué)系統(tǒng)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。很明顯，Beq或可以作為小像差光學(xué)系統(tǒng)的像質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)。六、 光學(xué)傳遞函數(shù)的測(cè)量以上各種像質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)，都是以O(shè)TF為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，經(jīng)進(jìn)一步計(jì)算得到的。OTF是對(duì)像質(zhì)的定量評(píng)價(jià)，具有客觀、準(zhǔn)確的特點(diǎn)。目前已有各種類型的OTF測(cè)量?jī)x器在鏡頭的設(shè)計(jì)、生產(chǎn)和檢測(cè)部門使用，測(cè)量波段從可見光到紅外光。光學(xué)系統(tǒng)作為一個(gè)線性系統(tǒng)，被它的脈沖響應(yīng)完全確定。因此在OTF儀中，常常用點(diǎn)源作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)（OTF也常用狹縫、刀口、或變頻光柵作為輸入信號(hào)），只要測(cè)出系統(tǒng)對(duì)它的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)），就可以通過傅立葉變換得到OTF。OTF用一套復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)來精密地測(cè)量點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，

36、并用計(jì)算機(jī)算出OTF及其它相關(guān)的指標(biāo)。下面以顯微物鏡為例，來說明OTF的測(cè)量原理和方法。下圖為顯微物鏡的OTF儀。星點(diǎn)板Ps（即小孔光闌，其孔徑在0.5m以下）被非相干光源S（通常是碘鎢燈）通過聚光鏡Lc照亮，被測(cè)物鏡Lt把星點(diǎn)的像成在狹縫Ns上，Ns以勻速掃描，它的輸出用掃描函數(shù)C()表示，即狹縫位于處通過狹縫進(jìn)入探測(cè)器Dt的光能量。Dt將C()轉(zhuǎn)換成電信號(hào)。一套精密機(jī)械系統(tǒng)完成鏡頭Lt的對(duì)焦、視場(chǎng)轉(zhuǎn)換及狹縫Ns的勻速掃描等動(dòng)作。目鏡E用于監(jiān)視目標(biāo)（星點(diǎn)）的對(duì)準(zhǔn)和視場(chǎng)選擇；復(fù)合濾光片F(xiàn)用于校正系統(tǒng)的光譜特性。例如對(duì)于目視系統(tǒng)，校正后的光譜曲線大體與人眼的視見函數(shù)一致。由Dt輸出的模擬信號(hào)，通過預(yù)處理后，經(jīng)抽樣、平滑濾波（濾掉高頻噪聲）后通過A/D轉(zhuǎn)換成為數(shù)字信號(hào)，送入計(jì)算機(jī)進(jìn)行快速傅立葉變換得到OTF的抽樣值，進(jìn)一步的計(jì)算便可獲得上面的Beq、銳度、清晰度等像質(zhì)指標(biāo)。下面介紹具體的計(jì)算公式。設(shè)星點(diǎn)是一個(gè)被均勻照明的無限薄透光圓孔，其理想像為式中為星孔理想像的半徑。實(shí)際光強(qiáng)分布設(shè)用一條寬2的無限長(zhǎng)狹縫（因點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的彌散范圍不大，故可以近似認(rèn)為所用狹縫為無限長(zhǎng)）對(duì)進(jìn)行掃描，狹縫平行于y軸，定義狹縫函數(shù)式中為狹縫的中心坐標(biāo)。掃描函數(shù)為通過狹縫的光能量，故有所以式中A0為常數(shù)。上式表明掃描函數(shù)C()的傅立葉變換和OTF成正比，式中后兩個(gè)因子是有限直徑的星孔和有限