第3數(shù)據(jù)分布的數(shù)值特征

1、Chapter 3.2數(shù)據(jù)分布的數(shù)值特征Numerical Characteristics of a Distribution of Data本章起：總體= 一組數(shù)據(jù)= 每個(gè)數(shù)據(jù) ( n個(gè) )x :n3-2-1數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù):平均指標(biāo)數(shù)據(jù)的分散程度偏度和峰度3-2-2變異指標(biāo)= 離中趨勢(shì)的量數(shù)平均指標(biāo)= 集中趨勢(shì)的量數(shù)* 分布的集中趨勢(shì) 平均指標(biāo)3-2-3一、統(tǒng)計(jì)平均指標(biāo)的意義和作用* (一)統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的含義* (二)統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的作用* (三)統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的種類3-2-4一、平均指標(biāo)的意義和作用1、定義平均指標(biāo)是同類現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的水平，是度量分布集中趨勢(shì)或中心位置的指標(biāo)

2、。3-2-52、作用（1）反映總體各變量分布的集中趨勢(shì)和水平。（2） 平均指標(biāo)可以反映現(xiàn)象總體的綜合特征。（3） 平均指標(biāo)常用來(lái)進(jìn)行同類現(xiàn)象在不同空間、不同時(shí)間條件下的對(duì)比分析。（4） 用于分析現(xiàn)象之間的依存3-2-63、平均指標(biāo)的種類根據(jù)各種平均數(shù)的具體代表意義和計(jì)算方式的不同，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)可分為兩類：即數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。l 所謂數(shù)值平均數(shù)就是以分配數(shù)列的所有各項(xiàng)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算的平均數(shù)，用以反映分配數(shù)列的所有各項(xiàng)數(shù)值的平均水平。l3-2-7*數(shù)值平均數(shù)數(shù)。了算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均* 這類平均數(shù)的特點(diǎn)是，分配數(shù)列中任何一項(xiàng)數(shù)據(jù)的變動(dòng)， 都會(huì)在一定程度上影響到數(shù)值平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果。所謂

3、位置平均數(shù)是根據(jù)數(shù)列中處于特殊位置上的個(gè)別或部分的標(biāo)志值來(lái)確定的。常用的位置平均數(shù)：眾數(shù)和中位數(shù)。3-2-8統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的種類算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)數(shù)值統(tǒng)計(jì)平均數(shù)平均數(shù)中位數(shù)分位數(shù)眾位置平均數(shù)數(shù)3-2-9二、算術(shù)平均數(shù)：（一）算術(shù)平均數(shù)的基本形式：是將總體的某一 數(shù)量標(biāo)志值之和除以總體數(shù)。即算術(shù)平均數(shù)= 總體標(biāo)志總量總體總量3-2-10平均指標(biāo)與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)某一總量指標(biāo)強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)=另一性質(zhì)不同而又有聯(lián)系的總量指標(biāo) 強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)是兩個(gè)有的不同總體的總量指標(biāo)對(duì)比的結(jié)果，這兩個(gè)總量指標(biāo)沒(méi)有依存。 平均指標(biāo)時(shí)，分子與分母必須同屬一個(gè)總體，具對(duì)應(yīng)，即有一個(gè)總體，必有一個(gè)標(biāo)志值與之對(duì)應(yīng)。3-2-1

4、1例如人均糧食產(chǎn)量= 糧食總產(chǎn)量總?cè)丝跀?shù)糧食總產(chǎn)量平均畝產(chǎn)量=耕地(土地)總面積3-2-12鋼產(chǎn)量人均鋼產(chǎn)量=全國(guó)總?cè)丝跀?shù)全國(guó)鋼鐵工人=平均鋼產(chǎn)量鋼產(chǎn)量全國(guó)鋼鐵工人數(shù)3-2-13強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)：鋼產(chǎn)量人均鋼產(chǎn)量=全國(guó)總?cè)丝跀?shù)算術(shù)平均數(shù)：全國(guó)鋼鐵工人=平均鋼產(chǎn)量鋼產(chǎn)量全國(guó)鋼鐵工人數(shù)3-2-14（二）算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算1. 簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：適用于未分組的資料。（1） 例：生產(chǎn)小組5個(gè)工人的日產(chǎn)量分別為28、25、30、35、42件，則平均工人日產(chǎn)量=（28+25+30+35+42）/5=32（件）（2） 計(jì)算公式：nx= xix =i = 1n nnn3-2-15例如，某班50位同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)考試的成績(jī)資

