第11章一元線性回歸

1、1第第1111章章 一元線性回歸一元線性回歸2第11章 一元線性回歸11.1 變量間關(guān)系的度量變量間關(guān)系的度量 11.2 一元線性回歸一元線性回歸11.3 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)11.4 殘差分析殘差分析3學(xué)習(xí)目標(biāo)1.相關(guān)關(guān)系的分析方法相關(guān)關(guān)系的分析方法一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計(jì)小二乘估計(jì)回歸直線的擬合優(yōu)度回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗(yàn)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)2.用用 Excel 進(jìn)行回歸進(jìn)行回歸411.1 變量間關(guān)系的度量n11.1.1 變量間的關(guān)系變量間的關(guān)

2、系n11.1.2 相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度n11.1.3 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)5變量間的關(guān)系6函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量 x 和 y ，變量 y 隨變量 x 一起變化，并完全依賴于 x ，當(dāng)變量 x 取某個(gè)數(shù)值時(shí)， y 依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記為 y = f (x)，其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上 7函數(shù)關(guān)系(幾個(gè)例子)8相關(guān)關(guān)系(correlation)變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量 x 取某個(gè)值時(shí)，變量 y 的取值可能有幾個(gè)各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線

3、周圍 9相關(guān)關(guān)系(幾個(gè)例子)10相關(guān)關(guān)系的種類相關(guān)關(guān)系的種類n1按相關(guān)方向的不同，可以分為正相關(guān)和負(fù)按相關(guān)方向的不同，可以分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。相關(guān)。n正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量（x）的數(shù)值增加，另一個(gè)變量（ y ）的數(shù)值也相應(yīng)地增加；自變量（ x ）的數(shù)值減少，因變量（ y ）的數(shù)值也隨之減少，即兩個(gè)變量變化方向一致，這樣的相關(guān)關(guān)系就是正相關(guān)。n例如，身高與體重之間關(guān)系。 11n負(fù)相關(guān)：當(dāng)自變量（ x ）的數(shù)值增加，因變量（ y ）的數(shù)值也相應(yīng)地減少；自變量（ x ）的數(shù)值減少，因變量（ y ）的數(shù)值也隨之增加，即兩個(gè)變量變化方向相反，這樣的相關(guān)關(guān)系就是負(fù)相關(guān)。n例如，單位產(chǎn)品成本與產(chǎn)品產(chǎn)量之間關(guān)系。

4、 122按變量之間的相關(guān)形式，可分為線性相關(guān)和按變量之間的相關(guān)形式，可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。非線性相關(guān)。n若一個(gè)變量與另一個(gè)或一組變量之間的相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為線性組合時(shí)，則稱它們之間的相關(guān)關(guān)系為線性相關(guān)。n若一個(gè)變量與另一個(gè)或一組變量之間的相關(guān)關(guān)系不能表現(xiàn)為線性組合，而只能表現(xiàn)為非線性組合時(shí)，則稱它們之間的相關(guān)關(guān)系為非線性相關(guān)。133按變量的多少不同，可以分為單相關(guān)和復(fù)相按變量的多少不同，可以分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)關(guān)n單相關(guān)是指兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。n復(fù)相關(guān)是指多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。n例如，只研究利潤(rùn)總額與產(chǎn)品銷售額的關(guān)系，是單相關(guān)；若研究利潤(rùn)總額同時(shí)與成本水平、產(chǎn)品銷售額的關(guān)系，就是復(fù)相關(guān)。

