級數(shù)求和常用方法

1、濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）級數(shù)求和的常用方法摘要級數(shù)理論及應用無論對數(shù)學學科本身還是在其他科學技術及理論的發(fā)展中都有極為重要的影響和作用，而級數(shù)求和是級數(shù)理論及應用的 主要內(nèi)容之一.由于級數(shù)求和的方法比較多，技巧性很強，一般很難掌 握其規(guī)律，是學習的一個難點，因此掌握一些常用的級數(shù)求和方法就顯 得尤為重要.通過例題，分別針對常用的數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)求和進 行分析和討論，試圖通過對例題的分析和解決，展示級數(shù)求和的常用方 法和思想，進而探索級數(shù)求和的規(guī)律，理解級數(shù)理論即合理應用，打下 良好的基礎，為學習者起到拋磚引玉的方法.關鍵詞：數(shù)項級數(shù)；函數(shù)項級數(shù)；求和；常用方法I濱州學院本科畢業(yè)設計（論

2、文）Summation of series method in common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and fun cti on on the developme nt of scie nee and tech no logy and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory

3、and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summati on of series in com mon use method in hand therefore appeari ng especially importa nt r

4、ight away. Carry out an alysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and fun cti on item summati on of series in com mon use, try to pass the an alysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in com mon use , pr

5、obe and the n the summati on of series law , un dersta nd that progressi on theory is that reas on able ness applies , lays dow n fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to in duce some one to come forward with his valuable con tributi ons.Key words: Count progress

6、i on; fun cti on series; Sue for peace; Method in com mon use#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）引言 錯誤！未定義書簽。第一章級數(shù)簡介 11.1級數(shù)理論前史11.2級數(shù)的定義3第二章數(shù)項級數(shù)的求和方法2.1根據(jù)定義求級數(shù)的和2.2利用已知級數(shù)直接求和法2.3連鎖消去法2.4方程式法錯誤！未定義書簽。2.5利用子序列法2.6根據(jù)幕級數(shù)理論求級數(shù)的和（利用Abel第二定理）2.7利用Fourier級數(shù)理論求級數(shù)的和112.8利用復數(shù)的Euler公式和De Moiver公式.132.9利用Euler常數(shù)法13濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）濱州學院

7、本科畢業(yè)設計（論文）14143.1.1逐項微分，求和后再積分143.1.2逐項積分，求和后再微分153.2微分方程式法163.3復數(shù)項幕級數(shù)求和法（主要計算三角函數(shù)項級數(shù)的和）18結論錯誤！未定義書簽參考文獻20錯誤！未定義書簽第三章函數(shù)項級數(shù)求和3.1微積分法濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）第一章級數(shù)簡介1.1 級數(shù)發(fā)展簡介數(shù)學史上級數(shù)出現(xiàn)的很早，在兩千多年前人們就有了粗糙的級數(shù)思想古希臘時 期，亞里士多德（Aristotle ，公元前384 公元前322）就知道公比小于1（大于零） 的幾何級數(shù)可以求出和數(shù).芝諾（Zeno，公元前490 約公元前425）的二分法涉及到1111把1分解成無窮級數(shù)-

8、 2-T-r .阿基米德（Archimedes，公元前287 一公2 2 2 2元前212）在拋物線圖形求積法一書中，使用幾何級數(shù)去求拋物線弓形面積，并1114且得出了級數(shù)1 - '二-的和.中國古代莊子天下中的“一尺之棰，4 42 433日取其半，萬世不竭”含有極限的思想，用數(shù)學形式表達出來也是無窮級數(shù).到了中世紀，由于數(shù)學家和哲學家對一些涉及到無窮思想的悖論展開了激烈的爭論，使得關于無窮級數(shù)的研究開展起來.最具代表的是法國數(shù)學家奧雷姆（NicolasOren se，1323 一 1352）用最初等的方法證明了調(diào)和級數(shù)11111亠 亠-.2345k的和為無窮，用現(xiàn)在的形式可表示為11