5、料：*6056797582826861787846765286707373568972778872368591667578926575857767848067837569906865557477746866= xx =nnn= 60+82+46+L +55+66 = 3636 =72.7250503-2-162.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：已編制分配數(shù)列的情況下。公式：x = x f + x f +L + x f 1122nnf + f +L + f12nxfn xi fi=f= x f= i = 1iin fi fii = 13-2-17（1）單項(xiàng)式數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)例：某機(jī)械廠工人日產(chǎn)零件數(shù)的分配數(shù)列權(quán)

6、數(shù)加權(quán)x = xf= 4610 f2003-2-18xf232425605030合計(jì)20xfxf25合計(jì)（2）組距式加權(quán)算術(shù)平均數(shù)以組中值作為各組的代表值，是均勻的。各組標(biāo)志值在組內(nèi)分布x = x f + x f +L + x f 1122nnf + f +L + f12n= xf f3-2-19例：某年我國(guó)80個(gè)產(chǎn)棉大縣的分配數(shù)列平均每縣產(chǎn)3-2-20fxxf合計(jì)（3）權(quán)數(shù)的作用和形式*a）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩個(gè)因素的影響， 一個(gè)是分配數(shù)列中各組的標(biāo)志值xi，另一個(gè)是各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)fi。*b）各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)在計(jì)算平均數(shù)的過(guò)程中起著權(quán)衡加輕重的作用，故常將其稱作“權(quán)數(shù)”。3-2-21

7、3-2-22日產(chǎn)量（件）工人數(shù)20212223242520406012010060合計(jì)400日產(chǎn)量（件）工人數(shù)2021222324252040606010060合計(jì)340日產(chǎn)量（件）工人數(shù)202122232425102030605030合計(jì)200（3）權(quán)數(shù)的作用和形式C）權(quán)數(shù)的形式：次數(shù)和頻率。d ）下列兩種情況，分組資料可以不考慮權(quán)數(shù)，而用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。* 當(dāng)各組的權(quán)數(shù)相同時(shí)。* 當(dāng)分布數(shù)列完全對(duì)稱時(shí)。*x = x1 f1 + x2 f 2 +L + xn f n= A x = x fnAn3-2-23(4)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的頻率公式。f1 +x2f 2 +L +xn f fx = x1nf

8、1ff= x+x+L +x2n f1 f f2nff= x3-2-24例如:3-2-25成績(jī)（分）人數(shù)（人）比重（%）組中值（X）60以下60707080809090100612191031224382065565758595合計(jì)50100x556+6512+7519+8510+9536+12+19+10+3=73.4x =5512%+6524%+7538%+8520%+956%=73.43-2-26思考* 為什么使用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的結(jié)果有時(shí)會(huì)不同?* 什么情況下兩者才會(huì)相同,或者如何才能相同?3-2-27補(bǔ)充:權(quán)數(shù)的選擇* 在分配數(shù)列中,權(quán)數(shù)就是頻數(shù),但也有例外.* 對(duì)相對(duì)指

9、標(biāo)（或平均指標(biāo)）計(jì)算平均數(shù)時(shí),經(jīng)常遇到次數(shù)并不適合做相對(duì)數(shù)的情況,此時(shí)應(yīng)該根據(jù)相對(duì)指標(biāo)的含義,選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù).3-2-28例如:設(shè)某公司下屬三個(gè)部門的銷售資料如下表某公司下屬三個(gè)部門銷售情況3-2-29部門銷售利潤(rùn)率（%）銷售額（）xfA BC12107100020001500合計(jì)4500銷售利潤(rùn)率利潤(rùn)額銷售額* 三個(gè)部門的平均利潤(rùn)率即是公司的銷售利潤(rùn)率。所以可用潤(rùn)額，然后用的利潤(rùn)率乘以銷售額得到的利利潤(rùn)總額除以總銷售額便可得到平均利潤(rùn)率。其計(jì)算公式為：x = x f =12%1000+10%2000+7%15001000+2000+1500 f=9.44%3-2-30平均計(jì)劃完成程度= xf