5、 144按變量之間的相關(guān)程度不同，可分為完全相按變量之間的相關(guān)程度不同，可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和完全不相關(guān)。關(guān)、不完全相關(guān)和完全不相關(guān)。n若一個(gè)變量的值完全由另一個(gè)或一組變量的值所決定，則稱變量之間的這種相關(guān)關(guān)系為完全相關(guān)，即函數(shù)關(guān)系。n若一個(gè)變量的值與另一個(gè)或一組變量的值有關(guān)，但其中要受到隨機(jī)因素的影響，則稱變量之間的這種相關(guān)關(guān)系為不完全相關(guān)。n若一個(gè)變量的值完全不受另一個(gè)或一組變量值的影響，則稱變量之間不相關(guān)。n大量社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系都屬于不完全相關(guān)，不完全相關(guān)是相關(guān)分析的基本內(nèi)容。完全相關(guān)和完全不相關(guān)可視為相關(guān)關(guān)系中的特例。 155.按相關(guān)的性質(zhì)不同，可分為真實(shí)相關(guān)和虛假相關(guān)

6、16相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度(散點(diǎn)圖)17相關(guān)分析及其假定相關(guān)分析要解決的問(wèn)題n變量之間是否存在關(guān)系？n如果存在關(guān)系，它們之間是什么樣的關(guān)系？n變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何？n樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？為解決這些問(wèn)題，在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，對(duì)總體有以下兩個(gè)主要假定n兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系n兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量18散點(diǎn)圖(scatter diagram)19散點(diǎn)圖(例題分析)n【例】【例】一家大型商業(yè)銀行在多個(gè)地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進(jìn)行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國(guó)家重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項(xiàng)目的貸款。近年來(lái)，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長(zhǎng)，但不良貸款額也有較大比例增加，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來(lái)較

7、大壓力。為弄清楚不良貸款形成的原因，管理者希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家分行的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù) 20散點(diǎn)圖(例題分析)21散點(diǎn)圖(不良貸款對(duì)其他變量的散點(diǎn)圖)22相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度(相關(guān)系數(shù))23相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)度量變量之間關(guān)系強(qiáng)度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)強(qiáng)度的度量稱為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為 若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱為相關(guān)系數(shù)，記為r n也稱為線性相關(guān)系數(shù)(linear correlation coefficie

8、nt) n或稱為Pearson相關(guān)系數(shù) (Pearsons correlation coefficient) 24相關(guān)系數(shù) (計(jì)算公式)n 樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式22)()()(yyxxyyxxr2222yynxxnyxxynr25相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)n性質(zhì)性質(zhì)1：r 的取值范圍是 -1,1n |r|=1，為完全相關(guān)nr =1，為完全正相關(guān)nr =-1，為完全負(fù) 相關(guān)n r = 0，不存在線性線性相關(guān)關(guān)系n -1r0，為負(fù)相關(guān)n0r1，為正相關(guān)n|r|越趨于1表示關(guān)系越強(qiáng)；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱26相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)n性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對(duì)稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rx

9、y= ryx；n性質(zhì)性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點(diǎn)及尺度無(wú)關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點(diǎn)及計(jì)量尺度，并不改變r(jià)數(shù)值大?。籲性質(zhì)性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意為著， r=0只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說(shuō)明變量之間沒(méi) 有任何關(guān)系；n性質(zhì)性質(zhì)5：r雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系。27相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)解釋 |r|0.8時(shí)，可視為兩個(gè)變量之間高度相關(guān)0.5|r|0.8時(shí)，可視為中度相關(guān)0.3|r|0.5時(shí)，視為低度相關(guān)|r|t，拒絕H0 若tt(25-2)=2.069，拒絕H0，不良貸款與貸款余額之間存在著顯著

10、的正線性相關(guān)關(guān)系33相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(例題分析)n各相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量各相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3411.2 一元線性回歸n11.2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型n11.2.2 參數(shù)的最小二乘估計(jì)參數(shù)的最小二乘估計(jì)n11.2.3 回歸直線的擬合優(yōu)度回歸直線的擬合優(yōu)度n11.2.4 顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)35什么是回歸分析？(Regression)從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來(lái)預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控