9、 11111123 45 6 7 8十+Wmb,2 丿 144 丿 18888 丿2 2 2中世紀的級數(shù)理論，從本質(zhì)上看沒有突破性進展，它的主要貢獻并不在于所得 到的具體結果，而是在于促使人們接受一種新的觀點，即在數(shù)學中可以自由的承認 無限過程.這對后來理解無窮過程做了鋪墊，為形式化處理級數(shù)奠定了思想基礎.早期數(shù)學家僅憑直覺就認為級數(shù)是可以收斂的，并將級數(shù)從有限項自然的拓展 為無限項使用，這導致了有限法則無限拓展的產(chǎn)生 .17世紀，伴隨著微積分的產(chǎn)生, 許多數(shù)學家通過微積分的基本運算與級數(shù)運算的形式化結合，得到了一些初等函數(shù) 的幕級數(shù)展開式，并且級數(shù)在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的

10、有力工具，這就使得無窮級數(shù)成為微積分不可缺少的部分1669年，牛頓(Isaac Newton ,1643 1727)在他的(用無限多項方程的分析 學中，用級數(shù)反演法給出了 sinx，cosx的幕級數(shù)，arcsinx，arctanx和ex的級數(shù)展開.格雷戈里(James Gregory， 1638 一 1675)得到了 tanx，secx等函數(shù)的級數(shù)， 萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 一 1716)也在 1673 年獨立地得到了 sinx， cosx和arctanx等函數(shù)的無窮級數(shù)展開式，以及圓面積和雙曲線面積的具 體展開式.在微積分的早期研究中，有些函數(shù)

11、如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相 當困難，然而人們發(fā)現(xiàn)，若用它們的級數(shù)來處理，則非.因此，無窮級數(shù)從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個重要部分.有時使用無窮級數(shù)是 為了計算一些特殊的量，如二和.以及求隱函數(shù)的顯式解.17世紀后期和18世紀，為 了適 們面前的問題之一是函數(shù)表的插值.由于對函數(shù)表的精確度要求較高，數(shù)學家們開始尋求較好的插值方法，牛頓和格雷戈里給出了著名的內(nèi)插公式<cfa h = fai 亠一 ifai 亠 c2f a1715年泰勒(Brook Taylor，1685 一 1731)發(fā)表了增量方法及其逆(Methods In creme nt rum Direct et

12、 In verse) ，奠定了有限差分法的基礎.17世紀，牛頓、 萊布尼茨等人曾研究過有限差分問題，泰勒的工作則使有限差分法從局限的方法(如 二項式定理、有理函數(shù)的長除法、待定系數(shù)法等等)過渡到了一般的方法.這本書中他給出了單變量幕級數(shù)展開的著名公式，即泰勒級數(shù)fa h 二 fai 亠 f'ah f"a 一 f''' a 2!3!泰勒是第一個發(fā)表此級數(shù)的人，但他不是第一個發(fā)現(xiàn)此級數(shù)的數(shù)學家.在他之前 格雷戈里、牛頓、萊布尼茨、約翰伯努利(John Bernoulli ，1667 一 1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre，1667.175

13、4)等數(shù)學家都研究過此級數(shù).1717 年泰勒運用 這個級數(shù)求解方程，取得了很好的結果，但是他的證明是不嚴格的而且沒有考慮 收斂問題，在當時影響并不太大.直到1755年，歐拉在微分學中將泰勒級數(shù)推廣應用到多元函數(shù)，增大了泰勒級數(shù)的影響力，隨后拉格朗日用帶余項的泰勒級數(shù)作為 函數(shù)論的基礎，才正式確立了泰勒級數(shù)的重要性.后來麥克勞林（Maclanrin colin ，1698 1746）重新得到泰勒公式在a=0時的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這 一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”詹姆斯伯努利（James Bernoulli ，1654 一 1705）與約翰伯努利在級數(shù)方面 做了大量的工作.