10、=1050 =105% f10003-2-31銷售計(jì)劃完成程度（%）組中值（%）x企業(yè)數(shù)計(jì)劃銷售額（） f實(shí)際銷售額（）xf901001001101101209510511558210080010095840115合計(jì)1510001050（三）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)*1.各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于0。x- xx- xx1xnxx- xx- x(x-=nx -nx =0(x- x) f =xf - x f = x f - x f =03-2-32n 2.各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小。設(shè)x0為任意值(x-)20(x- x)2 f (x- x0)2 f證明：設(shè) x0 -x = C,即

11、x0 = x +C22(x -+C)=(x - x) -C= (x - x)2 - 2C(x - x) + nC2= (x - x)2 + nC2Q nC2 0(-)2為最小。3-2-333、n個(gè)數(shù)和。變量代數(shù)和的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的代x +=對(duì)兩變量，有n212n12x =1+2+3 = 2若兩變量分別取值如下：31x :x :12231+ 2 =31+3= 42+ 2 = 42+3=53+ 2 =53+3= 6x = 2+3 = 2.512223則有x +212= 2+ 2.5= 4.5x + x=12= 3+4+4+5+5+6 = 4.5那么x + x6123-2-34三、調(diào)和平均數(shù)

12、（H）（一）調(diào)和平均數(shù)的公式1. 調(diào)和平均數(shù)：又稱倒數(shù)平均數(shù)，是總體各標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。2. 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)H = 1 = n 1 1xx3.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)nH =1= m m1 m xxm3-2-35三調(diào)和平均數(shù)*1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。1nnH =111111ni=11xi n nn3-2-36調(diào)和平均數(shù)【例】 B公司員工工資資料（P57）3-2-37月 工 資工資總額員工人數(shù)x （元）m （元）m / x40 0005040 0004040 00025合計(jì)120 0001151.3 調(diào)和平均數(shù)H = 40 000 + 40000 + 40000 =

13、40000 + 40000 + 40000 mm8001 0001 600x= 120000 = 1043 . 48 (元人)n1153H =111 1+80010001600x3-2-38（二）調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合1.作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。已知分配數(shù)列各組標(biāo)志值及其標(biāo)志總量時(shí)，計(jì)算平均數(shù)可用加權(quán)調(diào)和平均法，權(quán)數(shù)m為各組的標(biāo)志總量。即*m = xfH = m = xf = xf mxf fx x3-2-39* 例：某工廠工人日產(chǎn)零件數(shù)資料：f平均日產(chǎn)量H= 總體標(biāo)志總量總體總量3-2-40xf2、 對(duì)相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）計(jì)算平均數(shù)*例如，計(jì)算平均利潤(rùn)率、平均合格率、平均計(jì)劃完成程度等。計(jì)

14、算相對(duì)指標(biāo)的平均數(shù)應(yīng)根據(jù)研究標(biāo)志的性質(zhì)及具有資料選用不同。下面用兩個(gè)例子說(shuō)明。3-2-41例1：設(shè)某公司下屬三個(gè)部門的銷售資料如下表。某公司下屬三個(gè)部門銷售情況3-2-42部門銷售利潤(rùn)率（%）銷售額（）xfAB C12107100020001500合計(jì)4500銷售利潤(rùn)率利潤(rùn)額銷售額* 三個(gè)部門的平均利潤(rùn)率即是公司的銷售利潤(rùn)率。所以可用各部門的利潤(rùn)率乘以銷售額得到的利潤(rùn)額，然后用各部門利潤(rùn)總額除以總銷售額便可得到平均利潤(rùn)率。其計(jì)算公式為：x = x f =12%1000+10%2000+7%15001000+2000+1500 f=9.44%3-2-43例2：如果上例若缺少銷售額資料而有利潤(rùn)額資