11、制的精確程度36回歸模型的類型線線 性性 回回 歸歸非非 線線 性性 回回 歸歸一一 元元 回回 歸歸線線 性性 回回 歸歸非非 線線 性性 回回 歸歸多多 元元 回回 歸歸回回 歸歸 模模 型型37一元線性回歸模型38n “回歸”一詞的歷史淵源n英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家F.高爾頓和他的學(xué)生K.皮爾遜(K.Pearson:18561936)在研究父母身高與其子女身高的遺傳問(wèn)題時(shí)，觀察了1078對(duì)夫婦，以每對(duì)夫婦的平均身高作為x，而取他們的一個(gè)成年兒子的身高作為y，將結(jié)果在平面直角坐標(biāo)系上繪成散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)趨勢(shì)近乎一條直線。計(jì)算出的回歸直線方程為33.730.516yx39通俗地說(shuō):n一群特高個(gè)子父輩的兒子們

12、在同齡人中平均僅為高個(gè)子n一群高個(gè)子父輩的兒子們?cè)谕g人中平均僅為略高個(gè)子n一群特矮個(gè)子父輩的兒子們?cè)谕g人中平均僅為矮個(gè)子n一群矮個(gè)子父輩的兒子們?cè)谕g人中平均僅為略矮個(gè)子n即子代的平均高度向中心回歸了n正是因?yàn)樽哟纳砀哂谢氐酵g人平均身高的這種趨勢(shì)，才使人類的身高在一定時(shí)間相對(duì)穩(wěn)定，沒(méi)有出現(xiàn)父輩個(gè)子高其子女更高，父輩個(gè)子矮其子女更矮的兩極分化現(xiàn)象。n正是為了描述這種有趣的現(xiàn)象，高爾頓引進(jìn)了“回歸”這個(gè)名詞來(lái)描述父輩身高x與子代身高y的關(guān)系 404142一元線性回歸涉及一個(gè)自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系n被預(yù)測(cè)或被解釋的變量稱為因變量(dependent variable)，

13、用y表示n用來(lái)預(yù)測(cè)或用來(lái)解釋因變量的一個(gè)或多個(gè)變量稱為自變量(independent variable)，用x表示 因變量與自變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性方程來(lái)表示43回歸模型(regression model)回答“變量之間是什么樣的關(guān)系？”方程中運(yùn)用n1 個(gè)數(shù)值型因變量(響應(yīng)變量)n被預(yù)測(cè)的變量n1 個(gè)（或多個(gè)）數(shù)值型自變量 (解釋變量)n用于預(yù)測(cè)的變量3. 主要用于預(yù)測(cè)和估計(jì)44一元線性回歸模型描述因變量 y 如何依賴于自變量 x 和誤差項(xiàng) 的方程稱為回歸模型回歸模型一元線性回歸模型可表示為 y = b b b b1 1 x ny 是 x 的線性函數(shù)(部分)加上誤差項(xiàng)n線性部分反映了由于 x

14、 的變化而引起的 y 的變化n誤差項(xiàng) 是隨機(jī)變量n反映了除 x 和 y 之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì) y 的影響。是不能由 x 和 y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性nb0 和 b1 稱為模型的參數(shù)45一元線性回歸模型(基本假定) 自變量x與因變量y之間具有線性關(guān)系在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即假定x是非隨機(jī)的誤差項(xiàng)是一個(gè)期望值為0的隨機(jī)變量，即E()=0。對(duì)于一個(gè)給定的 x 值，y 的期望值為E ( y ) =b b 0+ b b 1 x對(duì)于所有的 x 值，的方差2 都相同誤差項(xiàng)是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。即N(0 ,2 )n獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的 x 值，它所對(duì)

15、應(yīng)的與其他 x 值所對(duì)應(yīng)的不相關(guān)n對(duì)于一個(gè)特定的 x 值，它所對(duì)應(yīng)的 y 值與其他 x 所對(duì)應(yīng)的 y 值也不相關(guān)46一元線性回歸模型(基本假定) y47回歸方程 (regression equation)描述 y 的平均值或期望值如何依賴于 x 的方程稱為回歸方程回歸方程一元線性回歸方程的形式如下 E( y ) = b b0+ b b1 x48估計(jì)的回歸方程(estimated regression equation)0b1b0b1b0b1bxy10bb0b1by 49參數(shù)的最小二乘估計(jì)50最小二乘估計(jì)(method of least squares )最小niiiniixyyy121012)