14、詹姆斯伯努利在1689 一 1704年間撰寫了 5篇關于無窮級數(shù)的 論文，成為當時這一領域的權威，這些論文的主題是關于函數(shù)的級數(shù)表示及其求函 數(shù)的微分與積分，求曲線下面積和曲線長等方面的應用，所有這些級數(shù)的應用是對 微積分的重大貢獻.1.2 級數(shù)的概念定義1.2.1 給定一個數(shù)列uj,對它的各項依次用“ +”號連接起來的表達式U1 U2（ 1）稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（也常簡稱級數(shù)），其中Un稱為數(shù)項級數(shù)的通項.數(shù)項級數(shù)（1）也常寫作& Un或簡單寫作'Un .n 4定義1.2.2設Ln x ?是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列，表達式u1 x u2 x i亠亠 un x ,x E稱為

15、定義在E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為7 un X或X un x .n=13濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）第二章 數(shù)項級數(shù)的求和方法級數(shù)求和的問題，一般來說，是一個困難問題，沒有一勞永逸的方法.因為部分和SUn(X)隨門增大時，數(shù)項越來越多，除非能化為已知級數(shù)，人們" 芯"I k二 丿只能設法把s寫成緊縮式，才便于求極限.級數(shù)求和的常用方法一般直接用定義法、拆項法、公式及四則運算法、利用幕級數(shù)法、傅里葉級數(shù)理論和阿貝爾求和法等方法.下面對級數(shù)求和的方法舉例進行說明.2.1 根據(jù)定義求級數(shù)的和利用定義求級數(shù)的和就是求級數(shù)部分和數(shù)列的極限由于當n：:時，部分和Sn =5 +U2 +十Un

16、的項數(shù)無限增多，因此為了求 Sn的極限，必須設法把Sn加以簡 化直至解出極限但是如何加以簡化Sn并沒有一般的方法，下面我們通過例題加以 介紹Q0qQ例 2.1.1 設 nand n_. , n a. -a.，求級數(shù)a.的和n AnTqQqQ分析 要尋求J an之和，只要將其部分和Tn用已知級數(shù)n an - an部分和與n £n £已知數(shù)列an;表示出來.n解 因 sn = ' k ak -ak4 = - a。 a a.4 na.， k=1oOoO于是二 ak = " ak - a0 二 d - s - a0.k =1k =0例 2.1.2 計算 qcosa

17、 +q2cos2a + +qn cosna+(q 蘭1解 記 s = qcosa + q2 cos2a + +qn cosnan=' q coska.k 4兩邊同時乘以2qcosa，得nk2q cos a Sn 八 2q cos a coskak呂n八 qk sn1 q2 -2qcosa2qcosaqz七丄仃2(當nr 時). q -2qcosa bos k 1 a cos k -1 a 1,k 4即 2qcosa=(qkcos(n +1 a + $ qcosa ”(q2.2 利用公式的四則運算求級數(shù)的和 + q2 $ qnd2 cosna),借此方程便得n 2n 12例 2.2.1計

18、算2*寺一2宀由于Sn#爭令2行2n而 2$ =221.占23242n 1(1)(2)q cos naq cos n+1R+qcosa q7濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）1 - 2式得#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）9濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）12Sn 二_ 1_ 21 2 2 2 2234-2 21尹+ 2 2,1121 一丄.丄11 -22nn ；T2 22n -12n故原級數(shù)的和2n 1)古3.2#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）qQ例2.2.2 求Jn 4解：首先注意，因為#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2k+131 一 z k2 k

19、 1 2oOkA1k22n 1所以心訶k"，旳1同理可得v1=1.n± n(n 十1 )CO A又-2n壬n于是，根據(jù)收斂級數(shù)可以逐項加減等性質(zhì),n2(n +1 f n2(n +1 匚可知2=2 4+n (n +1)心nn(n +1)：1 : 1=2、4-2、 ' n T n兀2=2 -2 1 =6nm n n 1二223OQ1旳所以 2n 2( n+12n2(n +1n2(n +1 f 丿2n 12n 1#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2 22 -133311濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2.3 拆項消去法連鎖消去法在級數(shù)求和法中是一種很

20、重要的方法，它的關鍵使將級數(shù)的一般項分解成部分分式的形式例 2.3.1計算1121+.n n 1#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）由于而所以Sn T £ 21n故原級數(shù)的和lim 1nn=1說明還可以多項相消,求形如-之類的級數(shù)之和.nd n 1 n 2 n 3例 2.3.2求級數(shù)7 arctank 二1 2之和.2k2提示利用公式x _ y arctan x -arctan y = arctan,1 +xyarcta n= arcta n 1arcta n2k22k12k+1#濱州學院本科畢業(yè)設計(論文)n /=Z arcta n，1、(n 1x arct