15、料，如下表某公司下屬三個(gè)部門銷售情況3-2-44部門銷售利潤(rùn)率（%）利潤(rùn)額（）xmAB C12107120200105合計(jì)425則三個(gè)部門的平均利潤(rùn)率可以用利潤(rùn)額除以銷售利潤(rùn)率得到銷售額，然后用利潤(rùn)之和除以總銷售額，便可得到平均利潤(rùn)率。其計(jì)算公式：120+200+105120 + 200 + 105m1 m= 425 =9.44%H =4500x12%10%7%3-2-45小結(jié)* 計(jì)算相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的平均數(shù)的一般可以概括如下：(1) 若已知的是相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的分母資料時(shí)，可將其作為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算；(2) 若已知的是相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的分子資料時(shí)，可將其作為權(quán)數(shù)

16、，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)法計(jì)算。3-2-46例：某管理局所屬15個(gè)企業(yè)銷售計(jì)劃完成情況資料如下表：計(jì)劃完成程度= 實(shí)際完成數(shù)計(jì)劃任務(wù)數(shù)3-2-47銷售計(jì)劃完成程度（%）組中值（%）x企業(yè)數(shù)實(shí)際銷售額（）901001001101101209510511558295840115合計(jì)151050平均計(jì)劃完成程度= m =1050 =105% m1000x3-2-48銷售計(jì)劃完成程度（%）組中值（%）x企業(yè)數(shù)實(shí)際銷售額（）m計(jì)劃銷售額（） m x901001001101101209510511558295840115100800100合計(jì)1510501000例：已知某地區(qū)甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)糧食平均畝產(chǎn)和糧食

17、總產(chǎn)量如表，求全區(qū)平均畝產(chǎn)。平均畝產(chǎn)= 糧食總產(chǎn)量播種面積3-2-49鄉(xiāng)名平均畝產(chǎn)（公斤）糧食總產(chǎn)量（噸）甲乙丙500700800130035003600合計(jì)8400平均畝產(chǎn)= m = 8400000 = 694.2(公斤) m12100x* （三）在運(yùn)用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)時(shí)，各組權(quán)數(shù)相等，就可以采用簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)。當(dāng)m = m=L = m 時(shí)，H = m = nm = n m1112nm x xx3-2-50鄉(xiāng)名平均畝產(chǎn)（公斤）x糧食總產(chǎn)量（噸）m播種面積（畝）mx甲乙丙500700800130035003600260050004500合計(jì)840012100四、幾何平均數(shù)：是n項(xiàng)標(biāo)志值連乘積的n

18、次方根。（一）公式1. 簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)：2. 加權(quán)幾何平均數(shù)3-2-511.4 幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)：*2.幾何平均n數(shù)的種類G =n xn=3-2-521.4 幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)：f1 + f2 +L + fnG =fnn f= xf3-2-53（二）應(yīng)用：在某些情況下，若總體總量是由標(biāo)志值相乘得出，這時(shí)平均數(shù)就應(yīng)該用幾何平均數(shù)的方式來(lái)計(jì)算。n 與算術(shù)平均數(shù)不同平均工資= 工資總額=nn工人數(shù)平均產(chǎn)量= 總產(chǎn)量=nn工人數(shù)3-2-54幾何平均數(shù)【例】 （簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)）x80%90%95%工 序工 序工 序各工序平均合格率 ?3-2-551.4 幾何平均數(shù)（簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)）各道工序

19、的平均合格率:G =30 .80 0 .90 0 .9530 .68488 .13-2-56x0.800.900.95n 例：某經(jīng)過(guò)三個(gè)流水連續(xù)作業(yè)的車間生產(chǎn)而成，本月第一車間的合格率為90%，第二車間的合格率為80%，第三車間的則全廠的總合格率為：合格率為70%?？偤细衤? 90%80%70% = 50.4%n 這樣平均合格率為平均合格率= n x = 3= 33-2-5790%80%70%50.4% = 79.58%2：以復(fù)利計(jì)算利息。假設(shè)p0為本金，r為利率，pn為n年后的本利和。* 若以單利計(jì)算：n 若以復(fù)利計(jì)算：p = p + p rp = p + p r = p (1+ r)100