16、() (bb德國(guó)科學(xué)家Karl Gauss(17771855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來(lái)估計(jì)參數(shù) 使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的誤差平方和達(dá)到最小來(lái)求得 和 的方法。即0b1b51Karl Gauss的最小化圖的最小化圖xy10bb52最小二乘法xyxxnyxyxnniniiiniiniiniii1012121111bbb0b1b0)(20)(2110111001100niiiiniiixyxQxyQbbbbbbbbbb53估計(jì)方程的求法(例題分析)【例】【例】求不良貸款對(duì)貸款余額的回歸方程8295. 0268.120037895. 0728. 3037895. 07 .30063

17、7.516543252 .937 .300614.1708025021bb1b54估計(jì)方程的求法(例題分析)n不良貸款對(duì)貸款余額回歸方程的圖示55用Excel進(jìn)行回歸分析n第第1步：步：選擇【工具工具】下拉菜單n第第2步：步：選擇【數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)n第第3步：步：在分析工具中選擇【回歸回歸】 ，選擇【確定確定】n第第4步：步：當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí) n 在【Y值輸入?yún)^(qū)域值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域n 在【X值輸入?yún)^(qū)域值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域n 在【置信度置信度】選項(xiàng)中給出所需的數(shù)值n 在【輸出選項(xiàng)輸出選項(xiàng)】中選擇輸出區(qū)域n 在【殘差殘差】分析選項(xiàng)中選擇所需的選項(xiàng)56回歸直線的

18、擬合優(yōu)度57變 差因變量 y 的取值是不同的，y 取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來(lái)源于兩個(gè)方面n由于自變量 x 的取值不同造成的n除 x 以外的其他因素(如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等)的影響對(duì)一個(gè)具體的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，變差的大小可以通過(guò)該實(shí)際觀測(cè)值與其均值之差 來(lái)表示yy58誤差的分解(圖示) yxy10bbyyyyyy),(iiyx59誤差平方和的分解 (三個(gè)平方和的關(guān)系) niiniiniiyyyyyy12121260誤差平方和的分解 (三個(gè)平方和的意義)總平方和總平方和(SST)n反映因變量的 n 個(gè)觀察值與其均值的總誤差回歸平方和回歸平方和(SSR)n反映自變量 x 的變化對(duì)因變量 y

19、取值變化的影響，或者說(shuō)，是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和殘差平方和(SSE)n反映除 x 以外的其他因素對(duì) y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和61判定系數(shù)R2 (coefficient of determination)回歸平方和占總誤差平方和的比例niiniiniiniiyyyyyyyySSTSSRR121212122162判定系數(shù) (例題分析)n【例】【例】計(jì)算不良貸款對(duì)貸款余額回歸的判定系數(shù)，并解釋其意義 n 判定系數(shù)的實(shí)際意義是：判定系數(shù)的實(shí)際意義是：在不良貸款取值的變差中，有71.16%可以由不良貸款與貸款余額之

20、間的線性關(guān)系來(lái)解釋，或者說(shuō)，在不良貸款取值的變動(dòng)中，有71.16%是由貸款余額所決定的。也就是說(shuō)，不良貸款取值的差異有2/3以上是由貸款余額決定的。可見(jiàn)不良貸款與貸款余額之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系 %16.717116. 06504.3124860.2222SSTSSRR63估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差(standard error of estimate)實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值誤差平方和的均方根反映實(shí)際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況對(duì)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，是在排除了x對(duì)y的線性影響后，y隨機(jī)波動(dòng)大小的一個(gè)估計(jì)量反映用估計(jì)的回歸方程預(yù)測(cè)y時(shí)預(yù)測(cè)誤差的大小 計(jì)算公式為MSEnSSEnyysniiie221264顯著性