21、an 2 k42k1 1 arctan 2k -12k 111、f 11 )arctan1 - arcta n 1+ arctanarcta n i+ arctan arctan 仔 35丿+ arcta n1 * 1 arctan 2k -12k 1二 arcta n1 arcta n2k+1旳1因此:嚴an2?n 1 |=lim ' arctan2 = lim arctan1-arctann ' k4 2k n h2k 1二 arcta n1.2.4 利用子序列法qQ我們知道，若 y 與 S :有相同極限s，則lim_ss.因此對于級數(shù)an， 若通項an > 0 （當

22、n，*時），則部分和的子序列"sJ收斂于s，意味著 $也qQ收斂于s，從而E an = S.我們把$）與bn/稱為互補子序列這個原理可推廣到一n生般：若7 an的通項an -； 0（當n “時），d*的子序列"sJ - s （ p是某個npn n 呂n *qQ正整數(shù)），則'an二S.我們把這種方法稱為子序列法n =11111111 1 1 . 例2.4.1 計算2438169326427=2 221 1 -1<2丿113丿1 131.2 一31解 此級數(shù)的通項趨近于零，所以只求$的極限即可fy1111一丄_311< 2丿<3丿11212而s 二 n

23、ims3n 二例2.4.2 計算112-1 1145+卩一5<62丿 78<93 丿解 此級數(shù)的通項趨近于零，所以只求 s的極限，注意公式111 =C ln n ；n，n其中C為Euler常數(shù),0 (當n -時).因此，對原級數(shù),13濱州學院本科畢業(yè)設計(論文)#濱州學院本科畢業(yè)設計(論文)丄 一1一13n 2=In 3n - In n；3n - ；n “ In 3故原級數(shù)和s = I n 3.2.5 利用幕級數(shù)理論求級數(shù)的和若v an收斂，則有v an =limanX，將V an轉化成anX，對求v anX有n-0n -0n -0#濱州學院本科畢業(yè)設計(論文)#濱州學院本科畢業(yè)設

24、計(論文)兩種常用方法:方法1:利用逐項微分法求和S(x) = aoX _-./ (antn)dt，方法的效果取決于' n ±anXn企丄是否容易求和，nq是否為#濱州學院本科畢業(yè)設計(論文)an的簡化，若a1P(n)，P(n)為n的多項式并且含有因子n是'時效果更好.方法2:利用逐項積分法求和x :S(x) =送(anf) dt，當an為多項式時，應分解p(n)為n(n+1)等式子的組合.n ±qQ由Abel第二定理：若幕級數(shù)anxn的收斂半徑r 0，則幕級數(shù)在任意閉區(qū)間n =0-a,a二 r,r上都一致收斂.計算收斂的數(shù)項級數(shù)an的和，只需求anxn在n

25、 =0n=0#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）qQ-1,1內(nèi)的和函數(shù)sx，令x1 -0 ,取極限，則J ann=01例2.5.1 求數(shù)項級數(shù) 飛的和.n£ n2旳 1解 構造幕級數(shù)v Axn，求得收斂半徑r =2.收斂區(qū)間是一 2,2 .設它的和函n二 n2旳 1數(shù)是SX ,即sxXn，x -2,2 .由幕級數(shù)可逐項可導，有nd n2on nA. .'' X1s x -n壬22x 匚，X -2,2 .22 - x 2 x 1 2 I2 丿一x ,x dt2(-2,2 )，有s (t )dt =,或s(x )-或0 )= ln.因為 §0)= 0，所以2 t2 x

26、2 2s x = In .即 In2 x 2 x八匕Xn,x-2,2 .n =1 n 2oO令X =1，有In 2八n =11n2n1 1 1十2 =3十22 223 231 114解 由于 ln 1 Xxn -1 ： X ： 1n 二 n例2.5.2 計算1 - 122 In而aXn的收斂半徑為1,n壬 n且在X =1收斂，令x1 -0，在等式兩端取極限,5 t_1 F有 li%ln 1 x = lim 二X 1_0ni nn4-1lim Xn n x zn =1 InxT0八-1n4.ln Tnlim In 1 x i=ln2.15濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2.6 利用Fourier級數(shù)