20、2r1000p2 = p1 + p1r = p1(1+ r) = p0 (1+ r)(1+ r) = p0 (1+ r)2p = p + p200pn = p0 + p0 nrpn = p0 (1+ r)n* 可以看出，以復(fù)利計(jì)算利息時(shí)，n年后本利率的總量為n個(gè)（1+r）相乘，所以本利率的平均數(shù)用幾何平均數(shù)計(jì)算。3-2-58* 如，設(shè)某筆為期20年的投資按復(fù)利計(jì)算，前10年的年利率為10%，中間5年的利率為8%，最后5年的年利率為6%。求平均年利率。* 解答：假設(shè)初始投資額為a，則20年后的本利和為A。則3-2-59*Aa(1+10%)10(1+8%)5(1+6%)5所謂的平均年利率，設(shè)為r，

21、就是要使得a(1+r)20=A， 即a(1+r)20= a(1+10%)10(1+8%)5(1+6%)5年平均本利率(1+r)=201.1101.0851.065 =108.49%年平均利率r =108.49%-1=8.49%3-2-60五、位置平均數(shù)（P53)M）o（一）眾數(shù) （：出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。在分配曲線圖上，眾數(shù)就是曲線的最高峰所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值。Mo圖 3-93-2-61眾數(shù)計(jì)算* 1.未分組資料和單項(xiàng)式分組資料：出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。（P54的例3-8）* 2.組距分組數(shù)列：（圖示見P55頁(yè)）* 先確定次數(shù)最多的眾數(shù)組，然后最后利用公式計(jì)算眾數(shù)的近似值。眾數(shù)組的標(biāo)志值的分布是均勻的

22、。3-2-62STAT152156154156154156160155157160155158160156158160159159*1.未分16組0或16單01611621631651661671681701721621621641651661671681701721621621641651661681681701741621631641651661681691711621631651651661681701711621631651651671681701723-2-63身高人數(shù)身高人數(shù)（CM） （人）（CM） （人）2521159216012317414總計(jì)83項(xiàng)16式0 分16組0 160

23、 160160 160 161 161 161 161161 1612.組距式分組D1D1 +D2下限公式：M = L+dm0m00D2D1 +D2上限公式：M =U-dm0m00式中：D = f- fm0 -1m01D = f2m0- fm0 +13-2-642004年某市80個(gè)中型工業(yè)企業(yè)資料：按工業(yè)總產(chǎn)值企業(yè)數(shù)fm分組（百）-1010 以下10201025fm02015822030304040505060fm+1 080合計(jì)3-2-6525-10M=10 +10 =17.5(百)0(25-10)+(25-20)25-20M= 20 -10 =17.5(百)0(25-10)+(25-20)

24、3-2-66眾數(shù)的原理fMofM-ofM +1oLMo圖 3-10UMoMo3-2-67fM- f-1oM oSTAT眾數(shù)的應(yīng)用3-2-68當(dāng)數(shù)據(jù)分布明顯的集中趨勢(shì)，且有顯著的值時(shí)，適合使用眾數(shù)。在數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)不明顯或兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無(wú)眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒(méi)有眾數(shù)）。STAT眾數(shù)的原理及應(yīng)用 160沒(méi)有突出地集中在某個(gè)年份60402001975.01976.01977.01978.01979.01980.01981.0出生413名學(xué)生出生時(shí)間分布直方圖3-2-69STAT眾數(shù)的原理及應(yīng)用 6050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖3-2-

25、70STAT50403020100身高413名學(xué)生身高分布條形圖3-2-71STAT5040302010男性女性0身高413名學(xué)生身高分布疊加線圖3-2-72CountSTAT10090178cm8070以上沒(méi)有女生6050158cm4030以下沒(méi)20有男生女性10男性0身高413名學(xué)生身高分布100%疊加條形圖3-2-73Count50STAT4030在研究身高時(shí)，男生與女2010生不能一個(gè)總體，而是應(yīng)0當(dāng)作為兩個(gè)總體分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。身高當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出雙眾數(shù)50100904080或多眾數(shù)時(shí)，可以斷定這些數(shù)703060據(jù)來(lái)源于不同的總體。502040301020男性女性100女性男性03-2-