21、檢驗(yàn)65線性關(guān)系的檢驗(yàn)檢驗(yàn)自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗(yàn)來(lái)分析二者之間的差別是否顯著回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個(gè)數(shù)k) 殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-k-1)66線性關(guān)系的檢驗(yàn) (檢驗(yàn)的步驟) 提出假設(shè)nH0：b1=0 線性關(guān)系不顯著)2,1 ()2(1nFMSEMSRnSSESSRF67線性關(guān)系的檢驗(yàn) (例題分析) 提出假設(shè)nH0：b1=0 不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)系不顯著計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F753844.56)225(164421.90148598.222)2(1nSSESSRF

22、68線性關(guān)系的檢驗(yàn) (方差分析表) 69回歸系數(shù)的檢驗(yàn)1b70回歸系數(shù)的檢驗(yàn) (檢驗(yàn)步驟) 提出假設(shè)nH0: b1 = 0 (沒(méi)有線性關(guān)系) nH1: b1 0 (有線性關(guān)系) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3. 確定顯著性水平，并進(jìn)行決策 tt，拒絕H0； tt，不拒絕H0) 2(11ntstbb71回歸系數(shù)的檢驗(yàn) (例題分析)n對(duì)例題的回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)(0.05)提出假設(shè)nH0：b1 = 0 nH1：b1 0 1.計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量533515. 7005030. 0037895. 0t72回歸系數(shù)的檢驗(yàn) (例題分析)nP 值的應(yīng)用值的應(yīng)用73回歸分析結(jié)果的評(píng)價(jià)l建立的模型是否合適？或者說(shuō)，這個(gè)擬合

23、的模型有多“好”？要回答這些問(wèn)題，可以從以下幾個(gè)方面入手所估計(jì)的回歸系數(shù) 的符號(hào)是否與理論或事先預(yù)期相一致n在不良貸款與貸款余額的回歸中，可以預(yù)期貸款余額越多，不良貸款也可能會(huì)越多，也就是說(shuō)，回歸系數(shù)的值應(yīng)該是正的，在上面建立的回歸方程中，我們得到的回歸系數(shù) 為正值，如果理論上認(rèn)為x與y之間的關(guān)系不僅是正的，而且是統(tǒng)計(jì)上顯著的，那么所建立的回歸方程也應(yīng)該如此n在不良貸款與貸款余額的回歸中，二者之間為正的線性關(guān)系，而且，對(duì)回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)結(jié)果表明而這之間的線性關(guān)系是統(tǒng)計(jì)上顯著的1b037895. 01b74回歸模型在多大程度上解釋了因變量y取值的差異？可以用判定系數(shù)R2來(lái)回答這一問(wèn)題n在不良貸款

24、與貸款余額的回歸中，得到的R2=71.16%，解釋了不良貸款變差的2/3以上，說(shuō)明擬合的效果還算不錯(cuò)考察關(guān)于誤差項(xiàng)的正態(tài)性假定是否成立。因?yàn)槲覀冊(cè)趯?duì)線性關(guān)系進(jìn)行F檢驗(yàn)和回歸系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，都要求誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，否則，我們所用的檢驗(yàn)程序?qū)⑹菬o(wú)效的。正態(tài)性的簡(jiǎn)單方法是畫出殘差的直方圖或正態(tài)概率圖回歸分析結(jié)果的評(píng)價(jià)75Excel輸出的部分回歸結(jié)果名稱名稱計(jì)算公式計(jì)算公式Adjusted R SquareIntercept的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差I(lǐng)ntercept95%的置信區(qū)間斜率95%的置信區(qū)間11)1 (122knnRRaniiexxxnss12)()(10bniiexxxnsnt1220)()(1