27、理論求級數(shù)的和先求出函數(shù)的傅里葉展開式，在確定其在收斂于內(nèi)某個特殊點的值，這是用傅里葉級數(shù)求常數(shù)項級數(shù)的基本思想.傅里葉展開的基本方法：1）按系數(shù)公式計算系數(shù)” nnxanbnl fa f (x )cos l dx, n = 0,1,2，,1 bn 二xf x sin dx, n = 0,1,2/ , l al2）將算出的系數(shù)代入級數(shù)af(x) +Z ak cos2 nAIbk”#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）3）根據(jù)收斂定理，判定可改為等號的范圍.若f x在a,b 1上分段光滑，則級數(shù)的和f x° f x 0,當 xa,b為f x的間斷點,函數(shù)s(x )

28、=f x，當xa,b為f x的連續(xù)點,f a 0 f b -0，當 x = a, b時,呈周期，其他.例2.6.1 設函數(shù)f x =71 X i，o E x蘭2兀.試求送4的值.丿kT k解將函數(shù)f x二2亍在bz 1上展開成Fourier級數(shù),a0 二dx ， ak2 61-x2coskxdx 二，2k2#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）bk =0于是f x JIJ2丿12瞇"5）'因為3在血】內(nèi)連續(xù)所以22 + £ coskx=十乙12 心 k2#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）Jlf兀有2.6qQ說明求形如VJ.： -12 n =0 2n

29、 1QOnm 2n -1 2吩1一3之類的數(shù)值級數(shù)，可將 n =1 2n d i某些特殊函數(shù)在一定區(qū)域上展成Fourier 級數(shù),1 x例2.6.2設fx蔦二，其中咲X".試求然后取適當?shù)腦的值或逐項積分.k 1 的值.心 2k 12 .由 Parseval 等式更、ak b： = 2k4-：045 -x.j dx 2丿17濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）解將函數(shù)進行奇式周期延拓，則an =0 n = 0,1,2，#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2 x0 U0f xsirwxdx二，JI -JI1 -1 n2n一一一 isinnx

30、dx2 0 <42 丿0當 n為奇數(shù)1-當n為偶數(shù)1所以f X 7 sin 2nxn仝2n，其中X- 0,二1，因為f x在0,二上連續(xù).#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）所以f x ' x八丄sin2kx .取x4 2 心12k二 二 1 1 二，則廠；：iksin2k#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）Q0即7k d- 1k12k -1#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2.7 利用復數(shù)的Euler公式和De Moiver公式.說明用于三角級數(shù)求和問題設z為復數(shù)，令z=co

31、sxisinx, pn是實數(shù)n =0,1,2, 有QOQOZ pnzn =瓦 pn(cosx+isi n X $n衛(wèi)n衛(wèi)-' pn cosnx i sinnxn z0#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）二 ' pn cosnx i' pn sin nxn £n £例2.7計算'、n =0cos nan!因為復述級數(shù)QO乙門ez = 1，令 z 二 cos a isin a，有心n!cosa T sin a二 ecosa i sinacosa -=e e ecossin a i sin sin a.cosa二 ecosacossin a ie sin

32、 sin ann而 1 1 cosa isinan# n!n壬n!,_ cos na+is inna =1nm n!n=0cosnaQOn =1n!sin nan!CO于是'n =0cos nacosa=en!cossin a#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）2.8 利用Euler常數(shù)法極限nim：-In n的值為所謂的歐拉常數(shù)，設為cc = 0.57721 ，貝U 有#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）n 1二W c an，其中”"耳=0，利用上式，可以求出某些數(shù)值級數(shù)的和#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）例2.8cd 4求s八

33、n(2n +1)9八一丄_sn k4 k 2k 1 kk 2k 1n 1112kk35n 1二 '、-k =1 k21 丄 1I 231十+ |2n +1 丿1十+|2n 丿 2n+1+ 2 1+21.丄4 2n19濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）n 1 2n 1=2、1 一2' 丄一k 4 k=2 c In n an - 2 c ln 2n a2n -22n + 1二 2-21 n2 2an -2a2n-2 一21 n2 n >2n 1#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）s = 2 21 n 2第三章函數(shù)項級數(shù)求和#濱州