26、74身高身高CountCountCount（二）中位數(shù)（Me）將總體各按其標(biāo)志值大小順序排列，處于中點(diǎn)位置那個(gè)單位的標(biāo)志值，即為中位數(shù)。1、由未分組資料確定中位數(shù)。* 確定：首先將各總體的標(biāo)志值，按照大小順序排列，然后確定中位數(shù)的位置，處于中位數(shù)的位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)。xn+1（當(dāng)n為奇數(shù)，中位數(shù)為處于中間位置的標(biāo)志值）2m =x+ xnne+122（當(dāng)n為偶數(shù)，中位數(shù)為處于中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的平均數(shù)）23-2-75中位數(shù) ( Me )例子：(1) 7個(gè)人的身高為：165、168、169、170、172、173 、175cm ，則中位數(shù)為x4= 170cm。(2) 若8個(gè)人的身高為：165

27、、168、169、170、172、173、175、179 cm，則中位數(shù)為(x4+x5)/2=（170+172）/2，即171cm。* 【例】 下列10個(gè)數(shù)：*5664876569排序（從小到大）：4556666789= 6 + 6 = 6Me23-2-762、由單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù)。* 確定：?jiǎn)雾?xiàng)式分組已經(jīng)將資料序列化，這時(shí)總體數(shù)n=f，確定確定中位數(shù)的位置要通過(guò)累計(jì)次數(shù)計(jì)算。x f +1（當(dāng)f為奇數(shù)）2m =+ x fx fe+1（當(dāng)f為偶數(shù)）2223-2-77中位數(shù)例如，某工廠工人的月工資分配數(shù)列如表。f30為偶數(shù)+ x fx f+1 = x15 + x16 =260（元）me=22

28、223-2-78月工資（元）工人數(shù)f向上累計(jì)向下累計(jì)22025026028032047107241121283030261992合 計(jì)30中位數(shù)( Me )【例】某車間工人按技術(shù)級(jí)別分組：該車間工人技術(shù)級(jí)別的中位數(shù)Me = 3 ( 級(jí) )3-2-79：技術(shù)級(jí)別12345人 數(shù)f3060802010累計(jì)人數(shù) f30901701902003、由組距分組數(shù)列確定中位數(shù)。*（1）確定“中位數(shù)組”。 f向上累計(jì)次數(shù)等于2*（2）中位數(shù)組內(nèi)分布是均勻的，計(jì)算出中位數(shù)來(lái)。3-2-804.組距分組數(shù)列（1）確定“中位數(shù)組”。*（2）中位數(shù)組內(nèi)分布是均勻的，計(jì)算出中位數(shù)來(lái)。共20個(gè)20百30百第55個(gè) f -S

29、第35個(gè)me -1 d2Me = L+SS向上累計(jì)時(shí)memefmmeme -1第40個(gè)e f-fSm2= 20+ 2.5 = 22.5(百2M =U-de20+meme)efme30- 55- 4010 = 22.5(百 f -Sm)20- 2e + 1 dfm=UM向下1-81累計(jì)時(shí)memeee按工業(yè)總產(chǎn)值分組（百）企業(yè)數(shù) f向上累計(jì)向下累計(jì)10 以下10202030102520103555807045304040505060158270788025102合計(jì)80六、各種平均數(shù)的比較n 1. 數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)3-2-82n 數(shù)值平均數(shù)n 位置平均數(shù)n 根據(jù)所有n 變量值計(jì)算n 特殊位置

30、n 部分變量值n 代表所有n 變量值的水平n 代表所有n 變量值的水平各種平均數(shù)的比較n 1. 數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)3-2-83n 數(shù)值平均數(shù)n 位置平均數(shù)n 受值影響n 靈敏度高n 靈敏度低n 耐抗性強(qiáng)n 應(yīng)用定距和n 尺度n 使用領(lǐng)域?qū)掃€可用于定序尺度各種平均數(shù)的比較（一）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)比較1.數(shù)值平均數(shù)具有更強(qiáng)的概括能力。2. 數(shù)值平均數(shù)容易受到數(shù)列中3. 對(duì)數(shù)據(jù)量化尺度的要求不同。數(shù)值平均數(shù)只適用定距尺度和適用定序尺度和定類尺度。值的影響。尺度；而位置平均數(shù)還1-84各種平均數(shù)的比較n 2.各種數(shù)值平均數(shù)3-2-85n 平均數(shù)n 算術(shù)n 調(diào)和n 幾何n 資料n 標(biāo)志總n 量未