25、)2(bniiexxsnt1221)()2(b7611.3 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)n11.3.1 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)n11.3.2 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)77利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)根據(jù)自變量 x 的取值估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量 y的取值估計(jì)或預(yù)測(cè)的類型n點(diǎn)估計(jì)ny 的平均值的點(diǎn)估計(jì)ny 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)n區(qū)間估計(jì)ny 的平均值的置信區(qū)間置信區(qū)間估計(jì)ny 的個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)78點(diǎn)估計(jì)79點(diǎn)估計(jì)對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值x0 ，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個(gè)估計(jì)值0 y80 y 的平均值的點(diǎn)估計(jì)n利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的一個(gè)估計(jì)值E

26、(y0) ，就是平均值的點(diǎn)估計(jì)n在前面的例子中，假如我們要估計(jì)貸款余額為100億元時(shí)，所有分行不良貸款的平均值，就是平均值的點(diǎn)估計(jì) 。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得)(96. 2100037895. 08295. 0)(0億元yE81y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)0 yn利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)值 ，就是個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)n例如，如果我們只是想知道貸款余額為72.8億元的那個(gè)分行(這里是編號(hào)為10的那個(gè)分行)的不良貸款是多少，則屬于個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì) 。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得)(93. 18 .72037895. 08295. 00億元y82區(qū)間估計(jì)83區(qū)

27、間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)不能給出估計(jì)的可信度，點(diǎn)估計(jì)值與實(shí)際值之間是有誤差的，因此需要進(jìn)行區(qū)間估計(jì)對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個(gè)估計(jì)區(qū)間區(qū)間估計(jì)有兩種類型n置信區(qū)間估計(jì)(confidence interval estimate)n預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(prediction interval estimate)84置信區(qū)間估計(jì)n利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的估計(jì)區(qū)間 ，這一估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間置信區(qū)間(confidence interval)n E(y0) 在1-置信水平下的置信區(qū)間為niiexxxxnsnty122020

28、1)2(式中：se為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差85置信區(qū)間估計(jì)(例題分析)n 【例】【例】求出貸款余額為100億元時(shí)，不良貸款95%置信水平下的置信區(qū)間n 解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果，已知n=25， n se=1.9799，t(25-2)=2.069n 置信區(qū)間為96. 20y5744.154933)268.120100(2519799. 1069. 296. 228059. 3)(1141. 20yE86預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)n利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)區(qū)間，這一區(qū)間稱為預(yù)測(cè)區(qū)間預(yù)測(cè)區(qū)間(prediction interval) n y0在1-置信水平下

29、的預(yù)測(cè)區(qū)間為niiexxxxnSnty12202011)2(87預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(例題分析)n【例】【例】求出貸款余額為72.8億元的那個(gè)分行，不良貸款95%的預(yù)測(cè)區(qū)間n 解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果，已知n=25， n se=1.9799，t(25-2)=2.069n 預(yù)測(cè)區(qū)間為93. 10y5744.154933)268.1208 .72(25119799. 10687. 296. 221366. 62766. 20y88置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間(例題分析)89置信區(qū)間、預(yù)測(cè)區(qū)間、回歸方程xy10bb9011.4 殘差分析n11.4.1 用殘差證實(shí)模型的假定用殘差證實(shí)模型的假定n11.4.2 用殘差檢測(cè)異常值和有影響的觀用殘差檢測(cè)異常值和有影響的觀測(cè)值測(cè)值91殘差(residual)因變量的觀測(cè)值與根據(jù)估計(jì)的回歸方程求出的預(yù)測(cè)值之差，用e表示反映了用估計(jì)的回歸方程去預(yù)測(cè)而引起的誤差 可用于確定有關(guān)誤差項(xiàng)的假定是否成立 用于檢測(cè)有影響的觀測(cè)值iiiyye92用殘差證實(shí)模型的假定93殘差圖(residual plot)表示殘差的圖形n關(guān)于x的殘差圖n關(guān)于y的殘差圖n標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖用于判斷誤差的假定是否成立 檢測(cè)有影響的觀測(cè)值94殘差與標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖(例題分析)95