數(shù)學提高題(1)單點運動問題

1、數(shù)學提咼題(1)單點運動問題1如圖 1，矩形 ABCD 中，AB=4, AD=3，把矩形沿直線 AC 折疊，使點 B 落在點 E 處, AE 交CD 于點 F，連接 DE .(1)求證： DECEDA ; (2)求 DF 的值；(3)如圖 2,若 P 為線段 EC 上一動點，過點 P 作厶 AEC 的內接矩形，使其定點 Q 落在線 段 AE 上，定點 M、N 落在線段 AC 上，當線段 PE 的長為何值時，矩形 PQMN 的面積最大？ 并求出其最大值.【解答】：(1)證明：由矩形的性質可知 AD = CE, DC=EA，/ ACD= / CAE,在厶 ADE 與厶 CED 中AD=CE DE=

2、ED DECEDA (sss；tDC=EA(2) 解：如圖 1 ,/ ACD= / CAE, AF =CF ,設 DF=x，貝UAF=CF=4 - x,在 RTAADF 中, AD2+DF2=AF2,即 32+X2= (4 - x)2,解得；x=即 DF=. s(3) 解：如圖 2，由矩形 PQMN 的性質得 PQ/ CA化嚴又 CE=3,AC=：.=5設 PE=X(0vxv3),ADCCEA,即PQPQ= =:.:.過 E 作 EG 丄 AC 于 G,貝 U PN/ EG,-=H1CE EG又在 RtAAEC 中，EG?AC=AE?CE,解得 EG=：5.3-x PN=鷹5即 PN(3 -

3、x)5設矩形 PQMN 的面積為 S 則一 1 2-I 一 ；S=PQ?PN=-x+4x= -“一|+3(Ovxv3)332所以當 x=即 PE=時，矩形 PQMN 的面積最大，最大面積為 3.2 2【思路】：(1)由矩形的性質可知 ADCCEA，得出 AD=CE, DC = EA,/ ACD = / CAE，從而求得 DECEDA;(2) 根據(jù)勾股定理即可求得.(3) )有矩形 PQMN 的性質得 PQ/ CA,所以二-二，從而求得 PQ,由 PN / EG,得出=門CE CACE EG求得 PN,然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式，即可求得.2如圖 1,已知點 A (2, 0), B (0,

4、 4), / AOB 的平分線交 AB 于 C, 一動點 P 從 0 點出 發(fā)，以每秒2 個單位長度的速度，沿 y 軸向點 B 作勻速運動，過點 P 且平行于 AB 的直線交 x 軸于 Q，作 P、Q關于直線 OC 的對稱點 M、N .設 P 運動的時間為 t (0vtv2)秒.(1 )求 C 點的坐標，并直接寫出點 M、N 的坐標(用含 t 的代數(shù)式表示)；(2)設厶 MNC 與厶 OAB 重疊部分的面積為 S.1試求 S 關于 t 的函數(shù)關系式；2在圖 2 的直角坐標系中，畫出 S 關于 t 的函數(shù)圖象，并回答：S 是否有最大值？若有，寫 出 S 的最大值；若沒有，請說明理由.【解答】 解

5、：(1)如答圖 1,過點 C 作 CF 丄 x 軸于點 F , CE 丄 y 軸于點 E,由題意，易知四邊形 OECF 為正方形，設正方形邊長為/ CE / x 軸，即-，：工，解得 x=.OB 0A 423 C 點坐標為(,)；3 3/ PQ / AB,.,即 DOB 0A 42 OP=2OQ. P (0, 2t), Q (t, 0).對稱軸 OC 為第一象限的角平分線，對稱點坐標為：M ( 2t, 0), N (0,t).(2)當 0vtW1時，如答圖 2 - 1 所示，點Si02M 在線段 OA 上，重疊部分面積為SACMN.=(?2tX+-?tX )- ?2t 帖-t2+2t;23 232當 1vtv2 時，如答圖 2 -2 所示，點 M 在 OA 的延長線上，設 MN 與 AB交于點 D，則重疊部分面積為SACDN 設直線 MN 的解析式為y=kx+b,將 M （ 2t, 0）、N（0，t）代入得、汀 T Tx+tx+t;同理求得直線 AB 的解析式為：y= - 2x+4 .聯(lián)立 y= - x+t 與 y= - 2x+4，求得點 D 的橫坐標為 23【思路】 ：（2 所求函數(shù)關系式為分段函數(shù)，需要分類討論答圖2 - 1，答圖 2 - 22tk+b=O,lb=tSACMN= S四邊形CMO