31、知n 總n 量未知n 使用動(dòng)態(tài)比率資料各種平均數(shù)的比較n 2.各種數(shù)值平均數(shù)3-2-86n 平均數(shù)n 算術(shù)n 調(diào)和n 幾何n 計(jì)算n 過(guò)程n 簡(jiǎn)單n 較復(fù)雜n 較復(fù)雜n 權(quán)數(shù)nfnmnn（二）各種數(shù)值平均數(shù)的比較1. 各自的適用場(chǎng)合不同。2. 某些特殊值對(duì)數(shù)值平均數(shù)的影響。例如：0，負(fù)數(shù)等。1-87算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)的比較P58）122 1x MeM 0x Me M 0左偏分布值的 影響最大，M 0 Mex Mo Me x右偏分布Mo = Me = x正態(tài)分布在非對(duì)稱分布時(shí)，算術(shù)平均數(shù)受中位數(shù)只受值的位置影響，不受其數(shù)值影響；眾數(shù)不受值的影響。(1) 當(dāng)次數(shù)分布呈右偏(正偏)時(shí)，算術(shù)平均

32、數(shù)受極大值影響最大 。(2) 當(dāng)次數(shù)分布呈左偏(負(fù)偏)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)受極小值影響最大 。3-2-88法則： 在適度偏態(tài)情況下，算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍。即x - M0 3(x - Me )3-2-892.4 各種平均數(shù)的比較M e -2 f-M 0xM e正偏分布21xMoMe3-2-902.5 各種平均數(shù)的比較M e -2 fx-M 0M e負(fù)偏分布x12MoxMe3-2-91根據(jù)上述，可以從已知的兩個(gè)平均指標(biāo)推算另一個(gè)平均指標(biāo)。例如，某科考試結(jié)果，有半數(shù)考生成績(jī)?cè)?0分以上，得84分的考生最多，試估計(jì)平均成績(jī)，以 成績(jī)分布的偏斜情況。解：已知me=80，mo

33、=84Qx Me M0x -843(x -80) x78(分) 成績(jī)績(jī)分布為左偏3-2-92第三章習(xí)題之一1、某企業(yè)工人平均月工資為1 440元，月收入少于1 280元的占一半，試估計(jì)眾數(shù)，并對(duì)該企業(yè)工人工資的分布情況做一簡(jiǎn)要說(shuō)明。2、甲、乙兩市場(chǎng)農(nóng)價(jià)格及成交量資料如下表，試比較哪個(gè)市場(chǎng)的平均價(jià)格高。3、某車間生產(chǎn)三批的廢品率分別為1%、2%、1.5%，三批產(chǎn)量占全部產(chǎn)量的比重分別為25%、35%、40%，試計(jì)算該車間三批品率。的平均廢3-2-93品種價(jià)格(元/公斤)甲市場(chǎng)成交額()乙市場(chǎng)成交量(萬(wàn)公斤)甲乙丙1.21.41.51.22.81.5211合計(jì)-5.54習(xí)題之二*1.三個(gè)工人問(wèn)：某零件所需的時(shí)間分別為20、25、10分鐘。*（1） 各做10小時(shí)工，平均每零件（2） 各完成10件零件，平均每零件時(shí)間（分）。 時(shí)間（分）。*2.銀行為吸收存款，逐年提高存款利率，5年各年分別為10%、12%、15%、18%、24%。若本金為1000元。問(wèn)：（1） 按算術(shù)平均數(shù)計(jì)算平均利率，第五年末的實(shí)際存款額是多少？（2） 按幾何平均數(shù)計(jì)算平均利率，第五年末的實(shí)際存款額是多少？*（3）哪種計(jì)算比較合理，為什么？1-94時(shí)間= n =3=15.79(分)1.（1） 平均每零件*11 + 1 + 1x202510時(shí)間= x = 20+25+10 =18.