34、學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）3.1微積分法 3.1.1逐項微分，求和后再積分先求Sn X的緊縮式，然后再利用積分公式：Sn Xi=Sn X - Sn=S. t dtLx:2n 4例3.1.1.1 計算v Xn =12n 1解不難計算其收斂半徑為1，設它的和函數(shù)S X，即- X -1,1 ，有52n 4XX52n -1*-. 2nd3S XXX X心 2 n 13逐項微分，有 s x =1 X2 x ' X2n '1,1，對上式從0到X積分，得 例3.1.1.2 設x0,二1,試求如下級數(shù)之和二sinnxX 111 + XSX0百八尹二X -1,1n丄

35、n解 若x = 0，顯然級數(shù)和為0.現(xiàn)設0 _ x _.記，l sin kxSn x =k4 k"n sin kxIkn八coskxk 4nx' 2sin coskx 二 x k422sin k-212sinX2sin n 十 一 xl 2丿12sinX22n 1 sin1 *c l -.Z sin k + x-sin k 二 ix I2sin仝 3，2丿 <2.x "xsin-丨2 2于是X二Sn X -耳二1 二 1_ 2 x . t sin 2sin n 十1 tdt +丄5 xI 2丿 2利用Riemann引理，n時上式第一項趨向零.所以級數(shù)和0,當

36、x =0, sxi=1t（兀一x ）當0 ex蘭23.1.2逐項積分，求和后再微分qQ例 3.1.2.1 計算 a n 1 xnn =0解 不難計算其收斂半徑為1,設它的和函數(shù)sx，即-X，-1,1，有Q0sx 八 n 1xn=12x 3x 亠 亠n 1 xnn=0-x. 1,1 ,對上式從0到x逐項積分，有X旳X0stdt 八 n 1 0tndt n =0xxx-j dt o 2tdt q 3tdt =x x345x逐項微分s' x =1 x - x x x121324x對兩邊求導數(shù)，有1"721-x21濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）11-x2c

37、O即 v n 1xnn =03.2微分方程式法基本思想是為了求出幕級數(shù)或函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，有時找出和函數(shù)所滿足的 微分方程及定解條件，解此微分方程的定解問題得到級數(shù)的和函數(shù)；主要還是設法 證明級數(shù)的和滿足某個方程式然后求次方程的解 .x2x3 x4 x所以 s' x =1 xs x，并且有 s 01=1 .x解此微分方程的初值問題例3.2.1 計算1 x.213 24 1匯3汽56提示 收斂半徑為二，逐項微分可知s' x=1 xs x .23456解設 sx =1 x - xxx21漢32匯41漢3漢52匯4漢6s (x )=1 +xs(x )s 0 =1tX 2得 s(x

38、)=e2 0 edt +1 .23濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）例 3.2.2 證明：若函數(shù)fx在0,1上連續(xù)，令f0x二fx ，fn 1 x A :xfn y dy x 0,1,n =0,1,2,則fn x在0,1】上一致收斂于n =49(x)= jeyf(y dy.證1.（先證明該級數(shù)一致收斂） 因f x在0,11上連續(xù)，所以有界.即M0，使f x < M于0,11上，由此知f1(x)=f°(ydy = f(ydy em(1 x)，f2(x )= ( f/y dy 蘭 M (1 x dx 蘭 M1-x22!由數(shù)學歸納法易證-n =1,2,3,.但

39、M 1 x二Me1"在全數(shù)軸上成立，0,1上一致收斂.所以a fn x在0,11上絕對 n!致收斂.2.（證明和滿足微分方程）記原級數(shù)之和為1 1 1'x f t dtdb f t2 dt2xt1次式兩端同時加以f x，再同時在0,11上取積分得(1)11f t dt 亠 i (t dt - ： x .xx由此求得打X 7 X f x =0.從式可以看出-1 =0(4)#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）#濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）在條件（4）下求解微分方程（3）可得i eyf（ypy.未學過微分方程的讀者可以這樣來求解；設二x = uxe，則代入（3）式得u x = - f x ex，xt所以 u x f t e dt C.（5）14根據(jù)（4）式應有u 1 =0故知C = o f tetdt代入（5）*X414從而 u x = o f t